Задачи на трубы: как считать наполнение бассейна

Задачи про трубы — узнаваемый сюжет задания 8 и одновременно самый простой вход в большую тему совместной работы. По сути это та же задача про бассейн: один кран наполняет резервуар за столько-то часов, другой за столько-то, иногда есть сливное отверстие, и нужно понять, за сколько они справятся вместе. За всеми вариантами стоит одна идея — производительность трубы. Освоив её, любую такую задачу решаешь по короткому алгоритму за две-три минуты, и тебе не приходится заново придумывать решение под каждое новое условие.

Важно сразу отделить эту тему от житейской интуиции. В быту кажется, что если одна труба работает шесть часов, а другая четыре, то совместный результат «как-то усредняется» между этими числами. На самом деле всё строже: каждая труба за час делает свою фиксированную долю работы, и эти доли честно складываются. Поэтому решение никогда не сводится к среднему арифметическому времён — оно сводится к сложению скоростей наполнения. Дальше мы разберём, что такое производительность, как учитывать слив, пройдём три типовых примера и покажем таблицу, которая спасает в сложных задачах.

Главная идея: производительность

Производительность трубы — это доля бассейна, которую труба наполняет за один час. Удобно считать весь бассейн за единицу: тогда «наполнить бассейн» значит «набрать единицу». Если труба наполняет весь бассейн за $T_1$ часов, то за один час она успевает наполнить во столько же раз меньше:

$q_1 = \frac{1}{T_1}, \quad q_2 = \frac{1}{T_2}$

Это и есть ключ ко всей теме. Время и производительность связаны как величина и обратная к ней: чем дольше труба наполняет бассейн поодиночке, тем меньше её производительность. Когда несколько труб работают одновременно, их производительности складываются, потому что каждая за час добавляет свою долю воды независимо от остальных. За один час обе трубы вместе наполняют сумму своих долей, поэтому время совместной работы $T$ находится из равенства:

$\frac{1}{T} = \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2}$

Отсюда для двух труб получается компактная формула:

$T = \frac{T_1 \cdot T_2}{T_1 + T_2}$

Запоминать эту формулу необязательно — достаточно уметь складывать дроби и брать обратную величину. Но как готовый шаблон для задач с двумя трубами она экономит время на экзамене. Стоит лишь помнить, что она работает только для двух наполняющих труб без слива; как только появляется третья труба или сливное отверстие, лучше вернуться к честному сложению производительностей.

Почему складываются именно производительности, а не времена, стоит понять раз и навсегда. Представь, что обе трубы открыты одновременно: вода из них льётся параллельно и не мешает друг другу. За час первая добавляет свою долю, вторая — свою, и вместе набирается сумма долей. А время — это совсем другая величина, и складывать времена двух труб так же бессмысленно, как складывать скорости двух машин и называть результат расстоянием.

Наполнение и слив: знак производительности

Не всякая труба добавляет воду. Сливная труба или насос откачки воду убирают, и значит их производительность работает против наполнения. Поэтому к наполняющим трубам производительность прибавляем, а к сливным — вычитаем. Главное правило здесь физическое: если суммарная производительность положительна, бассейн наполнится; если отрицательна, наполнение в принципе невозможно, потому что вода уходит быстрее, чем приходит. Это удобная проверка: получил в задаче на наполнение отрицательную скорость — ищи ошибку в знаках.

Запомни простую логику расстановки знаков. Спрашивай себя про каждую трубу: она добавляет воду в бассейн или забирает? Добавляет — плюс, забирает — минус. Никакой другой роли знак не играет, поэтому путаницы быть не должно. Сложность возникает только тогда, когда в условии слив описан мудрёно, например «через незакрытую заслонку вода уходит». Главное — увидеть за словами действие: если воды становится меньше, это слив, и его производительность отрицательна.

Пример 1: две наполняющие трубы

Задача. Первая труба наполняет бассейн за шесть часов, вторая — за четыре. За сколько часов они наполнят его вместе?

Это самый базовый сюжет, с которого начинается тема. Записываем производительности и складываем. За час первая труба наполняет одну шестую бассейна, вторая — одну четвёртую. Чтобы сложить дроби, приводим их к общему знаменателю двенадцать — это наименьшее число, которое делится и на шесть, и на четыре:

$\frac{1}{T} = \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$

Вместе за час обе трубы наполняют пять двенадцатых бассейна. Время на весь бассейн — обратная величина к этой скорости:

$T = \frac{12}{5} = 2{,}4 \text{ ч}$

Десятичную часть переводим в минуты: $0{,}4$ часа это $24$ минуты. Получается два часа двадцать четыре минуты — быстрее, чем любая труба поодиночке. Это хороший признак верного решения: совместная работа всегда быстрее самой быстрой из отдельных труб. Если бы в ответе получилось время больше шести часов, это сразу указало бы на ошибку — например, на то, что случайно сложили времена вместо производительностей. Привычка проверять ответ на правдоподобие занимает секунду и ловит почти все грубые ошибки темы.

Пример 2: наполнение и слив одновременно

Задача. Наполняющая труба заполняет бассейн за три часа, сливная опустошает его за пять часов. Обе открыты при пустом бассейне. За сколько он наполнится?

