Задачи на сплавы: масса металла и смешение

Задачи на сплавы — стабильный сюжет задания 8 профильного ЕГЭ. Они кажутся сложными из-за «химической» формулировки: медь, олово, золото, процентное содержание. Но никакой химии в них нет — это чистая арифметика долей, замаскированная под металлы. За всеми вариантами стоит одна формула и одна табличная схема, которые мы разберём ниже. Освоив их, ты будешь решать такие задачи за две-три минуты, не пугаясь незнакомых слов в условии.

Главное, что нужно усвоить с самого начала: в задаче важна не сама смесь, а масса конкретного металла внутри неё. Всё решение крутится вокруг вопроса «сколько граммов нужного металла в каждом сплаве» и факта, что при смешивании эта масса никуда не девается, а просто складывается. Если держать в голове только этот факт, любая задача на сплавы становится понятной: ты выписываешь массы металла, складываешь их и приравниваешь к массе металла в итоговом сплаве. Проценты при этом служат лишь способом найти массу металла, а не объектом, с которым работают напрямую.

Главная формула

Ключевая величина в любой задаче на сплавы — масса чистого металла, который нас интересует. Она равна массе всего сплава, умноженной на долю этого металла:

$m_{\text{металла}} = m_{\text{сплава}} \cdot \frac{p}{100}$

здесь $p$ — процентное содержание металла в сплаве. Удобнее сразу переводить процент в долю: вместо тридцати процентов писать $0{,}3$, тогда формула становится короче — масса металла равна массе сплава, умноженной на долю. Это и есть фундамент темы. Всё остальное решение строится на одном свойстве: при любых операциях со сплавами масса чистого металла сохраняется. Если два сплава сплавили вместе, масса металла в новом сплаве равна сумме масс металла в исходных. Проценты при этом не складываются — это важнейшая мысль, к которой мы ещё вернёмся.

Полезно сразу понять, почему нельзя складывать проценты. Процент — это доля, отношение массы металла к массе сплава. Складывать отношения с разными знаменателями бессмысленно, так же как нельзя сложить «половину одного пирога» и «треть другого» и получить осмысленную долю. А вот массы металла — это абсолютные величины в граммах, их складывать можно и нужно. Поэтому в задачах на сплавы всегда работают с массами металла, а проценты вычисляют только в самом конце, делением.

Табличный метод

Чтобы не запутаться, заводят таблицу из трёх столбцов: масса сплава, процент металла и масса металла. В строках записывают исходные сплавы и итоговый.

Уравнение всегда составляют по последнему столбцу, опираясь на сохранение массы металла: масса металла в итоговом сплаве равна сумме масс металла в исходных. В символах это записывается так:

$\frac{m_1 \cdot p_1}{100} + \frac{m_2 \cdot p_2}{100} = \frac{(m_1 + m_2) \cdot p}{100}$

Таблица превращает запутанное словесное условие в наглядную картину. Заполнив её, ты сразу видишь, какие массы металла нужно сложить и какое уравнение составить. Это особенно помогает, когда одна из величин неизвестна и обозначена буквой.

Заполняй таблицу всегда в одном порядке: сначала впиши известные массы сплавов и проценты, потом вычисли массы металла в первых двух столбцах, и только в конце переходи к итоговой строке. Если какая-то величина неизвестна, поставь на её место букву и продолжай заполнять как обычно — буква спокойно участвует в вычислениях наравне с числами. Когда таблица заполнена, уравнение почти всегда «выпрыгивает» само: достаточно приравнять массу металла в итоговой строке к сумме масс металла из строк исходных сплавов. Эта механика настолько надёжна, что её стоит довести до автоматизма и применять даже в простых задачах, где кажется, что можно обойтись устным счётом.

Пример 1: смешение двух сплавов

Задача. Смешали $200$ г сплава с тридцатью процентами меди и $300$ г сплава с пятьюдесятью процентами меди. Найди процентное содержание меди в полученном сплаве.

