Задачи на среднее арифметическое: прямые и обратные

Среднее арифметическое — одна из самых доступных тем задания 8, и при этом одна из тех, где обидно терять балл из-за невнимательности. Сама формула известна каждому со средней школы, но экзамен почти всегда спрашивает не прямой расчёт, а что-то обратное: найти пропущенную оценку по известному среднему, понять, как изменится среднее при добавлении числа, или объединить две группы разного размера. Все эти задачи решаются одним приёмом — переходом от среднего к сумме. Если научиться свободно ходить туда и обратно между средним и суммой, тема перестаёт вызывать затруднения.

Стоит сразу настроиться на то, что среднее — это не отдельный загадочный объект, а просто способ описать набор чисел одним числом. Оно отвечает на вопрос «каким было бы каждое число, если бы все они стали одинаковыми, а сумма не изменилась». Именно поэтому сумма так важна: среднее лишь равномерно распределяет её по всем элементам. Держа в голове этот образ, легко понимать, что происходит при добавлении нового числа или при объединении групп, — мы каждый раз пересчитываем, как изменилась общая сумма и сколько теперь элементов между ней делится.

Формула и главный приём

Среднее арифметическое нескольких чисел — это их сумма, делённая на количество:

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \frac{\sum x_i}{n}$

Из этой формулы вытекает приём, на котором держится вся тема. Если умножить обе части на количество, получится выражение для суммы:

$\sum x_i = \bar{x} \cdot n$

Эта вторая запись важнее самой формулы среднего. Дело в том, что в задачах редко спрашивают «найди среднее» — куда чаще среднее уже известно, а нужно найти что-то ещё. И тогда первый шаг всегда один: по среднему и количеству восстановить сумму. Сумма — это «настоящая» величина, с которой удобно работать: её можно складывать, вычитать, к ней можно добавлять новые числа. Среднее же — производная величина, и пытаться сразу оперировать им, минуя сумму, как раз и приводит к ошибкам. Запомни это правило: увидел среднее — сразу переходи к сумме.

Полезно держать в голове ещё одно свойство. Среднее арифметическое всегда лежит между наименьшим и наибольшим из чисел. Если в ответе среднее вдруг оказалось больше любого из исходных чисел или меньше самого маленького, значит где-то ошибка. Это бесплатная проверка, которая занимает секунду.

Тип 1: прямая задача — найти среднее

Самый простой случай: даны все числа, нужно найти их среднее. Здесь достаточно сложить и разделить.

Задача. Ученик получил за неделю оценки $4, 5, 3, 5, 4, 5, 3$. Найди среднюю оценку.

Складываем все семь оценок и делим на их количество:

$\bar{x} = \frac{4+5+3+5+4+5+3}{7} = \frac{29}{7} \approx 4{,}14$

Среднее получилось примерно четыре целых четырнадцать сотых. Проверяем себя свойством: оно лежит между тройкой и пятёркой — значит результат правдоподобен. Этот тип почти не встречается в чистом виде, обычно он лишь часть более крупной задачи, но именно с него удобно начинать, чтобы привыкнуть к формуле. Заметь ещё одну деталь: среднее редко получается красивым целым числом, и это нормально. Если в задаче ответ должен быть целым, например речь идёт о количестве предметов, то среднее уже будет не ответом, а промежуточной величиной, которую дальше используют в расчётах.

Тип 2: обратная задача — найти неизвестное число

Здесь и начинается настоящая работа. Среднее известно, а одно из чисел — нет.

Задача. Ученик получил пять оценок, их среднее равно $4{,}2$. Сумма первых четырёх оценок равна $16$. Какой была пятая оценка?