Наполняющая труба даёт плюс, сливная — минус. За час наполняющая добавляет треть бассейна, сливная убирает одну пятую:

$\frac{1}{T} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{5 - 3}{15} = \frac{2}{15}$

Суммарная скорость положительна, значит бассейн наполнится. Время — обратная величина:

$T = \frac{15}{2} = 7{,}5 \text{ ч}$

Из-за слива наполнение растянулось с трёх часов до семи с половиной. Если бы сливная труба работала быстрее наполняющей, суммарная скорость стала бы отрицательной, и бассейн не наполнился бы вовсе — это и был бы корректный ответ. Такие задачи специально проверяют, понимаешь ли ты физический смысл знаков: плюс у наполнения и минус у слива не формальность, а отражение того, что вода прибавляется или убывает. Стоит перепутать знак — и решение даст бессмысленное «бассейн наполнился быстрее, чем его наполняла одна труба», что невозможно.

Пример 3: найти время одной трубы

Задача. Вместе два насоса заполняют цистерну за два часа. Первый насос работает в три раза медленнее второго. За сколько часов заполнит цистерну второй насос?

Обозначим время второго насоса буквой $x$, тогда первый работает в три раза дольше, то есть за $3x$ часов. Их производительности складываются и дают совместную скорость:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{3x} = \frac{1}{2}$

Приводим левую часть к общему знаменателю $3x$: $\dfrac{3}{3x} + \dfrac{1}{3x} = \dfrac{4}{3x}$. Получаем уравнение $\dfrac{4}{3x} = \dfrac{1}{2}$, откуда $3x = 8$ и $x = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}67$ часа. Значит второй насос заполняет цистерну за восемь третей часа, а первый — за восемь часов. Проверим: $\dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$ — совпадает с совместной скоростью.

Обрати внимание на приём, который встречается во многих задачах темы. Когда одна труба «во столько-то раз медленнее» другой, не пытайся сразу искать оба времени по отдельности — обозначь время быстрой трубы буквой, а время медленной вырази через неё. Тогда в уравнении остаётся одна неизвестная, и оно решается легко. Если же в условии связь дана через разность времён, например «первой нужно на столько-то часов больше», поступают так же: одно время берут за переменную, второе выражают через неё. Этот шаг — перевод словесной связи между трубами в одну переменную — обычно и есть ключ к решению. Алгебру для таких уравнений даёт страница линейных уравнений.

Таблица для сложных задач

Когда труб много или они работают разное время, удобно завести таблицу: в строках — трубы, в столбцах — время одного, производительность и итог.

Таблица помогает не запутаться: ты сразу видишь, у какой трубы какая производительность и что с чем складывается. В простых задачах с двумя трубами она избыточна, но в задачах с тремя трубами или с разным временем работы она экономит силы и снижает риск ошибки. Главное преимущество таблицы в том, что она заставляет аккуратно заполнить каждый столбец и не потерять ни одной трубы. Когда условие длинное и труб несколько, в голове удержать все производительности тяжело, и легко забыть про сливную трубу или перепутать, кто работает дольше. Таблица превращает запутанный текст в наглядную картину, после которой остаётся только сложить числа в столбце производительностей.

Применение в задании 8 ЕГЭ

В задании 8 задачи про трубы — частный случай задач на совместную работу, поэтому методы здесь те же, что и в общей теме совместной работы. Балл за задание — один, время на решение две-четыре минуты. Алгоритм всегда одинаков: выписать производительность каждой трубы как обратную величину к её времени, учесть знак для сливных труб, сложить скорости и взять обратную величину к сумме. Если в задаче несколько стадий, на каждой работает свой набор труб, и времена стадий в конце складываются.

Полезно заранее узнавать тип задачи по словам. Если просто даны две наполняющие трубы — складываем и берём обратную величину. Если упомянут слив или дыра — учитываем минус. Если одна труба связана с другой через «во столько-то раз» или «на столько-то больше» — вводим одну переменную и составляем уравнение. Эта быстрая классификация в голове помогает не теряться в условии и сразу понимать, какой инструмент брать.

Чтобы закрепить тему, посмотри родственные страницы: подробный разбор задач на бассейн с теми же идеями и общие задачи на работу, где вместо труб работают люди и механизмы.

Распространённые ошибки

Складывать времена, а не производительности. Самая частая ошибка. Две трубы по шесть и четыре часа не дают вместе десять часов — это бессмыслица, ведь вдвоём всегда быстрее. Складывать нужно доли работы за час, то есть производительности.

Забывать знак сливной трубы. Если труба сливает воду, её производительность входит в сумму со знаком минус. Поставить плюс — значит «ускорить» наполнение сливом, чего быть не может.

Не переводить десятичные часы в минуты. Ответ $2{,}4$ часа это два часа двадцать четыре минуты, а не два часа сорок минут. Десятичную часть умножают на шестьдесят.

Путать бассейн с реальным объёмом. Удобно считать бассейн за единицу. Если в условии дан конкретный объём в литрах, он сократится в уравнении и на ответ не повлияет, поэтому держать его в расчётах не нужно — это только усложняет арифметику.

Решать сложную задачу без таблицы. Когда труб три и больше или они работают разное время, в уме легко потерять одну из них или перепутать знаки. Таблица с тремя столбцами наводит порядок и сильно снижает риск ошибки.

Когда базовый алгоритм отработан, задачи про трубы превращаются в один из самых надёжных источников балла в задании 8: они почти никогда не требуют сложной алгебры и решаются по знакомой схеме. Главное — не торопиться при чтении условия и аккуратно перевести слова в производительности.

Что запомнить

Производительность трубы — это единица, делённая на время её работы. Наполняющие трубы дают плюс, сливные — минус. Суммарная производительность складывается из отдельных, а время на весь бассейн равно единице, делённой на эту сумму. Времена труб никогда не складывают напрямую — складывают только их скорости работы. В сложных задачах помогает таблица из трёх столбцов, а связь между трубами всегда сводят к одной переменной. И главная проверка: совместная работа всегда быстрее самой быстрой из отдельных труб.