Заполняем таблицу. В первом сплаве масса меди равна $200 \cdot 0{,}3 = 60$ г, во втором — $300 \cdot 0{,}5 = 150$ г. Общая масса сплава равна $200 + 300 = 500$ г, а общая масса меди — это сумма $60 + 150 = 210$ г. Теперь находим итоговый процент делением массы меди на массу сплава:

$p = \frac{210}{500} \cdot 100\% = 42\%$

Ответ — сорок два процента. Обрати внимание: итоговый процент оказался между тридцатью и пятьюдесятью, ближе к пятидесяти, потому что второго сплава было больше. Это разумная проверка — итоговый процент всегда лежит между процентами исходных сплавов и притягивается к проценту того сплава, которого взяли больше. Если бы в ответе получилось число меньше тридцати или больше пятидесяти, это сразу указало бы на ошибку: смесь не может содержать металла меньше, чем самый бедный сплав, или больше, чем самый богатый. Такая прикидка занимает секунду и страхует от грубых промахов в арифметике.

Пример 2: сколько добавить второго сплава

Задача. К $100$ г сплава с двадцатью процентами серебра добавили сплав с пятьюдесятью процентами серебра. Сколько граммов второго сплава нужно добавить, чтобы получить сплав с тридцатью процентами серебра?

Обозначим массу добавляемого сплава буквой $x$. Масса серебра в первом сплаве равна $100 \cdot 0{,}2 = 20$ г, во втором — $0{,}5x$. Итоговая масса сплава равна $100 + x$, и в нём должно быть тридцать процентов серебра. Составляем уравнение по сохранению массы серебра:

$20 + 0{,}5x = 0{,}3 \cdot (100 + x)$

Раскрываем скобки справа: $20 + 0{,}5x = 30 + 0{,}3x$. Переносим слагаемые с неизвестной в одну сторону, числа — в другую: $0{,}2x = 10$, откуда $x = 50$. Нужно добавить пятьдесят граммов второго сплава. Логику решения стоит запомнить: мы записали массу серебра до и после добавления, приравняли её к нужной доле от итоговой массы и получили линейное уравнение с одной неизвестной. Это типовая структура почти всех задач на сплавы, где что-то добавляют, — меняются только числа. Подробнее про технику решения таких уравнений — на странице линейных уравнений.

Пример 3: взять части из двух сплавов

Задача. Из сплава с сорока процентами золота и сплава с семьюдесятью процентами золота составили $600$ г сплава с пятьюдесятью процентами золота. Сколько граммов каждого сплава взяли?

Обозначим массу первого сплава буквой $x$, тогда второго взяли $600 - x$ граммов. Масса золота в первом равна $0{,}4x$, во втором — $0{,}7(600 - x)$, а в итоговом сплаве её должно быть пятьдесят процентов от шестисот граммов, то есть $0{,}5 \cdot 600 = 300$ г. Уравнение:

$0{,}4x + 0{,}7(600 - x) = 300$

Раскрываем скобки: $0{,}4x + 420 - 0{,}7x = 300$, то есть $-0{,}3x = -120$, откуда $x = 400$. Значит первого сплава взяли четыреста граммов, второго — двести. Проверим сохранение массы золота: $0{,}4 \cdot 400 + 0{,}7 \cdot 200 = 160 + 140 = 300$ г — совпадает. Ответ: четыреста граммов первого сплава и двести граммов второго.

Хитрость этой задачи в том, что неизвестных как будто две — массы обоих сплавов, но известна их сумма. Поэтому вторую массу сразу выражают через первую как «остаток до шестисот», и в уравнении остаётся одна неизвестная. Этот приём — выразить одну величину через другую, используя известную сумму, — встречается во многих текстовых задачах и заметно упрощает решение. Без него пришлось бы составлять систему двух уравнений, что дольше и опаснее в плане ошибок.

Пример 4: добавление чистого металла

Задача. К $100$ г сплава с двадцатью пятью процентами золота добавили несколько граммов чистого золота, и доля золота стала сорок процентов. Сколько граммов золота добавили?

