Задачи на сплавы и смеси: алгоритм

Задачи на сплавы и смеси — стабильный тип текстовых задач профильного ЕГЭ. На первый взгляд они пугают «химической» лексикой: растворы, концентрации, сплавы металлов. Но никакой химии знать не нужно — в основе лежит один-единственный принцип: масса чистого вещества сохраняется. Запомни главную формулу, научись строить таблицу из трёх столбцов — и любая задача на смеси решается за три понятных шага.

Главная идея, которую стоит усвоить с самого начала, — работать не с процентами напрямую, а с массой вещества. Процент сам по себе складывать нельзя, потому что это доля, отношение. А вот масса вещества в граммах — абсолютная величина, её можно складывать, вычитать, к ней можно добавлять. Поэтому в любой задаче на смеси первый шаг — перевести проценты в массы вещества, затем составить уравнение по сохранению этой массы, и только в конце, если нужно, вернуться к процентам делением. Эта дисциплина — думать массами вещества, а не процентами — спасает от большинства ошибок темы.

Главная формула

$\text{масса вещества} = c \times m_{\text{смеси}}$

где $c$ — концентрация, то есть доля вещества, а $m$ — масса всей смеси. Концентрацию всегда переводи в долю: сорок процентов это $0{,}4$.

Закон сохранения: при смешивании масса вещества не исчезает и не появляется — она просто складывается из частей. Это и есть фундамент всех задач темы:

$c_1 m_1 + c_2 m_2 = c_{\text{итог}} \cdot (m_1 + m_2)$

Табличный метод

Чтобы не запутаться в числах, заводят таблицу из трёх строк и трёх столбцов. По строкам идут участники смешивания и итог, а по столбцам — масса смеси, концентрация и масса вещества. Такая таблица превращает запутанный текст условия в наглядную картину.

Уравнение всегда составляют по последнему столбцу: масса вещества в итоговой смеси равна сумме масс вещества в исходных, а также равна итоговой концентрации, умноженной на итоговую массу. Заполняй таблицу в строгом порядке: сначала впиши известные массы и концентрации, потом перемножь их и получи массы вещества, и только затем переходи к итоговой строке. Если какая-то величина неизвестна, поставь на её место букву и продолжай заполнять как обычно — буква спокойно участвует в вычислениях наравне с числами. Когда таблица готова, уравнение почти всегда выпрыгивает само, и остаётся лишь решить его.

Тип 1: слияние двух смесей

Это базовый случай, с которого начинается тема. Две готовые смеси соединяют в одну, и нужно найти концентрацию результата. Решение строится на сложении масс вещества.

Задача. Смешали 150 г 20-процентного раствора и 350 г 60-процентного. Какова концентрация итоговой смеси?

$c = \frac{240}{500} = 0{,}48 = 48\%$

Это самый базовый тип, к которому сводится большинство задач на смешение. Логика простая: масса вещества итогового раствора равна сумме масс вещества из обоих исходных растворов. Мы посчитали вещество в каждом растворе, сложили, разделили на общую массу и получили итоговую концентрацию. Заметь, что итоговый процент оказался между двадцатью и шестьюдесятью — это всегда так при смешивании, и служит удобной проверкой ответа: смесь не может содержать вещества меньше, чем самый бедный раствор, или больше, чем самый богатый.

Тип 2: добавление чистого вещества или воды

Добавление чистого компонента — это два зеркальных частных случая, которые удобно понимать через концентрацию добавляемого. Чистое вещество — это раствор со стопроцентной концентрацией, поэтому оно увеличивает и массу вещества, и общую массу. Вода — это раствор с нулевой концентрацией вещества, поэтому она увеличивает только общую массу, а массу вещества не меняет.

Частные случаи:

• Чистое вещество: концентрация равна единице, добавляем его и к числителю, и к знаменателю.
• Вода: концентрация равна нулю, она увеличивает только знаменатель.

Понимание этой разницы — ключ к типу. При разбавлении водой концентрация падает, потому что то же количество вещества «размазывается» по большей массе. При добавлении чистого вещества концентрация растёт, потому что вещества становится больше. Запомнив это, ты не перепутаешь, в какую сторону изменится концентрация в каждой задаче.

Задача. Есть 300 г 40-процентного раствора. Сколько воды добавить, чтобы получить 24-процентный?

$\frac{120}{300 + x} = 0{,}24$ $300 + x = 500$ $x = 200 \text{ г}$

Обрати внимание, как просто решается уравнение, когда масса вещества зафиксирована. В числителе стоит неизменные 120 г вещества, а в знаменателе — увеличенная масса раствора. Концентрация задана, поэтому остаётся одно линейное уравнение с одной неизвестной. Вода не участвует в массе вещества вовсе, и именно поэтому числитель не меняется — это главная мысль типа с разбавлением.

Тип 3: отлить + добавить

Этот тип — самый коварный из трёх, потому что в нём важно правильно понять, что происходит при отливании. Когда отливают часть раствора, концентрация оставшейся части не меняется: ведь жидкость однородна, и в любой её порции доля вещества одинакова. Меняется только масса — и раствора, и вещества пропорционально. Поэтому решать удобно в два этапа: сначала отлили, потом добавили.

