Задачи на сплавы и смеси: алгоритм

Задачи на сплавы и смеси — один из типов задания 10 ЕГЭ профиль. Один принцип: масса вещества сохраняется. Запомни формулу, научись строить таблицу — и любая задача на смеси решается за 3 шага.

Главная формула

$\text{масса вещества} = c \times m_{\text{смеси}}$

где $c$ — концентрация (доля вещества), $m$ — масса смеси.

Закон сохранения: при смешивании масса вещества складывается:

$c_1 m_1 + c_2 m_2 = c_{\text{итог}} \cdot (m_1 + m_2)$

Табличный метод

Строй таблицу 3×3: строки = участники смешивания, столбцы = масса смеси / концентрация / масса вещества.

Уравнение: масса вещества в итоге = $c_{\text{итог}} \cdot (m_1 + m_2)$.

Тип 1: слияние двух смесей

Задача. Смешали 150 г 20%-го раствора и 350 г 60%-го. Какова концентрация итоговой смеси?

$c = \frac{240}{500} = 0{,}48 = 48\%$

Тип 2: добавление чистого вещества или воды

Частные случаи:

• Чистое вещество: $c = 100\% = 1$, добавляем к числителю и знаменателю.
• Вода: $c = 0\%$, только увеличивает знаменатель.

Задача. Есть 300 г 40%-го раствора. Сколько воды добавить, чтобы получить 24%-й?

$\frac{120}{300 + x} = 0{,}24$ $300 + x = 500$ $x = 200 \text{ г}$

Тип 3: отлить + добавить

Задача. Есть 200 г 60%-го раствора. Отлили 50 г, добавили 50 г воды. Какова концентрация?

Когда отливают часть — концентрация не меняется, убывает только масса.

После отлива: масса раствора $150$ г, концентрация $60\%$, масса вещества $= 150 \times 0{,}6 = 90$ г.

Добавляем 50 г воды: масса 200 г, масса вещества 90 г.

$c = \frac{90}{200} = 0{,}45 = 45\%$

Задачи на сплавы

Та же модель. Сплав — смесь металлов. Концентрация = доля нужного металла.

Задача. Смешали 400 г сплава (30% золота) и 200 г сплава (70% золота). Какова концентрация в итоговом сплаве?

$c = \frac{400 \cdot 0{,}3 + 200 \cdot 0{,}7}{600} = \frac{120 + 140}{600} = \frac{260}{600} \approx 43{,}3\%$

Алгоритм решения

1. Определи тип: слияние / добавление / отлить+добавить.
2. Заполни таблицу (масса × концентрация = масса вещества).
3. Составь уравнение: масса вещества в итоге = $c_{\text{итог}} \times m_{\text{итог}}$.
4. Реши. Проверь подстановкой.

Типичные ошибки

Путать концентрацию с массой вещества. Концентрация — это доля (например 0,40), масса вещества — это $c \times m$ (например 120 г).

При отливании изменить концентрацию. Когда отливают часть смеси — концентрация не меняется, изменяется только масса.

Назвать итоговую массу неправильно. При слиянии итог = $m_1 + m_2$. При добавлении воды — старая масса + масса воды.

Написать «Объём» вместо «Масса». В условиях ЕГЭ дают граммы — используй «масса», а не «объём».