Чистое золото — это сплав со стопроцентным содержанием, поэтому добавляемая масса целиком идёт в массу металла. Обозначим её буквой $x$. Масса золота в исходном сплаве равна $100 \cdot 0{,}25 = 25$ г, после добавления она станет $25 + x$. Итоговая масса сплава равна $100 + x$, и доля золота в нём сорок процентов. Уравнение:

$25 + x = 0{,}4 \cdot (100 + x)$

Раскрываем: $25 + x = 40 + 0{,}4x$, переносим слагаемые: $0{,}6x = 15$, откуда $x = 25$. Добавили двадцать пять граммов чистого золота. Проверим: после добавления золота стало $25 + 25 = 50$ г, а всего сплава $100 + 25 = 125$ г, и доля равна ровно сорока процентам. Этот тип отличается тем, что у добавляемого металла доля равна единице, поэтому он прибавляется и к массе металла, и к массе сплава одновременно. Если бы вместо чистого металла добавляли «пустую» примесь без золота, она увеличивала бы только массу сплава, но не массу металла, и доля золота падала бы.

Применение в задании 8 ЕГЭ

В задании 8 задачи на сплавы — частный случай задач на смеси. Балл за задание один, время на решение две-три минуты. Алгоритм всегда одинаков: заполни таблицу с массами металла, составь уравнение по сохранению массы металла, реши его и проверь подстановкой. Если ищут процент — найди его делением суммарной массы металла на суммарную массу сплава в самом конце.

Полезно научиться распознавать тип задачи по словам условия. Если просто смешивают два сплава и спрашивают итоговый процент — это первый тип, считаем массы металла и делим. Если спрашивают, сколько добавить второго сплава для нужной доли, — вводим переменную и составляем уравнение. Если из двух сплавов составляют третий заданной массы, — выражаем одну массу через другую через известную сумму. А если добавляют чистый металл, — помним, что у него доля равна единице. Эта классификация помогает не теряться и сразу выбирать нужный приём.

Тема целиком повторяет логику растворов, поэтому полезно посмотреть страницу про концентрацию и растворы — там та же формула, только вместо металла растворённое вещество, а вместо сплава раствор. Более широкий разбор смесей и сплавов с дополнительными типами задач есть на странице сплавы и смеси.

Распространённые ошибки

Складывать проценты напрямую. Смешали тридцать и пятьдесят процентов — не получится восемьдесят. Складываются массы металла, а итоговый процент находят делением. Это главная ошибка темы.

Путать массу металла и массу сплава. В уравнении участвует именно масса чистого металла, равная массе сплава, умноженной на долю. Подставить вместо неё процент или массу всего сплава — частая ошибка.

Забывать про область допустимых значений. Масса не бывает отрицательной, и часть сплава не может превышать целое. Если получился отрицательный корень или масса больше общей, где-то ошибка.

Не делить процент на сто. Если работаешь с процентами, обязательно переводи их в доли: тридцать процентов это $0{,}3$. Удобнее сразу писать доли и не путаться, иначе уравнение даст ответ в сто раз больше или меньше нужного.

Считать, что объёмы складываются так же, как массы. В задачах ЕГЭ дают граммы и работают с массой, и именно масса металла сохраняется. Подменять массу объёмом нельзя: у разных металлов разная плотность, и объёмы при сплавлении не обязаны складываться.

Что запомнить

Главная формула: масса металла равна массе сплава, умноженной на долю металла. При смешивании сохраняется масса металла, а не проценты — проценты не складываются. Заполняй таблицу из трёх столбцов и составляй уравнение по сохранению массы металла. Итоговый процент находи делением суммарной массы металла на суммарную массу сплава и проверяй, что он лежит между процентами исходных сплавов. Если в задаче что-то добавляют или берут части — вводи переменную и составляй линейное уравнение по той же массе металла. И не забывай проверять ответ подстановкой: пересчитай долю металла в найденном сплаве и убедись, что она совпадает с требуемой.