Идём по главному приёму. Сначала восстанавливаем сумму всех пяти оценок: умножаем среднее на количество, то есть $4{,}2 \cdot 5 = 21$. Теперь у нас есть полная сумма и сумма первых четырёх оценок. Пятая оценка — это разность:

$21 - 16 = 5$

Ответ — пятёрка. Обрати внимание, насколько естественно прошло решение, как только мы перешли от среднего к сумме. Без этого перехода пришлось бы громоздить уравнение с дробью, а так задача решается в два коротких действия: восстановить сумму и вычесть известную часть. Этот же приём работает, даже если неизвестных чисел несколько и про них дано дополнительное условие — например, что они равны между собой. Тогда после нахождения их суммарного вклада останется поделить его на количество неизвестных. Главное правило не меняется: сначала сумма, потом всё остальное.

Тип 3: среднее изменилось — добавили или убрали число

Когда к набору добавляют число или удаляют его, меняются сразу две величины: сумма и количество. Самая частая ошибка — изменить только сумму, забыв про количество.

Задача. Среднее десяти чисел равно $7$. К набору добавили ещё одно число — четвёрку. Каким стало новое среднее?

Сначала восстанавливаем сумму исходных десяти чисел: $7 \cdot 10 = 70$. Добавляем новое число к сумме: теперь сумма равна $70 + 4 = 74$. Но количество тоже изменилось — стало одиннадцать чисел вместо десяти. Делим новую сумму на новое количество:

$\bar{x}_{\text{нов}} = \frac{74}{11} \approx 6{,}73$

Новое среднее — примерно шесть целых семьдесят три сотых. Логично, что оно уменьшилось: мы добавили число четыре, которое меньше прежнего среднего семь, и оно «потянуло» среднее вниз. Эта проверка по смыслу — ещё один способ убедиться, что ответ не абсурден.

Тип 4: среднее нескольких групп — средневзвешенное

Это место, где интуиция чаще всего подводит. Кажется, что если в одной группе среднее одно, а в другой другое, то общее среднее — это полусумма. Но так можно делать только при равных по размеру группах. Если группы разные, нужно идти через суммы.

Задача. В первой группе $15$ человек со средним ростом $170$ см, во второй — $10$ человек со средним ростом $175$ см. Найди средний рост всех вместе.

Восстанавливаем суммарный рост в каждой группе. В первой: $15 \cdot 170 = 2550$ см. Во второй: $10 \cdot 175 = 1750$ см. Теперь складываем обе суммы и делим на общее число людей:

$\bar{x} = \frac{2550 + 1750}{15 + 10} = \frac{4300}{25} = 172 \text{ см}$

Средний рост — сто семьдесят два сантиметра. А вот полусумма двух средних дала бы $(170 + 175)/2 = 172{,}5$ см — другое число, и оно неверно, потому что первая группа больше и тянет общее среднее ближе к своему значению. Запомни: усреднять средние нельзя, складывать нужно суммы.

Почему так получается, удобно представить наглядно. Каждый человек вносит в общую сумму свой рост, и людей в первой группе больше, поэтому её вклад в общую сумму весомее. Общее среднее как бы притягивается к среднему более многочисленной группы. Именно из-за этого результат оказался ближе к ста семидесяти, чем к ста семидесяти пяти. Такая величина и называется средневзвешенной: вес каждой группы — это её численность. Чем больше группа, тем сильнее её среднее влияет на итог. Если бы группы были одинакового размера, веса сравнялись бы, и тогда полусумма средних дала бы верный ответ — но это частный случай, а не общее правило.

Тип 5: условие на неизвестное число

Иногда среднее не задано точно, а ограничено неравенством: «нужно, чтобы среднее было не меньше такого-то». Тогда составляем неравенство.

Задача. Нужно, чтобы среднее пяти чисел было не меньше $4$. Первые четыре числа равны $3, 5, 4, 3$. Каким минимальным может быть пятое число?

