Задачи на бассейн: трубы, наполнение и слив

Задачи про бассейн — один из самых узнаваемых сюжетов задания 8. Условие почти всегда звучит одинаково: один кран наполняет бассейн за столько-то часов, другой за столько-то, иногда есть сливное отверстие, и нужно понять, за сколько времени бассейн наполнится при совместной работе. На первый взгляд кажется, что чисел много и легко запутаться, но за всеми вариантами стоит одна-единственная идея — идея производительности. Если её освоить, любая задача про трубы и бассейны решается по одному и тому же короткому алгоритму, и времени на неё уходит две-три минуты.

Важно с самого начала отделить эту тему от житейской интуиции. В быту кажется, что если одна труба работает шесть часов, а другая четыре, то вместе они «как-то усредняются». На самом деле всё строже и проще: каждая труба за час делает свою фиксированную долю работы, и эти доли честно складываются. Поэтому решение никогда не сводится к среднему арифметическому времён — оно сводится к сложению скоростей. Дальше мы подробно разберём, что такое производительность, как учитывать слив, и пройдём пять типовых сюжетов, которые покрывают почти все варианты задания 8 про бассейн.

Главная идея: производительность

Производительность трубы — это доля бассейна, которую труба наполняет за один час. Удобно считать весь бассейн за единицу: тогда «наполнить бассейн» означает «набрать единицу». Если труба наполняет весь бассейн за $a$ часов, то за один час она наполняет в $a$ раз меньше:

$p = \frac{1}{a} \text{ (бассейна в час)}$

Это ключ ко всему. Время и производительность связаны как величина и обратная к ней: чем дольше труба наполняет бассейн в одиночку, тем меньше её производительность. Когда работают несколько труб одновременно, их производительности складываются, потому что каждая за час добавляет свою долю воды независимо от остальных. Суммарная производительность двух наполняющих труб равна сумме их отдельных скоростей:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{t}$

здесь $t$ — искомое время совместной работы. Отсюда получается компактная формула для двух труб:

$t = \frac{ab}{a + b}$

Запоминать эту формулу необязательно — достаточно уметь складывать дроби и брать обратную величину. Но в простых задачах с двумя трубами она экономит время, и её полезно знать как готовый шаблон.

Почему вообще производительности складываются, а времена нет? Представь, что обе трубы открыты одновременно. За один час первая успевает добавить свою долю воды, а вторая — свою, и эти доли никак не мешают друг другу: вода из разных труб льётся параллельно. Значит за час набирается сумма двух долей. А время — это совсем другая величина: оно показывает, сколько часов нужно одной трубе, и складывать времена двух труб так же бессмысленно, как складывать скорости двух пешеходов и называть это расстоянием. Запомни этот образ: складываются именно скорости работы, измеренные в долях бассейна за час, а время каждый раз получается из них обратным действием.

Наполнение и слив: знак производительности

Не всякая труба добавляет воду. Сливное отверстие или насос откачки воду убирает, и значит его производительность работает против наполнения. Поэтому к наполняющим трубам мы прибавляем их производительность, а к сливным — вычитаем. Если в задаче есть и наполняющие, и сливные трубы, общая скорость изменения уровня воды записывается так:

$\frac{1}{t} = \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} - \frac{1}{b_1} - \frac{1}{b_2}$

где буквами $a$ обозначены времена наполняющих труб, а буквами $b$ — времена сливных. Главное правило здесь физическое: если суммарная производительность положительна, бассейн наполнится; если она отрицательна, наполнение в принципе невозможно, потому что вода уходит быстрее, чем приходит. Это удобный способ проверить себя: если в задаче на наполнение получилась отрицательная или нулевая суммарная скорость, где-то перепутаны знаки.

Сюжет 1: две наполняющие трубы

Задача. Первая труба наполняет бассейн за шесть часов, вторая — за четыре. За сколько часов они наполнят бассейн, работая вместе?