Задача. Есть 200 г 60-процентного раствора. Отлили 50 г, добавили 50 г воды. Какова концентрация?

Когда отливают часть, концентрация не меняется, убывает только масса. После отлива остаётся $150$ г раствора с прежней концентрацией $60\%$, и масса вещества в нём равна $150 \times 0{,}6 = 90$ г.

Теперь добавляем 50 г воды: масса раствора снова становится 200 г, а масса вещества не меняется и остаётся 90 г, потому что вода вещества не содержит.

$c = \frac{90}{200} = 0{,}45 = 45\%$

Главная мысль здесь — отливание не меняет концентрацию. Многие ошибочно думают, что если отлить часть, концентрация изменится, но это не так: однородная жидкость в любой порции имеет одну и ту же долю вещества. Меняется только масса. А вот добавление воды концентрацию понижает, потому что увеличивает массу раствора без добавления вещества. Поэтому концентрация упала с шестидесяти до сорока пяти процентов именно из-за воды, а не из-за отливания.

Задачи на сплавы

Сплавы решаются по абсолютно той же модели, что и растворы, — отдельно их заучивать не нужно. Сплав — это твёрдая смесь металлов, и роль «вещества» в нём играет нужный металл, а роль «раствора» — весь сплав. Концентрация сплава — это доля нужного металла. Поэтому всё, что было сказано про растворы, дословно переносится на сплавы: меняются только слова. Главное — каждый раз чётко понимать, что в данной задаче считается веществом, а что смесью; остальное подставляется в одну и ту же формулу.

Задача. Смешали 400 г сплава с 30% золота и 200 г сплава с 70% золота. Какова концентрация золота в итоговом сплаве?

$c = \frac{400 \cdot 0{,}3 + 200 \cdot 0{,}7}{600} = \frac{120 + 140}{600} = \frac{260}{600} \approx 43{,}3\%$

Решение в точности повторяет первый тип со слиянием растворов: считаем массу золота в каждом сплаве, складываем и делим на общую массу. Никакой разницы между сплавами и растворами в вычислениях нет — отличаются только слова в условии. Итоговая доля золота снова оказалась между тридцатью и семьюдесятью процентами, ближе к тридцати, потому что первого сплава взяли больше.

Алгоритм решения

Любую задачу на смеси удобно решать по одной схеме. Сначала определи тип задачи: слияние двух смесей, добавление чистого вещества или воды, либо отлить и добавить. Затем заполни таблицу из трёх столбцов, перемножая массу и концентрацию, чтобы получить массу вещества. После этого составь уравнение по сохранению массы вещества: масса вещества в итоговой смеси равна итоговой концентрации, умноженной на итоговую массу. Реши уравнение и обязательно проверь ответ подстановкой.

Распознать тип задачи по словам несложно. Если смешивают две готовые смеси — это слияние, складываем массы вещества. Если в раствор доливают воду или досыпают чистое вещество — это добавление, помним про нулевую или единичную концентрацию добавляемого. Если сначала отливают часть, а потом что-то доливают — это третий тип, и его решают в два этапа. Эта быстрая классификация в голове помогает не теряться в условии и сразу выбирать нужный приём.

Применение в задании ЕГЭ

В текстовой части профильного ЕГЭ задачи на смеси и сплавы — регулярный сюжет. Алгоритм для всех типов одинаков, и именно его универсальность делает тему надёжной: освоив один тип, ты автоматически решаешь и остальные. Тема тесно связана с задачами на концентрацию и растворы, где разбираются те же сюжеты под другим углом, и опирается на линейные уравнения, к которым сводится большинство задач с неизвестной массой.

Типичные ошибки

Путать концентрацию с массой вещества. Концентрация — это доля, например 0,40, а масса вещества — это произведение концентрации на массу, например 120 г. Подставлять в уравнение нужно именно массу вещества, а не процент.

При отливании изменить концентрацию. Когда отливают часть смеси — концентрация не меняется, изменяется только масса.

Назвать итоговую массу неправильно. При слиянии итог = $m_1 + m_2$. При добавлении воды — старая масса + масса воды.

Написать «Объём» вместо «Масса». В условиях ЕГЭ дают граммы и работают с массой. Подменять массу объёмом нельзя: у разных веществ разная плотность, и объёмы при смешивании не обязаны складываться так же, как массы.

Складывать проценты напрямую. Смешали 30% и 50% — не получится 80%. Складываются массы вещества, а итоговый процент находят делением в самом конце.

Что запомнить

Главная формула: масса вещества равна концентрации, умноженной на массу смеси. При любых операциях со смесями сохраняется масса вещества, а не проценты — проценты не складываются. Заполняй таблицу из трёх столбцов и составляй уравнение по сохранению массы вещества. Различай три типа: слияние, добавление и отлить-добавить. И помни, что итоговая концентрация при смешивании всегда лежит между концентрациями исходных смесей — это бесплатная проверка ответа.