Задачи на концентрацию и растворы для ЕГЭ

«Сколько килограммов раствора 25-процентной концентрации нужно добавить к 60 кг раствора 10-процентной концентрации, чтобы получить раствор 18-процентной концентрации?» — типичный вопрос задания 8 ЕГЭ. На уроке химии слово «раствор» звучит пугающе, но математика тут совсем простая. Никакой химии знать не нужно: важно лишь правильно записать массу чистого вещества и составить уравнение по тому, что эта масса сохраняется.

В этой статье разберём задачи на концентрацию и растворы целиком: от базовой формулы до пяти типовых сюжетов. Главную мысль, которую стоит держать в голове с самого начала, сформулируем так: в задаче важна не сама жидкость, а количество чистого вещества внутри неё. Когда раствор разбавляют водой или, наоборот, добавляют вещество, меняется масса раствора, а масса вещества либо остаётся прежней, либо увеличивается на добавленное. Если научиться видеть, как именно меняется масса вещества, любая задача на концентрацию решается за пару минут.

Базовая формула

Концентрация — это доля чистого вещества в массе раствора:

$\text{концентрация} = \frac{\text{масса вещества}}{\text{масса раствора}}$

Часто концентрация выражается в процентах: пятнадцать процентов означает долю $0.15$. В формулах всегда удобнее использовать доли, а не проценты, — так меньше шансов ошибиться в сто раз.

Главная формула задач:

$\text{масса вещества} = \text{масса раствора} \times \text{концентрация}$

Эта формула — основа. Из неё выводятся обратные:

• $\text{масса раствора} = \frac{\text{масса вещества}}{\text{концентрация}}$
• $\text{концентрация} = \frac{\text{масса вещества}}{\text{масса раствора}}$

Терминология «растворы» vs «сплавы»:

Математика у растворов и сплавов одна и та же, меняются только слова. В этой статье будем говорить «раствор» и «вещество», но всё сказанное в точности применимо и к сплавам, где роль вещества играет нужный металл, а роль раствора — весь сплав. Поэтому, освоив задачи на растворы, ты автоматически решаешь и задачи на сплавы — отдельно их заучивать не нужно. Главное — каждый раз чётко понимать, что в данной задаче считается «веществом», а что «раствором»; всё остальное подставляется в одну и ту же формулу.

Сюжет 1: добавление чистого вещества

Задача. В 400 г раствора с концентрацией соли 5% добавили 50 г чистой соли. Какая концентрация получилась?

Решение:

• Исходная масса вещества: $400 \times 0.05 = 20$ г.
• После добавления: масса вещества $= 20 + 50 = 70$ г.
• Новая масса раствора: $400 + 50 = 450$ г.
• Новая концентрация: $\frac{70}{450} \approx 0.1556 \approx 15.56\%$.

Ответ: примерно 15,56%, а точно — дробь $\frac{70}{450} = \frac{7}{45}$.

Логика решения проста: добавленная чистая соль целиком идёт в массу вещества, поэтому масса вещества выросла на пятьдесят граммов. При этом масса всего раствора тоже выросла на те же пятьдесят граммов, ведь добавленная соль стала частью раствора. Концентрация — это отношение массы вещества к массе раствора, и оба числа изменились, поэтому новую концентрацию находим делением. Важно не забыть увеличить и числитель, и знаменатель: типичная ошибка — прибавить соль только к веществу, оставив прежнюю массу раствора.

Сюжет 2: разбавление водой

Задача. Сколько литров воды нужно добавить к 300 г раствора 40%-й концентрации, чтобы получить раствор 25%-й концентрации?

Решение: обозначим массу добавляемой воды через $x$ г.

• Масса вещества в исходном растворе: $300 \times 0.4 = 120$ г.
• При добавлении воды масса вещества НЕ меняется: остаётся $120$ г.
• Новая масса раствора: $300 + x$.
• Новая концентрация: $\frac{120}{300 + x} = 0.25$.

Решаем: $120 = 0.25 (300 + x)$, отсюда $480 = 300 + x$, и значит $x = 180$.

Ответ: 180 г.

