Задачи с экономическим содержанием: себестоимость и прибыль

Задачи с экономическим содержанием встречаются в заданиях 8 и 17 профильного ЕГЭ. На первый взгляд они кажутся сложными из-за деловой лексики: себестоимость, наценка, рентабельность, точка безубыточности. Но пугаться не стоит — никаких знаний из экономики здесь не требуется. Все эти слова лишь маскируют обычную математику: арифметику процентов и линейные уравнения. Главная задача школьника — научиться переводить экономический текст в формулы. Как только условие переведено в математику, дальнейшее решение ничем не отличается от любой другой текстовой задачи.

Именно из-за непривычных терминов эти задачи часто кажутся труднее, чем они есть на самом деле. Стоит один раз разобраться, что такое себестоимость, наценка, выручка и прибыль и как они связаны между собой, — и вся тема становится понятной. Дальше любая задача решается по одному принципу: выписываешь известные величины, связываешь их базовыми формулами и составляешь уравнение или неравенство относительно неизвестной. В этой статье мы разберём пять типовых сюжетов, которые покрывают почти все варианты экономических задач, и для каждого выпишем приём, переводящий условие в математику.

Ключевые понятия и формулы

Сначала разберёмся с базовыми величинами, на которых строятся все задачи темы.

Себестоимость — это сумма затрат на производство одной единицы товара. Цена — это то, за сколько товар продают. Связь между ними даёт наценка:

$\text{Цена} = \text{Себестоимость} \cdot (1 + \text{наценка})$

Наценка здесь в долях: двадцать пять процентов наценки — это множитель $1{,}25$. Важно помнить, что в задачах ЕГЭ наценку, как правило, считают от себестоимости, а не от цены продажи.

Выручка — это все деньги, полученные от продажи, то есть цена, умноженная на количество проданных единиц:

$\text{Выручка} = \text{Цена} \cdot \text{Количество}$

Прибыль — это разница между выручкой и всеми затратами:

$\text{Прибыль} = \text{Выручка} - \text{Затраты}$

При этом затраты складываются из двух частей. Переменные затраты зависят от объёма — это расходы на каждую произведённую единицу, и чем больше произвели, тем они выше. Постоянные затраты не зависят от объёма — это аренда, оборудование, зарплаты, которые нужно платить независимо от того, сколько произвели, даже если не произвели ничего. Различать переменные и постоянные затраты — ключевой навык темы, потому что именно их сумма даёт полные затраты. Самая частая ошибка как раз в том, что школьник учитывает только переменные расходы на единицу, забывая про постоянные, и из-за этого завышает прибыль.

Понимание структуры затрат помогает разобраться сразу в нескольких типах задач. Когда объём производства мал, постоянные расходы «размазываются» на небольшое число единиц, и каждая единица обходится дорого. С ростом объёма постоянные расходы делятся на большее число единиц, и предприятие постепенно выходит в прибыль. Именно поэтому существует понятие точки безубыточности — объёма, начиная с которого выручка перекрывает все затраты. Эту логику мы подробно разберём ниже на конкретных задачах.

Тип 1: наценка и скидка

Самый простой тип — пересчёт цены через наценку или скидку. Здесь достаточно умножить исходную величину на нужный множитель, и никаких уравнений составлять не приходится.

Задача. Себестоимость товара 4000 рублей, магазин делает наценку 25%. По какой цене продают товар?

Умножаем себестоимость на множитель наценки:

$\text{Цена} = 4000 \cdot (1 + 0{,}25) = 4000 \cdot 1{,}25 = 5000 \text{ руб.}$

Скидка работает зеркально: вместо прибавки идёт убавка, и множитель становится меньше единицы. Скидка двадцать процентов означает, что от цены осталось восемьдесят процентов, то есть множитель равен $0{,}8$.

Задача. На товар ценой 5000 рублей дали скидку 20%. Сколько он стоит после скидки?

