Средняя линия трапеции: формула m=(a+b)/2 и применение

Средняя линия трапеции — один из самых частотных объектов в планиметрии. Задания 1 и 16 регулярно включают трапецию со средней линией, и умение быстро применять формулу $m = (a+b)/2$ экономит время на ЕГЭ.

Определение и теорема

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Теорема о средней линии трапеции:

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям.
2. Длина средней линии равна полусумме оснований:

$m = \frac{a + b}{2}$

где $a$ и $b$ — длины оснований (параллельных сторон).

Доказательство через подобие

Пусть трапеция $ABCD$ с основаниями $BC = a$ и $AD = b$. $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $CD$, $MN$ — средняя линия.

Проведём диагональ $BD$, она пересекает $MN$ в некоторой точке $K$.

В △$ABD$: $M$ — середина $AB$, $BK \parallel AD$ (так как $MN \parallel AD$). По теореме Фалеса, $K$ — середина $BD$.

В △$BCD$: $K$ — середина $BD$, $KN \parallel BC$. Значит $KN = BC/2 = a/2$.

В △$ABD$: $MK$ — средняя линия треугольника → $MK = AD/2 = b/2$.

$MN = MK + KN = \frac{b}{2} + \frac{a}{2} = \frac{a + b}{2}$

Связь со средней линией треугольника

У треугольника: средняя линия, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

У трапеции: средняя линия параллельна обоим основаниям и равна их полусумме — это следствие теоремы о средней линии треугольника, применённой дважды (к двум треугольникам, на которые диагональ делит трапецию).

Применение в задачах

Нахождение основания по средней линии

Если дано $m$ и одно из оснований:

$b = 2m - a$

Пример 1 (задание 1, уровень А). Основания трапеции равны 7 и 11. Найди среднюю линию.

Решение. $m = (7 + 11)/2 = 9$.

Ответ: $9$.

Пример 2 (задание 1, уровень А). Средняя линия трапеции равна 8, одно из оснований равно 5. Найди второе основание.

Решение. $b = 2 \cdot 8 - 5 = 11$.

Ответ: $11$.

Площадь трапеции через среднюю линию

Площадь трапеции:

$S = \frac{(a + b)}{2} \cdot h = m \cdot h$

где $h$ — высота трапеции. Это удобная формула: площадь = средняя линия × высота.

Пример 3 (задание 16, уровень Б). Высота трапеции равна 6, основания 4 и 10. Найди площадь.

Решение. $m = (4 + 10)/2 = 7$. $S = m \cdot h = 7 \cdot 6 = 42$.

Ответ: $42$.

Средняя линия в задаче с параллельными отрезками

Пример 4 (задание 16, уровень В). В трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$, $BC = 6$, $AD = 14$) проведён отрезок $EF$, параллельный основаниям, через точку $E$ на $AB$ так, что $AE = \frac{1}{3} AB$ (где $E$ — точка на $AB$, $F$ — точка на $CD$, $EF \parallel AD$, $DF = \frac{1}{3}DC$). Найди $EF$.

Решение.

$E$ делит $AB$ в отношении $AE:EB = 1:2$ от $A$.

По теореме Фалеса (или через линейную интерполяцию): $EF = AD + \dfrac{AE}{AB}(BC - AD) = 14 + \dfrac{1}{3}(6 - 14) = 14 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{34}{3}$.

Проверка: при $AE/AB = 1/3$ от $A$ отрезок отсекает долю $1/3$ разности оснований.

Ответ: $\dfrac{34}{3}$.

Часто спрашиваемое: средняя линия прямоугольной трапеции

В прямоугольной трапеции формула та же: $m = (a+b)/2$. Дополнительно можно использовать теорему Пифагора для нахождения боковой стороны через высоту и разность оснований.

Частые ошибки

1. Перепутать среднюю линию трапеции с медианой. Медиана у трапеции — другой объект (средний перпендикуляр). Средняя линия — соединяет середины боковых сторон.
2. Применить формулу треугольника вместо трапеции. У треугольника $m = c/2$, у трапеции $m = (a+b)/2$.
3. Не убедиться, что прямая проходит через середины боковых сторон. Если делит в другом отношении — это не средняя линия, применять формулу нельзя.
4. Перепутать основания и боковые стороны. Основания — параллельные стороны. Боковые — непараллельные.

Связь с другими темами

• Теорема Фалеса — лежит в основе доказательства теоремы о средней линии.
• Подобие треугольников — через подобие доказывается параллельность средней линии основаниям.
• Теорема Пифагора — для нахождения высоты прямоугольной трапеции.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 1 — прямое применение формулы $m = (a+b)/2$.
• Задание 16 — доказательство, нахождение длин, вычисление площадей в трапеции.