Ключевой момент этого типа — масса вещества при разбавлении водой не меняется. Вода не содержит соли, поэтому она увеличивает только массу раствора, а количество соли остаётся прежним. Именно поэтому в числителе уравнения стоит неизменная масса вещества, а в знаменателе — увеличенная масса раствора. Концентрация падает не потому, что соли стало меньше, а потому, что той же соли теперь приходится «растворяться» в большем объёме.

Сюжет 3: смешивание двух растворов

Задача. Сколько кг 30%-го раствора нужно смешать с 100 кг 50%-го раствора, чтобы получить 35%-й раствор?

Решение: обозначим искомую массу 30%-го раствора через $x$.

• Масса вещества в 30%-м растворе: $0.3 x$.
• Масса вещества в 50%-м растворе: $0.5 \times 100 = 50$.
• Сумма масс вещества: $0.3 x + 50$.
• Масса итогового раствора: $x + 100$.
• Концентрация итогового: $\frac{0.3 x + 50}{x + 100} = 0.35$.

Решаем: $0.3 x + 50 = 0.35 (x + 100) = 0.35 x + 35$.

Переносим неизвестные в одну сторону, числа в другую: $50 - 35 = 0.35 x - 0.3 x$, то есть $15 = 0.05 x$, откуда $x = 300$.

Ответ: 300 кг.

Этот тип — самый важный, потому что именно к нему сводится большинство задач на смешение. Идея одна: масса вещества итогового раствора равна сумме масс вещества в исходных растворах. Мы записали массу соли в каждом растворе, сложили их и приравняли к концентрации итогового раствора, умноженной на его массу. Получилось линейное уравнение с одной неизвестной. Итоговая концентрация при этом всегда оказывается между концентрациями исходных растворов — это хорошая проверка ответа.

Сюжет 4: «правило креста» (быстрый метод)

Для сюжета 3 со смешиванием двух растворов есть быстрый графический метод — «правило креста». Он не обязателен и не заменяет понимания, но в типовой задаче заметно экономит время на экзамене.

Идея: при смешивании двух растворов с концентрациями $a$ и $b$ для получения концентрации $c$, отношение масс смешиваемых растворов равно:

$\frac{m_a}{m_b} = \frac{c - b}{a - c}$

(где $a > c > b$).

Применение к задаче выше: концентрации $a = 50\%$, $b = 30\%$, $c = 35\%$. Отношение масс:

$\frac{m_{50\%}}{m_{30\%}} = \frac{35 - 30}{50 - 35} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$

Это значит: на каждый 1 кг 50%-го раствора нужно 3 кг 30%-го. Дано 100 кг 50%-го, значит 30%-го нужно $3 \times 100 = 300$ кг.

Ответ: 300 кг.

Тот же ответ, но за тридцать секунд вместо трёх минут. В задании 8 ЕГЭ правило креста — самый быстрый путь для типовой задачи на смешение двух растворов. Работает оно только в этом конкретном случае — когда смешивают ровно два раствора для получения третьего, — поэтому полезно держать его как дополнительный инструмент, но основным методом оставить уравнение через массы вещества. Уравнение чуть медленнее, зато универсально и не подведёт в нестандартной задаче, где правило креста неприменимо.

Сюжет 5: задача со сплавами

Задача. Сплав меди и олова содержит 25% олова. К нему добавили 10 кг олова, и доля олова стала 30%. Сколько кг меди в сплаве?

Решение: обозначим начальную массу сплава через $x$ кг.

• Масса олова в начальном сплаве: $0.25 x$.
• Масса меди (не меняется при добавлении олова): $0.75 x$.
• Новая масса олова: $0.25 x + 10$.
• Новая масса сплава: $x + 10$.
• Новая концентрация олова: $\frac{0.25 x + 10}{x + 10} = 0.3$.

Решаем: $0.25 x + 10 = 0.3 (x + 10) = 0.3 x + 3$.

$10 - 3 = 0.3 x - 0.25 x$, то есть $7 = 0.05 x$, $x = 140$.

Масса меди: $0.75 \times 140 = 105$ кг.

Ответ: 105 кг.

Обрати внимание на ключевую идею этой задачи: при добавлении олова масса меди не меняется, ведь медь никуда не девается. Меняется только масса олова и общая масса сплава. Поэтому удобно ввести переменной начальную массу сплава, выразить через неё массы обоих металлов и составить уравнение по новой доле олова. Задача показывает, что сплавы и растворы решаются абсолютно одинаково — нужно лишь следить, какая часть смеси добавляется, а какая остаётся прежней.

