Задачи на бассейн — классический подтип задания 8 ЕГЭ. Нужно понять одну идею: у каждой трубы есть производительность (доля бассейна в единицу времени), и они складываются. Дальше — простая арифметика.

Основная идея: производительность

Если труба наполняет бассейн за aa часов, её производительность: p=1a (бассейна в час)p = \frac{1}{a} \text{ (бассейна в час)}

Совместная работа: 1a+1b=1t\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{t}

где tt — время при совместной работе.

Из этого: t=aba+bt = \frac{ab}{a + b}

Наполнение vs опорожнение

Важно: труба, наполняющая бассейн, вносит положительную производительность. Труба, опорожняющая — отрицательную.

Общая формула для смешанного случая: 1t=1a1+1a2−1b1−1b2\frac{1}{t} = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} - \frac{1}{b_1} - \frac{1}{b_2}

где aia_i — наполняющие, bjb_j — опорожняющие.

Задача 1: Две наполняющих трубы

Первая труба наполняет бассейн за 6 часов, вторая — за 4 часа. За сколько часов наполнят вместе?

Решение: 16+14=212+312=512\frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12}

t=125=2,4 чt = \frac{12}{5} = 2{,}4 \text{ ч}

Ответ: 2 часа 24 минуты.

Задача 2: Наполнение и слив одновременно

Бассейн наполняется за 3 часа. Через дыру вытекает за 12 часов. Открыли кран и оставили дыру. За сколько наполнится?

Решение: 13−112=412−112=312=14\frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{4}{12} - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}

t=4 чt = 4 \text{ ч}

Ответ: за 4 часа.

Задача 3: Неполное наполнение — сколько за X часов?

Труба наполняет бассейн за 8 часов. Сколько бассейна наполнит за 3 часа?

38 бассейна\frac{3}{8} \text{ бассейна}

Задача 4: Трубы работали разное время

Первая труба наполняет за 6 ч, вторая за 9 ч. Сначала 2 часа работала первая, потом обе вместе. Через сколько наполнился бассейн (с момента включения первой)?

Решение: За 2 часа первая трубу наполнила: 26=13\frac{2}{6} = \frac{1}{3} бассейна.

Осталось 23\frac{2}{3} бассейна. Совместная производительность: 16+19=318+218=518\frac{1}{6} + \frac{1}{9} = \frac{3}{18} + \frac{2}{18} = \frac{5}{18}

Время для 23\frac{2}{3}: t2=2/35/18=23⋅185=125=2,4 чt_2 = \frac{2/3}{5/18} = \frac{2}{3} \cdot \frac{18}{5} = \frac{12}{5} = 2{,}4 \text{ ч}

Общее время: 2+2,4=4,42 + 2{,}4 = 4{,}4 ч.

Ответ: 4 ч 24 мин.

Задача 5: Найти производительность по результату

Две трубы вместе наполняют бассейн за 2 часа. Первая в одиночку — за 3 часа. За сколько — вторая?

Решение: 13+1b=12\frac{1}{3} + \frac{1}{b} = \frac{1}{2} 1b=12−13=16\frac{1}{b} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} b=6 чb = 6 \text{ ч}

Ответ: вторая наполняет за 6 часов.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Складывать времена: «наполняют за 6 и 4 часа → вместе за 10». Нет! Складываются производительности, а не времена.

Ошибка 2. Забыть про отрицательную производительность слива.

Ошибка 3. Не перевести ответ в нужные единицы (часы/минуты).

Чек-лист

  • Производительность = 1/время
  • Совместная работа: производительности складываются
  • Слив — отрицательная производительность
  • Проверяю ответ: совместная работа быстрее каждой по отдельности

Связанные темы