Какая основная формула связывает $A$ и $\bar{A}$?

$P(A) + P(\bar{A}) = 1$, или равносильно $P(A) = 1 - P(\bar{A})$. Это потому что $A$ и $\bar{A}$ образуют полную группу из двух взаимоисключающих событий.

Когда удобнее считать через противоположное?

Когда прямой подсчёт — это сумма из многих слагаемых, а противоположный — одно. Классические маркеры: «хотя бы один», «не менее одного», «найдётся хотя бы один», «не все». Через $1 - P(\text{никто/ноль})$ короче и надёжнее.

Как связано противоположное событие с независимыми испытаниями?

Если события $A_1, A_2, \ldots, A_n$ независимы, то $P(\bar{A_1} \cap \bar{A_2} \cap \ldots \cap \bar{A_n}) = (1-p_1)(1-p_2)\ldots(1-p_n)$. Это часто появляется в задачах «хотя бы один из стрелков попадает».

Что значит «независимые события»?

Когда наступление одного не влияет на вероятность другого. Формально: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. В задачах ЕГЭ обычно явно сказано «независимо».

Можно ли считать $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ для зависимых событий тоже?

Да, формула $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ работает всегда. Зависимость событий между собой не влияет на формулу для одного события и его противоположности.

Противоположное событие: формула P(A) = 1 − P(не A)

Q: Что такое противоположное событие?

Событие $\bar{A}$ (читается «не A»), которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит $A$. Например: $A$ — «выпала шестёрка», $\bar{A}$ — «выпало любое число, кроме шестёрки».

В задании 4 ЕГЭ часто появляется фраза «вероятность хотя бы одного». Если решать в лоб — придётся складывать «вероятность одного», «вероятность двух», ..., «вероятность всех». Долго и легко ошибиться. Есть короткий путь: посчитать вероятность того, что никто не сделал, и вычесть из единицы. Это работа через противоположное событие.

Что такое противоположное событие

Для каждого события $A$ есть его противоположное событие $\overset{ˉ}{A}$ (читается «не A»). Оно происходит тогда и только тогда, когда $A$ не происходит. Других вариантов нет: либо $A$ , либо $\overset{ˉ}{A}$ .

Примеры:

$A$ = «выпала шестёрка», $\overset{ˉ}{A}$ = «выпало 1, 2, 3, 4 или 5».
$A$ = «попал в мишень», $\overset{ˉ}{A}$ = «промахнулся».
$A$ = «деталь годная», $\overset{ˉ}{A}$ = «деталь бракованная».
$A$ = «среди 5 выстрелов хотя бы один попал», $\overset{ˉ}{A}$ = «все 5 промахнулись».

Из определения сразу следует:

P (A) + P (\overset{ˉ}{A}) = 1

Потому что в любом эксперименте либо $A$ , либо $\overset{ˉ}{A}$ , и ровно одно из них.

Перепишем удобно:

P (A) = 1 - P (\overset{ˉ}{A})

Это базовая формула, которую часто используют в обе стороны.

Когда переход к противоположному экономит

Сравним два пути решения одной задачи.

Задача: стрелок попадает в мишень с вероятностью $0, 8$ . Делает 4 выстрела. Найди вероятность хотя бы одного попадания.

Прямой путь

«Хотя бы одно попадание» = «1 попадание ИЛИ 2 ИЛИ 3 ИЛИ 4». Это сумма вероятностей четырёх несовместных событий:

P (хотя бы 1) = P (1) + P (2) + P (3) + P (4)

По формуле Бернулли каждое слагаемое:

$P (1) = C_{4}^{1} \cdot 0, 8 \cdot 0, 2^{3} = 4 \cdot 0, 8 \cdot 0, 008 = 0, 0256$ .
$P (2) = C_{4}^{2} \cdot 0, 8^{2} \cdot 0, 2^{2} = 6 \cdot 0, 64 \cdot 0, 04 = 0, 1536$ .
$P (3) = C_{4}^{3} \cdot 0, 8^{3} \cdot 0, 2 = 4 \cdot 0, 512 \cdot 0, 2 = 0, 4096$ .
$P (4) = C_{4}^{4} \cdot 0, 8^{4} = 0, 4096$ .