Сюжет 6: испарение растворителя

Задача. Из 800 г раствора 20%-й концентрации испарили 200 г воды. Какая концентрация теперь?

Решение:

• Масса вещества: $800 \times 0.2 = 160$ г.
• При испарении воды масса вещества НЕ меняется: остаётся $160$ г.
• Новая масса раствора: $800 - 200 = 600$ г.
• Новая концентрация: $\frac{160}{600} = \frac{4}{15} \approx 26.67\%$.

Ответ: $\frac{4}{15} \approx 26{,}67\%$.

Принцип здесь зеркален разбавлению. При разбавлении мы добавляли воду и увеличивали массу раствора, отчего концентрация падала. При испарении вода уходит, масса раствора уменьшается, а масса вещества остаётся прежней, поэтому концентрация растёт. В обоих случаях масса вещества — фиксированная величина, меняется только знаменатель. Запомнив это, ты не перепутаешь, в какую сторону изменится концентрация: добавили воду — концентрация падает, испарили воду — растёт.

Применение в задании 8 ЕГЭ

Задание 8 — текстовая задача, балл 1. Задачи на концентрацию встречаются в 15–20% вариантов.

Стратегия:

1. Прочитай условие, выпиши:
   • Массы исходных растворов.
   • Концентрации (часто в процентах — переведи в доли).
   • Что добавляется или убирается.
   • Что нужно найти (новая концентрация, нужная масса добавления, и т.д.).
2. Запиши массы вещества в каждой части (по формуле «масса вещества = масса раствора × концентрация»).
3. Составь уравнение (масса вещества в итоговом = сумма или разность исходных).
4. Реши.
5. Проверь на адекватность: концентрация между 0 и 100%, масса положительна.

Время на задачу — три-пять минут. Самый надёжный способ не запутаться — всегда работать через массу вещества, а не через проценты напрямую. Проценты служат лишь для того, чтобы найти массу вещества и в конце вычислить итоговую концентрацию; основное же уравнение всегда составляется по массам вещества, которые складываются или остаются неизменными. Этот принцип объединяет все шесть сюжетов: чем бы ни была задача — разбавлением, испарением, смешением или добавлением вещества, — ты каждый раз отслеживаешь, как меняется масса вещества и масса раствора.

Распространённые ошибки

1. Не переводить процент в долю. Если в условии «20% концентрация», в формулах используй $0.2$, не $20$. Иначе уравнение даст ответ в 100 раз больше или меньше.

2. Считать, что при разбавлении масса вещества меняется. Не меняется. Меняется только масса раствора (растворитель добавляется или испаряется).

3. Складывать концентрации. «Смешали 30% и 50%, получили 80%» — неверно. Концентрации не складываются. Правильно — масса вещества складывается, потом делишь на массу раствора.

4. Путать массу вещества с массой раствора. Если в задаче «к 100 кг раствора 20% добавили 50 кг другого раствора 40%» — это про массы РАСТВОРА (100 и 50), не про массы вещества (20 и 20).

5. Не проверять адекватность. Если получилось, что нужно «-50 кг воды» или «концентрация 150%» — где-то ошибка. Концентрация не может превысить 100%, масса не может быть отрицательной.

Связь с другими темами

• Задачи на сплавы и смеси — детальнее про сплавы.
• Задачи на проценты — фундамент работы с процентами.
• Линейные уравнения — нужны для решения уравнений с концентрацией.
• Системы уравнений — для задач с двумя неизвестными.

Что запомнить

Главная формула:

$\text{масса вещества} = \text{масса раствора} \times \text{концентрация}$

При смешивании двух растворов:

• Массы РАСТВОРА складываются.
• Массы ВЕЩЕСТВА складываются.
• Концентрации НЕ складываются — итоговая = сумма масс вещества / сумма масс раствора.

Правило креста для типовой задачи смешения двух растворов: $\frac{m_1}{m_2} = \frac{c - c_2}{c_1 - c}$

Главное в задаче 8: различай массу раствора и массу вещества. Это критическая разница, и большинство ошибок темы — именно её игнорирование. Работай всегда через массу вещества, а проценты считай только в самом конце.