$5000 \cdot (1 - 0{,}20) = 5000 \cdot 0{,}80 = 4000 \text{ руб.}$

Прием с множителем удобен именно тем, что несколько наценок и скидок можно перемножать подряд, не пересчитывая каждый раз промежуточную цену. Например, если на товар сначала сделали наценку, а потом дали скидку, итоговую цену получают, умножая исходную на оба множителя по очереди. При этом важно помнить главную ловушку процентов: скидка и наценка на одно и то же число процентов не возвращают исходную цену. Наценка 20%, а затем скидка 20% дают множитель $1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$, то есть итог на четыре процента ниже исходной цены. Подробнее об этом — на странице про процентный рост.

Тип 2: найти наценку по ценам

Если известны себестоимость и цена, можно найти саму наценку. Наценка — это отношение прибавки к себестоимости.

Задача. Товар купили за 2400 рублей, а продали за 3000 рублей. Какова наценка в процентах?

Прибавка составила $3000 - 2400 = 600$ рублей. Делим её на себестоимость и переводим в проценты:

$\text{Наценка} = \frac{3000 - 2400}{2400} \cdot 100\% = \frac{600}{2400} \cdot 100\% = 25\%$

Обрати внимание, что наценка считается именно от себестоимости, то есть от той суммы, за которую купили. Если бы её считали от цены продажи, получилось бы другое число: те же шестьсот рублей прибавки относительно трёх тысяч дали бы двадцать процентов, а не двадцать пять. Именно из-за этой разницы важно понимать, от какой базы берётся процент. В задачах ЕГЭ почти всегда подразумевается наценка от себестоимости, но в условии всё равно стоит читать внимательно, чтобы не перепутать базу. Это та же логика, что и в обычных задачах на проценты: процент всегда берётся от какой-то конкретной величины, и эту величину нужно правильно определить.

Тип 3: прибыль с учётом затрат

Самый содержательный тип — нахождение прибыли, где главное правильно собрать все затраты и не упустить ни одной их части.

Задача. Предприятие произвело 500 единиц товара. Себестоимость одной единицы — 120 рублей, постоянные расходы — 8000 рублей. Товар продали по 200 рублей за штуку. Найди прибыль.

Сначала считаем выручку — это цена, умноженная на количество: $500 \cdot 200 = 100\,000$ рублей. Затем собираем полные затраты, не забывая про постоянные расходы: переменные затраты равны $500 \cdot 120 = 60\,000$ рублей, и к ним прибавляем постоянные $8000$ рублей, итого $68\,000$ рублей. Наконец, прибыль — это разница:

$\text{Прибыль} = 100\,000 - 68\,000 = 32\,000 \text{ руб.}$

Главная ошибка этого типа — забыть про постоянные расходы или принять выручку за прибыль. Прибыль всегда меньше выручки, потому что из неё вычитают все затраты. Полезно решать такие задачи строго по шагам: сначала выручка, потом полные затраты с учётом и переменных, и постоянных расходов, и только в конце их разность. Если идти по этому порядку, ничего не потеряешь и не перепутаешь. Особенно внимательно читай, какие расходы постоянные, а какие переменные: иногда условие маскирует постоянные расходы под нейтральными словами вроде «дополнительные затраты» или «аренда оборудования».

Тип 4: при каком объёме появляется прибыль

В этом типе вместо конкретного числа ищут условие на объём производства, и решение приводит к неравенству.

Задача. Завод производит $n$ деталей. Затраты составляют $5n + 200$ рублей: постоянные 200 рублей плюс 5 рублей на каждую деталь. Деталь продаётся за 8 рублей. При каком числе деталей прибыль положительна?

Прибыль — это выручка минус затраты. Выручка равна $8n$, затраты равны $5n + 200$, поэтому прибыль равна $8n - (5n + 200) = 3n - 200$. Чтобы она была положительной, составляем неравенство:

$3n - 200 > 0 \;\Rightarrow\; n > \frac{200}{3} \approx 66{,}7$

Число деталей целое, поэтому при $n \geq 67$ прибыль становится положительной. Здесь дискретность ответа важна: дробного числа деталей не бывает, и округлять нужно вверх до ближайшего целого. При шестидесяти шести деталях прибыль ещё отрицательна, а вот при шестидесяти семи уже положительна, поэтому именно шестьдесят семь — наименьшее число деталей, дающее прибыль. Эту особенность подробно разбирает страница про целочисленный ответ. Логика таких задач всегда одна: составить выражение для прибыли как разность выручки и затрат, приравнять к нулю или к заданному условию и решить относительно объёма.