Сумма: $0, 0256 + 0, 1536 + 0, 4096 + 0, 4096 = 0, 9984$ .

Это четыре отдельных подсчёта плюс сумма. Минут пять-шесть с проверкой.

Через противоположное

«Хотя бы одно попадание» = НЕ «ни одного попадания».

P (ни одного попадания) = 0, 2^{4} = 0, 0016

(Все 4 промахнулись — события независимы, перемножаем вероятности.)

P (хотя бы 1) = 1 - 0, 0016 = 0, 9984

Тот же ответ за тридцать секунд.

Маркеры «удобнее через противоположное»

Если в условии встретилось:

«хотя бы один» — противоположное «ни одного»;
«не менее одного», «найдётся хотя бы один» — то же самое;
«не все» — противоположное «все»;
«не более одного» — противоположное «более одного» (иногда тоже короче, но зависит от $n$ );
«хотя бы $k$ » при больших $n$ и малых $k$ — противоположное «менее $k$ ».

Главный признак: прямой подсчёт = сумма из 3+ слагаемых, противоположный = одно.

Пример 1: классика «хотя бы один»

Условие. Три стрелка независимо стреляют по мишени. Вероятности попадания: $0, 5$ ; $0, 6$ ; $0, 7$ . Найди вероятность, что хотя бы один попадёт.

Решение. Через противоположное: «хотя бы один попал» = НЕ «все промахнулись».

P (все промахнулись) = (1 - 0, 5) (1 - 0, 6) (1 - 0, 7) = 0, 5 \cdot 0, 4 \cdot 0, 3 = 0, 06

P (хотя бы один попал) = 1 - 0, 06 = 0, 94

Ответ: $0, 94$ .

Пример 2: партия деталей

Условие. В партии 100 деталей, из них 5 бракованных. Случайно выбирают 3 детали. Найди вероятность, что хотя бы одна из них бракованная.

Решение. Через противоположное: «хотя бы одна бракованная» = НЕ «все три годные».

Вероятность достать первую годную: $95/100$ . Вторую годную (без возврата): $94/99$ . Третью годную: $93/98$ .

P (все 3 годные) = \frac{95}{100} \cdot \frac{94}{99} \cdot \frac{93}{98}

Считаем. Числитель: $95 \cdot 94 \cdot 93 = 830490$ . Знаменатель: $100 \cdot 99 \cdot 98 = 970200$ .

P (все годные) = \frac{830 490}{970 200} \approx 0, 856

P (хотя бы 1 бракованная) = 1 - 0, 856 = 0, 144

Ответ: $\approx 0, 144$ .

Пример 3: «не более одного»

Условие. Стрелок делает 5 выстрелов, вероятность попадания каждого $0, 3$ . Найди вероятность, что попадёт не более одного раза.

Решение. «Не более одного» = «ноль ИЛИ один». Тут противоположное — «два или больше», что 4 слагаемых. Прямой путь короче.

$P (0) = 0, 7^{5} = 0, 16807$ .

$P (1) = C_{5}^{1} \cdot 0, 3 \cdot 0, 7^{4} = 5 \cdot 0, 3 \cdot 0, 2401 = 0, 36015$ .

P (не более 1) = 0, 16807 + 0, 36015 \approx 0, 5282

Ответ: $\approx 0, 5282$ .

Этот пример показывает: «через противоположное» — не панацея. Иногда прямой путь короче. Сравни количество слагаемых, потом выбирай.

Пример 4: смешанная задача (Бернулли + противоположное)

Условие. В контрольной 8 вопросов с двумя вариантами ответа. Школьник выбирает варианты случайно. Найди вероятность, что он угадает хотя бы 7 правильно.

Решение. $p = 0, 5$ , $n = 8$ . «Хотя бы 7» = «7 ИЛИ 8».

