Задачи с экономическим содержанием

Задачи с экономическим содержанием — подтип заданий 8 и 17 ЕГЭ. Здесь нужно работать с понятиями себестоимости, наценки, прибыли и производства. Никаких новых формул — только переводить экономический текст в математику.

Ключевые понятия и формулы

Цена и себестоимость: $\text{Цена} = \text{Себестоимость} \cdot (1 + \text{наценка})$

Прибыль: $\text{Прибыль} = \text{Выручка} - \text{Затраты}$

Рентабельность (норма прибыли): $R = \frac{\text{Прибыль}}{\text{Себестоимость}} \cdot 100\%$

Выручка: $\text{Выручка} = \text{Цена} \cdot \text{Количество}$

Тип 1: Наценка и скидка

Задача. Себестоимость товара 4000 руб. Магазин делает наценку 25%. По какой цене продают?

$\text{Цена} = 4000 \cdot (1 + 0{,}25) = 4000 \cdot 1{,}25 = 5000 \text{ руб.}$

Задача. На товар 5000 руб. дали скидку 20%. Цена после скидки?

$5000 \cdot (1 - 0{,}20) = 5000 \cdot 0{,}80 = 4000 \text{ руб.}$

Тип 2: Найти наценку по ценам

Задача. Купили за 2400 руб., продали за 3000 руб. Какова наценка в процентах?

$\text{Наценка} = \frac{3000 - 2400}{2400} \cdot 100\% = \frac{600}{2400} \cdot 100\% = 25\%$

Тип 3: Прибыль с учётом затрат

Задача. Предприятие произвело 500 единиц товара. Себестоимость 1 единицы — 120 руб., постоянные расходы — 8000 руб. Продали по 200 руб. за штуку. Найти прибыль.

Решение: Выручка: $500 \cdot 200 = 100\,000$ руб. Общие затраты: $500 \cdot 120 + 8000 = 60\,000 + 8\,000 = 68\,000$ руб. Прибыль: $100\,000 - 68\,000 = 32\,000$ руб.

Тип 4: Оптимизация производства

Задача. Завод производит $n$ деталей. Затраты: $5n + 200$ (постоянные 200 руб. + 5 руб. на деталь). Деталь продаётся за 8 руб. При каком $n$ прибыль больше нуля?

Решение: Прибыль $= 8n - (5n + 200) = 3n - 200 > 0$ $n > \frac{200}{3} \approx 66{,}7$

При $n \geq 67$ — прибыль положительная.

Тип 5: Задачи на «точку безубыточности»

Задача. Постоянные издержки — 12 000 руб. Переменные — 50 руб./ед. Цена реализации — 80 руб./ед. Сколько единиц нужно продать, чтобы не убыть?

Решение: Точка безубыточности: выручка = затраты. $80n = 50n + 12\,000$ $30n = 12\,000$ $n = 400$

Нужно продать минимум 400 единиц.

Тип 6: Два варианта производства

Задача. Первый вариант: аренда станка 5000 руб./мес. + 3 руб./ед. Второй вариант: покупка за 60 000 руб., затраты 1 руб./ед. При каком объёме второй вариант выгоднее?

Решение: Пусть $n$ — число единиц за 1 месяц. За $t$ месяцев:

Стоимость 1-го варианта: $5000t + 3nt$ Стоимость 2-го варианта: $60\,000 + nt$

Второй выгоднее: $60\,000 + nt < 5\,000t + 3nt$ $60\,000 < 5\,000t + 2nt$

Например, если $n = 300$ в месяц: $60\,000 < 5\,000t + 600t = 5\,600t$ $t > \frac{60\,000}{5\,600} \approx 10{,}7$ мес.

При объёме 300 ед./мес. — с 11-го месяца выгоднее купить.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Путать «наценка от себестоимости» и «наценка от цены продажи». В ЕГЭ обычно от себестоимости.

Ошибка 2. Не учитывать постоянные расходы при расчёте прибыли.

Ошибка 3. Прибыль = выручка (а не выручка минус затраты).

Чек-лист

Прибыль = выручка − затраты
Наценка считается от себестоимости
В задачах на оптимизацию составляю неравенство
В задачах «два варианта» приравниваю стоимости для нахождения точки пересечения