Записываем производительности и складываем их. Первая труба за час наполняет одну шестую бассейна, вторая — одну четвёртую. Приводим дроби к общему знаменателю двенадцать и складываем:

$\frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$

Это значит, что вместе обе трубы за час наполняют пять двенадцатых бассейна. Чтобы найти время на весь бассейн, берём величину, обратную к суммарной производительности:

$t = \frac{12}{5} = 2{,}4 \text{ ч}$

Переводим десятичную часть в минуты: $0{,}4$ часа это $24$ минуты. Получается, что вместе трубы наполняют бассейн за два часа двадцать четыре минуты — быстрее, чем любая из них поодиночке. Это хороший признак того, что решение верное: совместная работа всегда быстрее самой быстрой из отдельных труб.

Сюжет 2: наполнение и слив одновременно

Задача. Бассейн наполняется через кран за три часа, а через дыру в дне вытекает за двенадцать часов. Кран открыли, дыру не заткнули. За сколько часов бассейн наполнится?

Здесь кран добавляет воду, а дыра её убирает, поэтому производительности вычитаются. За час кран наполняет треть бассейна, а дыра сливает одну двенадцатую:

$\frac{1}{3} - \frac{1}{12} = \frac{4}{12} - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

Итоговая скорость наполнения — четверть бассейна в час, и она положительна, значит бассейн действительно наполнится. Время находим как обратную величину:

$t = 4 \text{ ч}$

Обрати внимание: из-за слива наполнение растянулось с трёх часов до четырёх. Если бы дыра сливала быстрее, чем кран наполняет, суммарная скорость стала бы отрицательной, и бассейн не наполнился бы никогда — это и был бы корректный ответ такой задачи.

Сюжет 3: какая часть наполнится за заданное время

Задача. Труба наполняет бассейн за восемь часов. Какую часть бассейна она наполнит за три часа?

Это самая простая разновидность. За час труба наполняет одну восьмую бассейна, значит за три часа — в три раза больше:

$3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \text{ бассейна}$

Ответ — три восьмых бассейна. Такой расчёт постоянно нужен внутри более сложных задач, где сначала одна труба работает какое-то время в одиночку, а потом к ней подключаются другие. Идея простая: чтобы узнать наполненную долю, умножь производительность трубы на число отработанных часов. И наоборот, чтобы по доле найти время, раздели долю на производительность. Эти два действия — умножение и деление — и есть весь рабочий инструмент темы; всё остальное лишь аккуратное чтение условия.

Сюжет 4: трубы работали разное время

Задача. Первая труба наполняет бассейн за шесть часов, вторая — за девять. Сначала два часа работала только первая труба, потом включили обе. Через сколько времени с момента включения первой трубы бассейн будет полон?

Разобьём процесс на две стадии. На первой стадии первая труба работает одна два часа. За это время она наполняет долю $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ бассейна. Значит после двух часов остаётся наполнить две трети бассейна.

На второй стадии работают обе трубы. Их суммарная производительность складывается из одной шестой и одной девятой:

$\frac{1}{6} + \frac{1}{9} = \frac{3}{18} + \frac{2}{18} = \frac{5}{18}$

Чтобы наполнить оставшиеся две трети с этой скоростью, делим оставшуюся долю на производительность:

$t_2 = \frac{2/3}{5/18} = \frac{2}{3} \cdot \frac{18}{5} = \frac{12}{5} = 2{,}4 \text{ ч}$

Теперь складываем время обеих стадий: два часа работала первая труба плюс ещё два часа двадцать четыре минуты совместной работы. Получаем общее время $2 + 2{,}4 = 4{,}4$ часа, то есть четыре часа двадцать четыре минуты с момента включения первой трубы. Главное в таких задачах — не пытаться решить всё одним уравнением, а честно разбить процесс на стадии. На каждой стадии работает свой набор труб, у каждого набора своя суммарная производительность, и время каждой стадии считается отдельно. В конце времена стадий складываются — вот тут сложение времён уместно, потому что речь об одном и том же бассейне, наполняемом последовательно.

