Сложение и умножение вероятностей — формулы и задачи ЕГЭ

В задании 10 ЕГЭ почти всегда нужны две формулы: сложение вероятностей для «или» и умножение для «и». Главная тонкость — не перепутать несовместные события с независимыми, это разные понятия. Разберём все четыре случая с примерами.

Сложение вероятностей

Формула сложения отвечает на вопрос: какова вероятность, что произойдёт событие $A$ или событие $B$ (или оба сразу).

Для любых событий:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Вычитание $P(A \cap B)$ компенсирует двойной счёт: когда оба события происходят вместе, вероятность учтена в $P(A)$ и в $P(B)$ — дважды.

Для несовместных событий:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Несовместные — события, которые не могут произойти одновременно, значит $P(A \cap B) = 0$. Поправочный член исчезает.

Несовместные и совместные события

Несовместные — не могут произойти одновременно. Например:

• выпадение 6 на одном броске кубика и выпадение 3 на том же броске;
• «пошёл дождь» и «не пошёл дождь» в одно и то же время в одном месте.

Совместные — могут произойти одновременно. Например:

• «выпало чётное число» и «выпало $\ge 4$» при броске кубика — пересечение $\{4; 6\}$;
• «идёт дождь» и «идёт ветер».

Формулу сложения нужно выбирать в зависимости от типа событий.

Умножение вероятностей

Формула умножения отвечает на вопрос: какова вероятность, что произойдут и $A$, и $B$.

Для любых событий:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \vert A)$

где $P(B \vert A)$ — условная вероятность $B$ при условии, что $A$ произошло.

Для независимых событий:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Независимые — когда наступление одного не влияет на вероятность другого, и тогда $P(B \vert A) = P(B)$.

Независимые и зависимые события

Независимые — наступление одного события не меняет вероятности другого. Например:

• результаты двух бросков кубика;
• попадания двух стрелков, стреляющих отдельно друг от друга;
• появление «орла» на двух последовательных бросках монеты.

Зависимые — наступление одного меняет вероятность другого. Например:

• вытаскивание шаров из урны без возвращения;
• последовательные испытания в выборке без замены.

Проверка независимости. События $A$ и $B$ независимы, если $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Это и определение, и критерий одновременно.

Типичные формулировки

Словесные задачи на вероятность часто маскируют стандартные конструкции. Учись распознавать.

«Хотя бы один». Формулировка «хотя бы одно событие из нескольких произошло» — это объединение: $A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n$. Часто проще считать через противоположное:

$P(\text{хотя бы один}) = 1 - P(\text{ни одного})$

Если события независимые, $P(\text{ни одного}) = (1 - p_1)(1 - p_2) \ldots (1 - p_n)$.

«И то и другое». Явное пересечение: $A \cap B$. Применяешь формулу умножения.

«Ровно один». Один из двух произошёл, другой — нет. Разложи на непересекающиеся случаи: $P(A \cap \bar B) + P(\bar A \cap B)$.

«Ни один». Противоположное к «хотя бы один». $P(\bar A_1 \cap \bar A_2 \cap \ldots)$.

Противоположное событие

$\bar A$ — событие «$A$ не произошло». Ключевое свойство:

$P(A) + P(\bar A) = 1$

Откуда $P(\bar A) = 1 - P(A)$.

Применение. Часто задача сложнее прямо, чем через дополнение. Пример: в корзине 10 шаров, 3 красных. Вероятность «хотя бы один красный из 5 извлечённых без возвращения».

Прямо — сумма пяти случаев (ровно 1, 2, 3, 4 или 5 красных).

Через дополнение — один случай (ни одного красного): $P(\bar A) = \frac{C_7^5}{C_{10}^5}$. Ответ $P(A) = 1 - P(\bar A)$ — одна формула вместо пяти.

Алгоритм решения

1. Определи, что именно ищется: «и», «или», «хотя бы один», «ни один».
2. Выбери подходящую формулу: сложение, умножение, противоположное.
3. Проверь, совместны ли события (для сложения) и независимы ли (для умножения).
4. Подсчитай отдельные вероятности.
5. Подставь в формулу.
6. Проверь, что итог — число из $[0; 1]$.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). Вероятность попадания в цель первым стрелком $0{,}7$, вторым — $0{,}8$. Стрелки стреляют независимо. Найди вероятность того, что хотя бы один попадёт.

Решение. Пусть $A$ — попадание первого, $B$ — попадание второго. Нужно $P(A \cup B)$.