Сумма первых четырёх чисел: $3+5+4+3 = 15$. Чтобы среднее пяти чисел было не меньше четырёх, их сумма должна быть не меньше $4 \cdot 5 = 20$. Записываем неравенство и решаем его:

$\frac{15 + x}{5} \geq 4 \;\Rightarrow\; 15 + x \geq 20 \;\Rightarrow\; x \geq 5$

Минимальное пятое число равно пяти. Алгебру для таких неравенств даёт страница линейных уравнений — приём ровно тот же, только вместо знака равенства стоит знак неравенства. Обрати внимание на логику задачи: чтобы среднее не упало ниже порога, пятое число должно компенсировать «недобор» первых четырёх. Первые четыре дали сумму пятнадцать, а для нужного среднего требуется двадцать, значит пятое число обязано добрать недостающие пять единиц. Такое рассуждение «сколько не хватает до нужной суммы» часто оказывается быстрее формального неравенства и помогает не запутаться со знаком.

Типовая задача ЕГЭ

Задача. Николай писал шесть контрольных работ. После пятой его средний балл равнялся $3{,}8$. После шестой средний балл стал $4{,}0$. Сколько баллов он получил на шестой контрольной?

Это классический сюжет задания 8, и он целиком построен на переходе к сумме. Сумма баллов после пяти работ: $3{,}8 \cdot 5 = 19$. Сумма после шести работ: $4{,}0 \cdot 6 = 24$. Шестая оценка — это разность двух сумм:

$24 - 19 = 5$

Николай получил на шестой контрольной пять баллов. Заметь, что среднее заметно выросло именно потому, что последняя оценка оказалась выше прежнего среднего. Если бы шестая оценка совпала со старым средним три и восемь десятых, среднее не изменилось бы вовсе. А если бы она оказалась ниже, среднее упало бы. Это общее правило: новое число тянет среднее в свою сторону, и чем оно дальше от прежнего среднего, тем сильнее сдвиг. Понимание этого правила позволяет в простых задачах прикинуть ответ ещё до вычислений и сразу заметить грубую ошибку, если посчитанное число противоречит здравому смыслу.

Применение в задании 8 ЕГЭ

В задании 8 задачи на среднее арифметическое встречаются как самостоятельные короткие задачи и как часть более крупных текстовых сюжетов. Балл за задание — один, на решение уходит обычно две-три минуты. Алгоритм неизменный: по среднему и количеству восстанови сумму, выполни нужное действие с суммой (сложи, вычти, объедини группы), при необходимости измени количество и в конце снова раздели сумму на количество, чтобы вернуться к среднему. Финальная проверка — убедиться, что результат лежит между минимальным и максимальным из чисел.

Тема тесно связана с процентами, потому что и там, и там работают с долями и суммами, и с задачами экономического содержания, где средние цены и средние затраты считаются по тому же принципу средневзвешенного. Понимание среднего пригодится и в прогрессиях: в арифметической прогрессии каждый член равен среднему арифметическому своих соседей, а сумма всех членов удобно считается через среднее крайних, умноженное на количество. Так что навык работы с суммой и количеством, который ты отрабатываешь здесь, переносится почти на все текстовые задачи экзамена.

Распространённые ошибки

Путать среднее и сумму. Среднее — это сумма, делённая на количество. Большинство задач решается через сумму, поэтому первым делом восстанавливай её.

Усреднять средние при разных группах. Полусумма двух средних верна только для равных групп. При разных размерах складывай суммы и дели на общее число элементов.

Забывать менять знаменатель. При добавлении числа количество увеличивается на единицу, при удалении — уменьшается. Менять только сумму, оставив прежнее количество, — частая ошибка.

Не проверять правдоподобие. Среднее всегда между наименьшим и наибольшим числом. Если оно вышло за эти границы, решение неверно. Эта проверка занимает секунду и ловит почти все грубые арифметические ошибки.

Складывать средние при объединении напрямую. Среднее общей группы — это не сумма двух средних. Сложение средних не имеет смысла; складывать нужно суммы элементов, а делить — на общее количество.

Что запомнить

Среднее арифметическое равно сумме чисел, делённой на их количество. Обратный приём — сумма равна среднему, умноженному на количество — главный инструмент темы. При объединении групп складывают суммы, а не усредняют средние. При добавлении или удалении числа меняются и сумма, и количество. И всегда работает проверка: среднее лежит между крайними значениями набора.