Тип 5: точка безубыточности

Точка безубыточности — это объём продаж, при котором выручка ровно равна затратам, то есть прибыль равна нулю. Это граница между убытком и прибылью.

Задача. Постоянные издержки составляют 12 000 рублей, переменные — 50 рублей на единицу, цена реализации — 80 рублей за единицу. Сколько единиц нужно продать, чтобы выйти в ноль?

Приравниваем выручку к сумме переменных и постоянных затрат:

$80n = 50n + 12\,000$

Переносим слагаемые с неизвестной в одну сторону: $30n = 12\,000$, откуда $n = 400$. Значит нужно продать минимум 400 единиц, чтобы покрыть все расходы. Каждая проданная сверх этого единица приносит прибыль, а при меньшем объёме предприятие работает в убыток. Удобно понимать точку безубыточности так: на каждой единице предприятие зарабатывает разницу между ценой и переменными затратами, то есть тридцать рублей. Этими тридцатью рублями с каждой единицы нужно набрать постоянные расходы в двенадцать тысяч, и для этого требуется ровно четыреста единиц. Такой взгляд через «вклад каждой единицы в покрытие постоянных затрат» часто помогает быстрее увидеть ответ, чем решение уравнения, и служит хорошей проверкой.

Применение в задании ЕГЭ

В задании 8 экономические задачи встречаются в коротком виде: наценка, скидка, простой расчёт прибыли. В задании 17 экономическое содержание оформляется как развёрнутая финансовая задача с кредитами и вкладами, где работает сложный процент. Полную кредитную модель разбирает страница финансовых задач, а задачи на максимум прибыли через производную — страница оптимизации.

Главный навык во всех этих задачах одинаков: перевести экономический текст в формулы. Себестоимость, цена, наценка, выручка, прибыль — это просто названия величин, между которыми есть простые связи. Как только ты выписал, что чему равно, задача превращается в обычное уравнение или неравенство. Никаких специальных экономических знаний для этого не нужно — достаточно аккуратно читать условие и помнить базовые формулы.

Полезно заранее распознавать тип задачи по словам. Если спрашивают цену после наценки или скидки — это первый тип, простое умножение на множитель. Если по двум ценам ищут наценку — второй тип, делим прибавку на себестоимость. Если нужно найти прибыль — третий тип, собираем все затраты и вычитаем из выручки. Если спрашивают, при каком объёме появляется прибыль, — четвёртый тип с неравенством. А если ищут объём, при котором выручка равна затратам, — это точка безубыточности. Такая классификация в голове экономит время и помогает сразу выбрать нужный приём, не теряясь в деловой лексике условия.

Распространённые ошибки

Путать наценку от себестоимости и от цены продажи. В ЕГЭ наценку обычно считают от себестоимости. Считать её от цены продажи — частая ошибка, дающая другой ответ.

Не учитывать постоянные расходы. При расчёте прибыли в затраты входят и переменные, и постоянные расходы. Учесть только переменные — значит завысить прибыль.

Принимать выручку за прибыль. Прибыль равна выручке минус затраты, а не самой выручке. Это разные величины, и путать их нельзя.

Забывать про целочисленность. В задачах на объём производства ответ обычно целый, потому что деталей или единиц товара не бывает дробное число. Округляй по смыслу условия — обычно вверх, когда нужно гарантированно покрыть затраты или выйти в прибыль.

Что запомнить

Цена равна себестоимости, умноженной на множитель наценки. Выручка равна цене, умноженной на количество. Прибыль равна выручке минус все затраты, причём затраты складываются из переменных и постоянных. Точку безубыточности находят, приравнивая выручку к затратам, или считая, сколько единиц нужно, чтобы их вклад покрыл постоянные расходы. И главное — за экономическими терминами стоит обычная арифметика процентов и линейные уравнения, поэтому никаких знаний из экономики решать такие задачи не требует.