Задачи на бассейн: трубы, наполнение и слив

Типичное условие: один кран наполняет бассейн за столько-то часов, другой за столько-то, иногда есть сливное отверстие, и нужно найти время наполнения при совместной работе. За всеми вариантами стоит одна идея, производительность.

Не усредняй времена: каждая труба за час делает свою фиксированную долю работы, и складываются именно доли. Текстовые задачи на ЕГЭ — это №11 по проекту документов ЕГЭ-2027 (ФИПИ): часть 1, краткий ответ, 1 балл. Итоговые документы могут отличаться.

Главная идея: производительность

Производительность трубы — это доля бассейна, которую труба наполняет за один час. Удобно считать весь бассейн за единицу: тогда «наполнить бассейн» означает «набрать единицу». Если труба наполняет весь бассейн за $a$ часов, то за один час она наполняет в $a$ раз меньше:

$p=\frac{1}{a}\text{ (бассейна в час)}$

Чем дольше труба наполняет бассейн в одиночку, тем меньше её производительность. Когда трубы работают одновременно, производительности складываются: каждая за час добавляет свою долю воды независимо от остальных. Для двух наполняющих труб:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{t}$

здесь $t$ — искомое время совместной работы. Отсюда получается компактная формула для двух труб:

$t=\frac{ab}{a+b}$

Формулу запоминать необязательно, достаточно уметь складывать дроби и брать обратную величину. Времена складывать нельзя: время показывает, сколько часов нужно одной трубе, а складывается скорость работы в долях бассейна за час.

Наполнение и слив: знак производительности

Сливное отверстие воду убирает, поэтому его производительность вычитаем. Если есть и наполняющие, и сливные трубы:

$\frac{1}{t}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}-\frac{1}{b_1}-\frac{1}{b_2}$

где $a$ — времена наполняющих труб, $b$ — сливных. Если суммарная производительность положительна, бассейн наполнится; если нет, наполнение невозможно. Если в задаче на наполнение получилась отрицательная или нулевая скорость, проверь знаки.

Сюжет 1: две наполняющие трубы

Задача. Первая труба наполняет бассейн за шесть часов, вторая — за четыре. За сколько часов они наполнят бассейн, работая вместе?

Первая труба за час наполняет $\frac{1}{6}$ бассейна, вторая — $\frac{1}{4}$:

$\frac{1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{2}{12}+\frac{3}{12}=\frac{5}{12}$

Вместе за час — $\frac{5}{12}$ бассейна. Время на весь бассейн — обратная величина:

$t=\frac{12}{5}=2,4\text{ ч}$

Перевод в минуты: $0,4$ часа это $24$ минуты, ответ — 2 часа 24 минуты. Трубы вместе справляются быстрее любой из них поодиночке, это признак верного решения.

Сюжет 2: наполнение и слив одновременно

Задача. Бассейн наполняется через кран за три часа, а через дыру в дне вытекает за двенадцать часов. Кран открыли, дыру не заткнули. За сколько часов бассейн наполнится?

Кран за час наполняет $\frac{1}{3}$ бассейна, дыра сливает $\frac{1}{12}$, производительности вычитаются:

$\frac{1}{3}-\frac{1}{12}=\frac{4}{12}-\frac{1}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$

Скорость $\frac{1}{4}$ бассейна в час положительна, значит, бассейн наполнится. Время — обратная величина:

$t=4\text{ ч}$

Из-за слива наполнение растянулось с трёх часов до четырёх. Если бы дыра сливала быстрее, чем кран наполняет, скорость стала бы отрицательной, и бассейн не наполнился бы никогда.

Сюжет 3: какая часть наполнится за заданное время

Задача. Труба наполняет бассейн за восемь часов. Какую часть бассейна она наполнит за три часа?

За час труба наполняет $\frac{1}{8}$ бассейна, за три часа — втрое больше:

$3\cdot \frac{1}{8}=\frac{3}{8}\text{ бассейна}$

Ответ — $\frac{3}{8}$ бассейна. Такой расчёт нужен внутри более сложных задач: наполненная доля равна производительности, умноженной на часы; время равно доле, делённой на производительность.

Сюжет 4: трубы работали разное время

Задача. Первая труба наполняет бассейн за шесть часов, вторая — за девять. Сначала два часа работала только первая труба, потом включили обе. Через сколько времени с момента включения первой трубы бассейн будет полон?

