Средняя линия трапеции: формула m=(a+b)/2 и применение

Средняя линия трапеции — один из самых частотных объектов в планиметрии. Задания 1 и 16 регулярно включают трапецию со средней линией, и умение быстро применять формулу $m=(a+b)/2$ экономит время на ЕГЭ.

Определение и теорема

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Теорема о средней линии трапеции:

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям.
2. Длина средней линии равна полусумме оснований:

$m=\frac{a+b}{2}$

где $a$ и $b$ — длины оснований (параллельных сторон).

Доказательство через подобие

Пусть трапеция $ABCD$ с основаниями $BC=a$ и $AD=b$. $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $CD$, $MN$ — средняя линия.

Проведём диагональ $BD$, она пересекает $MN$ в некоторой точке $K$.

В △$ABD$: $M$ — середина $AB$, $BK\parallel AD$ (так как $MN\parallel AD$). По теореме Фалеса, $K$ — середина $BD$.

В △$BCD$: $K$ — середина $BD$, $KN\parallel BC$. Значит $KN=BC/2=a/2$.

В △$ABD$: $MK$ — средняя линия треугольника → $MK=AD/2=b/2$.

$MN=MK+KN=\frac{b}{2}+\frac{a}{2}=\frac{a+b}{2}$

Связь со средней линией треугольника

У треугольника: средняя линия, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

У трапеции: средняя линия параллельна обоим основаниям и равна их полусумме — это следствие теоремы о средней линии треугольника, применённой дважды (к двум треугольникам, на которые диагональ делит трапецию).

Применение в задачах

Нахождение основания по средней линии

Если дано $m$ и одно из оснований:

$b=2m-a$

Пример 1 (задание 1, уровень А). Основания трапеции равны 7 и 11. Найди среднюю линию.

Решение. $m=(7+11)/2=9$.

Ответ: $9$.

Пример 2 (задание 1, уровень А). Средняя линия трапеции равна 8, одно из оснований равно 5. Найди второе основание.

Решение. $b=2\cdot 8-5=11$.

Ответ: $11$.

Площадь трапеции через среднюю линию

Площадь трапеции:

$S=\frac{(a+b)}{2}\cdot h=m\cdot h$

где $h$ — высота трапеции. Это удобная формула: площадь = средняя линия × высота.

Пример 3 (задание 16, уровень Б). Высота трапеции равна 6, основания 4 и 10. Найди площадь.

Решение. $m=(4+10)/2=7$. $S=m\cdot h=7\cdot 6=42$.

Ответ: $42$.

Средняя линия в задаче с параллельными отрезками

Пример 4 (задание 16, уровень В). В трапеции $ABCD$ ($BC\parallel AD$, $BC=6$, $AD=14$) проведён отрезок $EF$, параллельный основаниям, через точку $E$ на $AB$ так, что $AE=\frac{1}{3}AB$ (где $E$ — точка на $AB$, $F$ — точка на $CD$, $EF\parallel AD$, $DF=\frac{1}{3}DC$). Найди $EF$.

Решение.

$E$ делит $AB$ в отношении $AE:EB=1:2$ от $A$.

По теореме Фалеса (или через линейную интерполяцию): $EF=AD+\frac{AE}{AB}(BC-AD)=14+\frac{1}{3}(6-14)=14-\frac{8}{3}=\frac{34}{3}$.

Проверка: при $AE/AB=1/3$ от $A$ отрезок отсекает долю $1/3$ разности оснований.

Ответ: $\frac{34}{3}$.

Часто спрашиваемое: средняя линия прямоугольной трапеции

В прямоугольной трапеции формула та же: $m=(a+b)/2$. Дополнительно можно использовать теорему Пифагора для нахождения боковой стороны через высоту и разность оснований.

Частые ошибки

1. Перепутать среднюю линию трапеции с медианой. Медиана у трапеции — другой объект (средний перпендикуляр). Средняя линия — соединяет середины боковых сторон.
2. Применить формулу треугольника вместо трапеции. У треугольника $m=c/2$, у трапеции $m=(a+b)/2$.
3. Не убедиться, что прямая проходит через середины боковых сторон. Если делит в другом отношении — это не средняя линия, применять формулу нельзя.
4. Перепутать основания и боковые стороны. Основания — параллельные стороны. Боковые — непараллельные.

Связь с другими темами

• Теорема Фалеса — лежит в основе доказательства теоремы о средней линии.
• Подобие треугольников — через подобие доказывается параллельность средней линии основаниям.
• Теорема Пифагора — для нахождения высоты прямоугольной трапеции.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 1 — прямое применение формулы $m=(a+b)/2$.
• Задание 16 — доказательство, нахождение длин, вычисление площадей в трапеции.