Сложение и умножение вероятностей — формулы и задачи ЕГЭ

В задании 10 ЕГЭ почти всегда нужны две формулы: сложение вероятностей для «или» и умножение для «и». Главная тонкость — не перепутать несовместные события с независимыми, это разные понятия. Разберём все четыре случая с примерами.

Сложение вероятностей

Формула сложения отвечает на вопрос: какова вероятность, что произойдёт событие $A$ или событие $B$ (или оба сразу).

Для любых событий:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Вычитание $P(A\cap B)$ компенсирует двойной счёт: когда оба события происходят вместе, вероятность учтена в $P(A)$ и в $P(B)$ — дважды.

Для несовместных событий:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

Несовместные — события, которые не могут произойти одновременно, значит $P(A\cap B)=0$. Поправочный член исчезает.

Несовместные и совместные события

Несовместные — не могут произойти одновременно. Например:

• выпадение 6 на одном броске кубика и выпадение 3 на том же броске;
• «пошёл дождь» и «не пошёл дождь» в одно и то же время в одном месте.

Совместные — могут произойти одновременно. Например:

• «выпало чётное число» и «выпало $\ge 4$» при броске кубика — пересечение $\{4;6\}$;
• «идёт дождь» и «идёт ветер».

Формулу сложения нужно выбирать в зависимости от типа событий.

Умножение вероятностей

Формула умножения отвечает на вопрос: какова вероятность, что произойдут и $A$, и $B$.

Для любых событий:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)$

где $P(B|A)$ — условная вероятность $B$ при условии, что $A$ произошло.

Для независимых событий:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

Независимые — когда наступление одного не влияет на вероятность другого, и тогда $P(B|A)=P(B)$.

Независимые и зависимые события

Независимые — наступление одного события не меняет вероятности другого. Например:

• результаты двух бросков кубика;
• попадания двух стрелков, стреляющих отдельно друг от друга;
• появление «орла» на двух последовательных бросках монеты.

Зависимые — наступление одного меняет вероятность другого. Например:

• вытаскивание шаров из урны без возвращения;
• последовательные испытания в выборке без замены.

Проверка независимости. События $A$ и $B$ независимы, если $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$. Это и определение, и критерий одновременно.

Типичные формулировки

Словесные задачи на вероятность часто маскируют стандартные конструкции. Учись распознавать.

«Хотя бы один». Формулировка «хотя бы одно событие из нескольких произошло» — это объединение: $A_1\cup A_2\cup \dots \cup A_n$. Часто проще считать через противоположное:

$P(\text{хотя бы один})=1-P(\text{ни одного})$

Если события независимые, $P(\text{ни одного})=(1-p_1)(1-p_2)\dots (1-p_n)$.

«И то и другое». Явное пересечение: $A\cap B$. Применяешь формулу умножения.

«Ровно один». Один из двух произошёл, другой — нет. Разложи на непересекающиеся случаи: $P(A\cap \bar{B})+P(\bar{A}\cap B)$.

«Ни один». Противоположное к «хотя бы один». $P({\bar{A}}_1\cap {\bar{A}}_2\cap \dots )$.

Противоположное событие

$\bar{A}$ — событие «$A$ не произошло». Ключевое свойство:

$P(A)+P(\bar{A})=1$

Откуда $P(\bar{A})=1-P(A)$.

Применение. Часто задача сложнее прямо, чем через дополнение. Пример: в корзине 10 шаров, 3 красных. Вероятность «хотя бы один красный из 5 извлечённых без возвращения».

Прямо — сумма пяти случаев (ровно 1, 2, 3, 4 или 5 красных).

Через дополнение — один случай (ни одного красного): $P(\bar{A})=\frac{C_7^5}{C_{10}^5}$. Ответ $P(A)=1-P(\bar{A})$ — одна формула вместо пяти.

Алгоритм решения

1. Определи, что именно ищется: «и», «или», «хотя бы один», «ни один».
2. Выбери подходящую формулу: сложение, умножение, противоположное.
3. Проверь, совместны ли события (для сложения) и независимы ли (для умножения).
4. Подсчитай отдельные вероятности.
5. Подставь в формулу.
6. Проверь, что итог — число из $[0;1]$.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). Вероятность попадания в цель первым стрелком $0,7$, вторым — $0,8$. Стрелки стреляют независимо. Найди вероятность того, что хотя бы один попадёт.