Первая труба работает одна два часа и наполняет $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ бассейна. Остаётся $\frac{2}{3}$. Дальше работают обе трубы:

$\frac{1}{6}+\frac{1}{9}=\frac{3}{18}+\frac{2}{18}=\frac{5}{18}$

Оставшуюся долю делим на суммарную производительность:

$t_2=\frac{2/3}{5/18}=\frac{2}{3}\cdot \frac{18}{5}=\frac{12}{5}=2,4\text{ ч}$

Общее время: $2+2,4=4,4$ часа, то есть 4 часа 24 минуты с момента включения первой трубы. Такие задачи разбивают на стадии: на каждой работает свой набор труб, время стадий считают отдельно, а в конце складывают. Сложение времён здесь уместно, потому что стадии идут одна за другой.

Сюжет 5: найти время одной трубы по совместному результату

Задача. Две трубы вместе наполняют бассейн за два часа. Первая труба в одиночку наполняет его за три часа. За сколько часов наполнит бассейн вторая труба?

Известны совместная скорость и скорость первой трубы. Уравнение для суммы скоростей:

$\frac{1}{3}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}$

$\frac{1}{b}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3-2}{6}=\frac{1}{6}$

Вторая труба наполняет $\frac{1}{6}$ бассейна в час, то есть весь бассейн за 6 часов.

Сюжет 6: две наполняющие трубы и слив

Задача. Первая труба наполняет бассейн за 8 часов, вторая за 12 часов, а через сливное отверстие вода вытекает за 24 часа. За сколько часов наполнится пустой бассейн, если открыть всё сразу?

Сначала производительности, потом знаки: две трубы дают плюс, слив даёт минус.

$\frac{1}{8}+\frac{1}{12}-\frac{1}{24}=\frac{3}{24}+\frac{2}{24}-\frac{1}{24}=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}$

Общий знаменатель 24 подошёл сразу: он делится и на 8, и на 12, и на 24. Скорость $\frac{1}{6}$ бассейна в час положительна, значит, бассейн наполнится, а время обратное:

$t=6\text{ ч}$

Ответ: 6 часов. Прикинь на глаз: без слива две трубы справились бы за $\frac{8\cdot 12}{8+12}=4,8$ часа, со сливом время выросло. Если в ответе получилось меньше, где-то перепутан знак.

Сюжет 7: бассейн уже частично заполнен

Задача. Бассейн заполнен на $\frac{3}{5}$. Открыли трубу, которая наполняет весь бассейн за 20 часов, но слив остался открытым: через него бассейн опустел бы за 30 часов. Сколько часов понадобится, чтобы бассейн заполнился до краёв?

Пустым считать бассейн нельзя: работы осталось не единица, а только недостающая доля.

$1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$

Суммарная производительность трубы и слива:

$\frac{1}{20}-\frac{1}{30}=\frac{3}{60}-\frac{2}{60}=\frac{1}{60}$

Время равно оставшейся доле, делённой на скорость:

$t=\frac{2}{5}:\frac{1}{60}=\frac{2}{5}\cdot 60=24\text{ ч}$

Ответ: 24 часа. Слив здесь съедает почти всю мощность трубы, поэтому даже две пятых бассейна набираются целые сутки.

Сюжет 8: скорость трубы в литрах

В части задач бассейн дан в литрах, а скорость обозначена буквой. Тогда доли не нужны: время равно объёму, делённому на скорость, и неизвестная уходит в уравнение.

Задача. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 110 литров она заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая?

Пусть первая труба пропускает $x$ литров в минуту, тогда вторая пропускает $x+1$. Время каждой равно объёму, делённому на скорость. Разность времён — одна минута:

$\frac{110}{x}-\frac{110}{x+1}=1$

Приведём к общему знаменателю $x(x+1)$ и раскроем скобки:

$110(x+1)-110x=x(x+1)$

$110=x^2+x$

$x^2+x-110=0$

Дискриминант $D=1+440=441=21^2$, корни:

$x=\frac{-1\pm 21}{2},x_1=10,x_2=-11$

Скорость не бывает отрицательной, поэтому подходит только $x=10$. Проверка: первая труба наполняет 110 литров за 11 минут, вторая (11 литров в минуту) за 10 минут, разность ровно одна минута. Ответ: 10 литров в минуту.

Попробуй сам объяснить, почему корень $-11$ отбрасывается и что бы он значил в сюжете. Ответ: скорость наполнения — величина положительная, а отрицательное число в такой роли не имеет физического смысла.

Способ с конкретным объёмом

Дроби можно обойти. Придумай бассейну удобный объём в литрах, равный наименьшему общему кратному времён, и считай скорости в литрах в час. На ответ это не влияет, потому что искомое время от выбранного объёма не зависит.

Задача. Одна труба наполняет бассейн за 12 часов, другая за 18 часов. За сколько часов они наполнят его вместе?

