Задачи на среднее арифметическое

Задачи на среднее арифметическое — один из самых доступных типов задания 8 ЕГЭ. Формула простая, но важно уметь решать как «прямую» задачу (найти среднее), так и «обратную» (найти неизвестное по среднему).

Формула

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \frac{\sum x_i}{n}$

Отсюда: $\sum x_i = \bar{x} \cdot n$

Тип 1: Прямая задача — найти среднее

Задача. Оценки: 4, 5, 3, 5, 4, 5, 3. Найти среднее.

$\bar{x} = \frac{4+5+3+5+4+5+3}{7} = \frac{29}{7} \approx 4{,}14$

Тип 2: Обратная задача — найти неизвестное

Задача. Ученик получил 5 оценок, среднее 4,2. Сумма первых 4 оценок — 16. Найти 5-ю оценку.

Решение: Сумма всех 5 оценок: $4{,}2 \cdot 5 = 21$ . Пятая оценка: $21 - 16 = 5$ .

Ответ: 5.

Тип 3: Среднее изменилось (добавили/убрали элемент)

Задача. Среднее 10 чисел равно 7. Добавили ещё одно число 4. Найти новое среднее.

Решение: Сумма 10 чисел: $7 \cdot 10 = 70$ . Сумма 11 чисел: $70 + 4 = 74$ . Новое среднее: $\frac{74}{11} \approx 6{,}73$ .

Тип 4: Среднее нескольких групп (средневзвешенное)

Задача. В первой группе 15 человек, средний рост 170 см. Во второй — 10 человек, средний рост 175 см. Найти средний рост всех вместе.

Решение: Сумма роста в 1-й: $15 \cdot 170 = 2550$ . Сумма роста во 2-й: $10 \cdot 175 = 1750$ . Итого: $\frac{2550 + 1750}{15 + 10} = \frac{4300}{25} = 172$ см.

Важно: средневзвешенное ≠ простое среднее двух средних! $\frac{170 + 175}{2} = 172{,}5$ — неправильно (если группы разного размера).

Тип 5: Найти условие на неизвестный элемент

Задача. Нужно, чтобы среднее 5 чисел было не меньше 4. Первые 4 числа: 3, 5, 4, 3. Каким минимальным должно быть 5-е?

Решение: Сумма первых 4: $3+5+4+3 = 15$ . Нужно: $\frac{15 + x}{5} \geq 4$ → $15 + x \geq 20$ → $x \geq 5$ .

Ответ: минимальное 5-е число = 5.

Задача в формате ЕГЭ

Условие. Николай сдавал 6 контрольных работ. После 5-й его среднее было 3,8 балла. После 6-й оно стало 4,0. Сколько баллов он получил на 6-й контрольной?

Решение: Сумма после 5 работ: $3{,}8 \cdot 5 = 19$ . Сумма после 6 работ: $4{,}0 \cdot 6 = 24$ . Оценка за 6-ю: $24 - 19 = 5$ .

Ответ: 5 баллов.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Смешать «среднее» и «сумму». Среднее = сумма / количество.

Ошибка 2. Считать средневзвешенное как простое среднее двух средних при разном числе элементов в группах.

Ошибка 3. При «добавили элемент» забыть увеличить знаменатель на 1.

Чек-лист

Знаю формулу среднего
Умею решать обратную задачу: $\sum = \bar{x} \cdot n$
При нескольких группах — использую средневзвешенное
При добавлении элемента — увеличиваю $n$