Решение. Пусть $A$ — попадание первого, $B$ — попадание второго. Нужно $P(A\cup B)$.

Способ через противоположное: $P(\bar{A}\cap \bar{B})=(1-0,7)(1-0,8)=0,3\cdot 0,2=0,06$.

$P(A\cup B)=1-0,06=0,94$.

Ответ: $0,94$.

Типичная ошибка. Сложить $0,7+0,8=1,5>1$ — получить бессмыслицу. Прямое сложение работает только для несовместных событий.

Пример 2 (уровень Б). В урне 5 белых и 3 чёрных шара. Вытаскивают 2 шара подряд без возвращения. Найди вероятность, что оба белые.

Решение. Пусть $A$ — первый белый, $B$ — второй белый. События зависимые (без возвращения).

$P(A)=\frac{5}{8}$ (5 белых из 8 шаров).

$P(B|A)$ — при условии, что первый белый вытащен, осталось 7 шаров, из них 4 белых. Значит $P(B|A)=\frac{4}{7}$.

По формуле умножения:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=\frac{5}{8}\cdot \frac{4}{7}=\frac{20}{56}=\frac{5}{14}$

Ответ: $\frac{5}{14}$.

Типичная ошибка. Применить $P(A)\cdot P(B)=\frac{5}{8}\cdot \frac{5}{8}=\frac{25}{64}$, забыв, что события зависимы. Без возвращения второй шар вытягивается из изменённой урны.

Пример 3 (уровень В). Три стрелка независимо стреляют в цель. Вероятности попадания: $p_1=0,6$, $p_2=0,5$, $p_3=0,7$. Найди вероятность, что ровно один стрелок попадёт.

Решение. «Ровно один» — это три непересекающихся случая:

• Первый попал, остальные нет: $p_1(1-p_2)(1-p_3)=0,6\cdot 0,5\cdot 0,3=0,09$.
• Второй попал, остальные нет: $(1-p_1)p_2(1-p_3)=0,4\cdot 0,5\cdot 0,3=0,06$.
• Третий попал, остальные нет: $(1-p_1)(1-p_2)p_3=0,4\cdot 0,5\cdot 0,7=0,14$.

Складываем (случаи несовместные):

$P(\text{ровно один})=0,09+0,06+0,14=0,29$

Ответ: $0,29$.

Типичная ошибка. Посчитать только один случай (например, $p_1(1-p_2)(1-p_3)$) и забыть о других. «Ровно один» означает «любой из троих один, остальные не».

Типичные ошибки

1. Путать несовместные и независимые. Несовместные — про «вместе не бывает» (связаны с «или»). Независимые — про «не влияют друг на друга» (связаны с «и»). Путаница ведёт к неправильному выбору формулы.
2. Забывать $-P(A\cap B)$ в формуле сложения для совместных событий. Если не вычесть пересечение — получится вероятность больше 1, что невозможно.
3. Применять умножение без проверки независимости. Для зависимых событий нужна условная вероятность, а не произведение отдельных.
4. Не использовать противоположное событие. Задачи «хотя бы один» часто проще через дополнение. Не ленись проверять оба пути.
5. Складывать вероятности несовместных событий с пересекающимися исходами. Например, «чётное число» и «число больше 3» — совместные (пересечение $\{4;6\}$). Нельзя просто складывать $P(\text{чётное})+P(>3)$.

Связь с другими темами

Тема связана с классическим определением вероятности (в основе задания 4) и условной вероятностью (в задачах 10 с зависимыми событиями). Хорошо иметь под рукой:

• формулу классической вероятности $P(A)=\frac{m}{n}$;
• формулы комбинаторики (сочетания, перестановки);
• понятие полной группы событий.

Ещё полезно держать рядом три смежных навыка из других разделов учебника:

• формулы сокращённого умножения — раскрывать $(p+q{)}^n$ при решении задач на серии независимых испытаний (схема Бернулли);
• квадратные уравнения — сведение условий на вероятность $p$ в задаче 10 часто даёт квадратное уравнение с параметром;
• финансовые задачи ЕГЭ — ожидаемая доходность и риск в задании 17 опираются на те же правила сложения/умножения вероятностей.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 4 (вероятность базовая) — простые задачи на сложение вероятностей несовместных событий и умножение независимых.
• Задание 10 (вероятность сложная) — задачи с несколькими шагами: сложение, умножение, противоположное событие, условная вероятность. Здесь формулы работают в комплексе, и без твёрдого знания — пройти нельзя.