Способ через противоположное: $P(\bar A \cap \bar B) = (1 - 0{,}7)(1 - 0{,}8) = 0{,}3 \cdot 0{,}2 = 0{,}06$.

$P(A \cup B) = 1 - 0{,}06 = 0{,}94$.

Ответ: $0{,}94$.

Типичная ошибка. Сложить $0{,}7 + 0{,}8 = 1{,}5 > 1$ — получить бессмыслицу. Прямое сложение работает только для несовместных событий.

Пример 2 (уровень Б). В урне 5 белых и 3 чёрных шара. Вытаскивают 2 шара подряд без возвращения. Найди вероятность, что оба белые.

Решение. Пусть $A$ — первый белый, $B$ — второй белый. События зависимые (без возвращения).

$P(A) = \frac{5}{8}$ (5 белых из 8 шаров).

$P(B \vert A)$ — при условии, что первый белый вытащен, осталось 7 шаров, из них 4 белых. Значит $P(B \vert A) = \frac{4}{7}$.

По формуле умножения:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \vert A) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$

Ответ: $\frac{5}{14}$.

Типичная ошибка. Применить $P(A) \cdot P(B) = \frac{5}{8} \cdot \frac{5}{8} = \frac{25}{64}$, забыв, что события зависимы. Без возвращения второй шар вытягивается из изменённой урны.

Пример 3 (уровень В). Три стрелка независимо стреляют в цель. Вероятности попадания: $p_1 = 0{,}6$, $p_2 = 0{,}5$, $p_3 = 0{,}7$. Найди вероятность, что ровно один стрелок попадёт.

Решение. «Ровно один» — это три непересекающихся случая:

• Первый попал, остальные нет: $p_1 (1 - p_2)(1 - p_3) = 0{,}6 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}3 = 0{,}09$.
• Второй попал, остальные нет: $(1 - p_1) p_2 (1 - p_3) = 0{,}4 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}3 = 0{,}06$.
• Третий попал, остальные нет: $(1 - p_1)(1 - p_2) p_3 = 0{,}4 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}7 = 0{,}14$.

Складываем (случаи несовместные):

$P(\text{ровно один}) = 0{,}09 + 0{,}06 + 0{,}14 = 0{,}29$

Ответ: $0{,}29$.

Типичная ошибка. Посчитать только один случай (например, $p_1(1-p_2)(1-p_3)$) и забыть о других. «Ровно один» означает «любой из троих один, остальные не».

Типичные ошибки

1. Путать несовместные и независимые. Несовместные — про «вместе не бывает» (связаны с «или»). Независимые — про «не влияют друг на друга» (связаны с «и»). Путаница ведёт к неправильному выбору формулы.
2. Забывать $-P(A \cap B)$ в формуле сложения для совместных событий. Если не вычесть пересечение — получится вероятность больше 1, что невозможно.
3. Применять умножение без проверки независимости. Для зависимых событий нужна условная вероятность, а не произведение отдельных.
4. Не использовать противоположное событие. Задачи «хотя бы один» часто проще через дополнение. Не ленись проверять оба пути.
5. Складывать вероятности несовместных событий с пересекающимися исходами. Например, «чётное число» и «число больше 3» — совместные (пересечение $\{4; 6\}$). Нельзя просто складывать $P(\text{чётное}) + P(> 3)$.

Связь с другими темами

Тема связана с классическим определением вероятности (в основе задания 4) и условной вероятностью (в задачах 10 с зависимыми событиями). Хорошо иметь под рукой:

• формулу классической вероятности $P(A) = \dfrac{m}{n}$;
• формулы комбинаторики (сочетания, перестановки);
• понятие полной группы событий.

Ещё полезно держать рядом три смежных навыка из других разделов учебника:

• формулы сокращённого умножения — раскрывать $(p + q)^n$ при решении задач на серии независимых испытаний (схема Бернулли);
• квадратные уравнения — сведение условий на вероятность $p$ в задаче 10 часто даёт квадратное уравнение с параметром;
• финансовые задачи ЕГЭ — ожидаемая доходность и риск в задании 17 опираются на те же правила сложения/умножения вероятностей.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 4 (вероятность базовая) — простые задачи на сложение вероятностей несовместных событий и умножение независимых.
• Задание 10 (вероятность сложная) — задачи с несколькими шагами: сложение, умножение, противоположное событие, условная вероятность. Здесь формулы работают в комплексе, и без твёрдого знания — пройти нельзя.