Сюжет 5: найти время одной трубы по совместному результату

Задача. Две трубы вместе наполняют бассейн за два часа. Первая труба в одиночку наполняет его за три часа. За сколько часов наполнит бассейн вторая труба?

Здесь известна совместная производительность и производительность первой трубы, а найти нужно вторую. Запишем уравнение для суммы скоростей:

$\frac{1}{3} + \frac{1}{b} = \frac{1}{2}$

Выражаем неизвестную дробь, перенося известную в правую часть:

$\frac{1}{b} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3 - 2}{6} = \frac{1}{6}$

Раз производительность второй трубы равна одной шестой бассейна в час, то весь бассейн она наполняет за шесть часов. Ответ — шесть часов.

Применение в задании 8 ЕГЭ

В задании 8 задачи про бассейн и трубы — частный случай задач на совместную работу, поэтому методы здесь те же, что и в более общей теме совместной работы. Балл за задание — один, время на решение обычно две-четыре минуты. Алгоритм всегда одинаковый: выписать производительность каждой трубы как обратную величину к её времени, учесть знак для сливных труб, сложить скорости и взять обратную величину к сумме. Если в задаче есть стадии, на которых работают разные наборы труб, считаем каждую стадию отдельно и в конце складываем времена.

Полезно заранее распознавать, к какому из пяти сюжетов относится задача. Если просто даны две наполняющие трубы — это первый сюжет, складываем и берём обратную величину. Если упомянут слив или дыра — учитываем минус. Если спрашивают, сколько наполнится за часть времени, — умножаем производительность на часы. Если трубы включали в разное время — разбиваем на стадии. И если известна совместная скорость, а ищут одну трубу — составляем уравнение и выражаем неизвестную дробь. Эта классификация в голове экономит время: ты сразу видишь, какой инструмент брать, и не путаешься в условии.

Чтобы закрепить тему, посмотри родственные страницы: общие задачи на работу с теми же идеями производительности и более короткий конспект про трубы. Алгебру для уравнений из таких задач даёт страница линейных уравнений.

Распространённые ошибки

Складывать времена, а не производительности. Самая частая ошибка темы. Две трубы по шесть и четыре часа не дают вместе десять часов — это бессмыслица, потому что вдвоём всегда быстрее. Складывать нужно доли работы за час, то есть производительности.

Забыть знак сливной трубы. Если труба сливает воду, её производительность входит в сумму со знаком минус. Поставить плюс — значит «ускорить» наполнение сливом, чего быть не может.

Не перевести десятичные часы в минуты. Ответ $2{,}4$ часа это два часа двадцать четыре минуты, а не два часа сорок минут. Десятичную часть умножают на шестьдесят.

Считать, что бассейн всегда наполнится. Если слив быстрее наполнения, суммарная скорость отрицательна и наполнение невозможно. Проверь знак итоговой производительности.

Алгоритм решения

Любую задачу про бассейн удобно решать по одной схеме. Сначала прочитай условие и для каждой трубы определи её производительность как единицу, делённую на время работы. Затем расставь знаки: наполняющие трубы берём с плюсом, сливные — с минусом. Сложи все производительности в одну суммарную скорость и проверь её знак. Если задача спрашивает время на весь бассейн при постоянном составе труб, возьми обратную величину к суммарной скорости. Если же есть стадии или бассейн начали наполнять не с пустого, раздели работу на участки и сосчитай каждый отдельно, а в конце сложи времена. Последним шагом всегда переведи десятичные часы в минуты, если ответ дробный, и проверь, что совместная работа получилась быстрее одиночной.

Что запомнить

Производительность трубы — это единица, делённая на время её работы. Наполняющие трубы дают плюс, сливные — минус. Суммарная производительность складывается из отдельных, а время на весь бассейн равно единице, делённой на эту сумму. Если работа идёт стадиями, считаем каждую стадию по отдельности и складываем времена. И главная проверка: совместная работа всегда быстрее самой быстрой из отдельных труб.