Через противоположное было бы «угадал не больше 6», что 7 слагаемых. Прямой путь короче.

$P (7) = C_{8}^{7} \cdot 0, 5^{7} \cdot 0, 5 = 8 \cdot 0, 5^{8} = 8/256 = 0, 03125$ .

$P (8) = 0, 5^{8} = 1/256 \approx 0, 0039$ .

P (\geq 7) = 0, 03125 + 0, 0039 \approx 0, 0352

Ответ: $\approx 0, 0352$ .

Пример 5: вероятность невыпадения шестёрки

Условие. Кубик бросают 4 раза. Найди вероятность, что хотя бы один раз выпадет шестёрка.

Решение. Противоположное: «ни разу не выпала шестёрка». В каждом броске вероятность невыпадения шестёрки $5/6$ , броски независимы:

P (ни разу) = (5/6)^{4} = 625/1296 \approx 0, 482

P (хотя бы раз) = 1 - 625/1296 = 671/1296 \approx 0, 518

Ответ: $\approx 0, 518$ .

Двойное противоположное

Иногда удобно посчитать через противоположное противоположного. Например:

$P (не « хотя бы один ») = P (ни одного)$ .

Двойное отрицание возвращается к прямому: «не не A» = $A$ . Поэтому $\overset{ˉ}{\overset{ˉ}{A}} = A$ и $P (\overset{ˉ}{\overset{ˉ}{A}}) = P (A)$ .

Используется для самопроверки: если ты посчитал $P (A)$ через противоположное, можно для контроля взять $1 - P (\overset{ˉ}{A})$ — должен получиться тот же ответ.

Полная группа из противоположных

Полезный приём: разбить событие на полную группу из двух — само событие и его противоположное. Тогда:

P (A \cap B) + P (A \cap \overset{ˉ}{B}) = P (A)

Это потому что $A$ распадается на $(A$ и $B)$ + $(A$ и $\overset{ˉ}{B})$ , других вариантов нет.

В задачах с условной вероятностью этот приём часто помогает.

Частые ошибки

Ошибка 1: противоположное «хотя бы один» считают как «ровно ноль и ровно один». Нет. Противоположное «хотя бы один» — это «ноль». «Один и больше» против «нуля».

Ошибка 2: при «независимости» забывают перемножать. $P (все промахнулись) = q_{1} \cdot q_{2} \cdot q_{3}$ , не сумма.

Ошибка 3: считают вероятность одного события и забывают вычесть из единицы. Получают «вероятность ничего не случилось» вместо «хотя бы одно».

Ошибка 4: применяют независимость к «без возврата» задачам. Если детали достают без возврата — это зависимые события, нельзя перемножать $\frac{95}{100} \cdot \frac{95}{100} \cdot \frac{95}{100}$ . Нужна меняющаяся доля как в Примере 2.

Когда применять в ЕГЭ

В заданиях 2, 4, 5 ЕГЭ профиль формула $1 - P (\overset{ˉ}{A})$ — стандартный приём. Если в условии встретилось «хотя бы один», «найдётся хотя бы», «не все промахнулись» — почти всегда стоит сразу проверить, не короче ли через противоположное.

Реши 30 задач №4 ЕГЭ на вероятность с приёмами «через противоположное» и формулой Бернулли. Адаптивная траектория Сот сама даст следующее по уровню.

Попробовать бесплатно

Что запомнить

Противоположное событие $\overset{ˉ}{A}$ происходит, когда $A$ не происходит. $P (A) + P (\overset{ˉ}{A}) = 1$ .
Маркеры «хотя бы один», «не все», «не менее одного» — повод подумать про противоположное.
$P (хотя бы один из независимых) = 1 - q_{1} q_{2} \dots q_{n}$ .
Не панацея: в «не более одного» при малом $k$ прямой путь короче.
При «без возврата» события зависимы — нельзя просто перемножать.
Двойное противоположное возвращает к исходному событию.

Противоположное событие в теории вероятностей