$\text{НОК}(12;18)=36$, пусть в бассейне 36 литров. Первая труба даёт $36:12=3$ литра в час, вторая даёт $36:18=2$ литра в час. Вместе 5 литров в час:

$t=\frac{36}{5}=7,2\text{ ч}$

Дробная часть: $0,2\cdot 60=12$ минут, то есть 7 часов 12 минут. Тот же результат даёт и метод долей: $\frac{1}{12}+\frac{1}{18}=\frac{3}{36}+\frac{2}{36}=\frac{5}{36}$. Какой способ выбрать, зависит от тебя: с долями короче запись, с литрами проще арифметика.

Разные единицы времени

Если в условии часы смешаны с минутами, до любых расчётов переведи всё в одну единицу.

Задача. Одна труба наполняет бассейн за 40 минут, другая за 1 час. За сколько минут они наполнят его вместе?

Переводим час в минуты и считаем производительность в долях бассейна за минуту:

$\frac{1}{40}+\frac{1}{60}=\frac{3}{120}+\frac{2}{120}=\frac{5}{120}=\frac{1}{24}$

Время вместе: 24 минуты. Если оставить 1 час и 40 минут в разных единицах, дроби $\frac{1}{40}$ и $1$ сложатся в бессмыслицу. Единицу времени в ответе тоже выбирай по вопросу задачи: спрашивают минуты, а у тебя получились часы, значит, нужен ещё один шаг.

Как проверить ответ за минуту

Прежде чем записывать число, сделай три быстрые проверки. Первая: две наполняющие трубы вместе всегда быстрее самой быстрой из них, а добавленный слив делает наполнение дольше. Вторая: подставь найденное время в производительность и убедись, что получилась единица, то есть полный бассейн. Для сюжета 6 это $6\cdot \frac{1}{6}=1$. Третья: посмотри на единицы в вопросе, часы или минуты, и на формат ответа, который просят записать. Если в бланк нужно внести целое число, а получилось $7,2$ часа, значит, в условии спрашивали минуты или решение где-то свернуло не туда.

Эти проверки занимают меньше времени, чем перерешивание, и ловят большую часть арифметических срывов: перепутанный знак, забытый перевод единиц, потерянную долю.

Бассейн в задании 11 проекта ЕГЭ-2027

Задачи на трубы и бассейны относятся к текстовым задачам с кратким ответом. В каноне заданий 2027 года для №11 перечислены три сюжета: движение, работа и смеси. Бассейн входит в тему «работа»: наполняющая труба здесь исполнитель, а доля бассейна, набранная за час, играет роль производительности. В демонстрационном варианте проекта задач про бассейн нет, а в вариантах №11 встречаются движение, смеси и работа с деталями. Это не значит, что тема лишняя: метод долей и составление уравнения по условию в этих задачах одинаковые, и бассейны хорошо тренируют именно их. Документы остаются проектом, итоговые версии могут отличаться.

Алгоритм решения

1. Для каждой трубы запиши производительность: единица, делённая на время.
2. Расставь знаки: наполняющие трубы с плюсом, сливные с минусом.
3. Сложи производительности и проверь знак суммы.
4. Время на весь бассейн — единица, делённая на сумму. Если есть стадии или бассейн был не пуст, считай каждую стадию отдельно и складывай времена.
5. Переведи десятичные часы в минуты, если ответ дробный.

Задачи на трубы — частный случай задач на работу. Уравнение вроде того, что получилось в сюжете 8, с неизвестной в знаменателе, решают по схеме из статьи про дробно-рациональные уравнения.

Распространённые ошибки

Складывать времена, а не производительности. Две наполняющие трубы по шесть и четыре часа не дают вместе десять часов: вдвоём быстрее. Складывай доли работы за час.

Забыть знак сливной трубы. Если труба сливает воду, её производительность входит в сумму со знаком минус. Поставить плюс — значит «ускорить» наполнение сливом, чего быть не может.

Не перевести десятичные часы в минуты. Ответ $2,4$ часа это два часа двадцать четыре минуты, а не два часа сорок минут. Десятичную часть умножают на шестьдесят.

Считать, что бассейн всегда наполнится. Если слив быстрее наполнения, суммарная скорость отрицательна и наполнение невозможно. Проверь знак итоговой производительности.

Считать частично заполненный бассейн пустым. В сюжете 7 работы осталось не единица, а $\frac{2}{5}$. Если делить единицу на скорость, ответ выйдет в два с половиной раза больше верного.

Смешать часы и минуты. Времена 40 минут и 1 час нельзя класть в одну дробь. Переведи всё в одну единицу до первого сложения, а в конце проверь, в каких единицах просят ответ.

Забыть отбросить отрицательный корень. В задачах со скоростью в литрах уравнение квадратное, и второй корень часто отрицательный. Скорость положительна, значит, такой корень не подходит. Всегда проверяй корни подстановкой в условие.

Проверено: 2026-10-14.