Касательная к окружности: свойства и теоремы

Касательная к окружности — один из ключевых объектов планиметрии. Её свойства используются в задании 16 для нахождения длин, доказательства равенств и решения задач на вписанные и описанные окружности.

Определение и основное свойство

Касательная — прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку.

Основное свойство. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

$OT \perp t, \quad \text{где } O \text{ — центр, } T \text{ — точка касания, } t \text{ — касательная}$

Это свойство работает в обе стороны: если прямая перпендикулярна радиусу в его конце на окружности, то она является касательной.

Теорема о двух касательных из внешней точки

Теорема. Из внешней точки к окружности можно провести ровно две касательные. Касательные отрезки из этой точки равны.

Если из точки $A$ проведены касательные $AT_1$ и $AT_2$ ($T_1$, $T_2$ — точки касания), то:

$AT_1 = AT_2$

Доказательство. Рассмотрим треугольники $OT_1A$ и $OT_2A$:

• $OT_1 = OT_2$ (радиусы одной окружности),
• $OA$ — общая гипотенуза,
• $\angle OT_1A = \angle OT_2A = 90°$ (касательная ⊥ радиусу).

По признаку HL (гипотенуза + катет) треугольники конгруэнтны → $AT_1 = AT_2$.

Длина касательного отрезка

Из прямоугольного треугольника $OTA$ (прямой угол при $T$):

$AT = \sqrt{OA^2 - OT^2} = \sqrt{d^2 - r^2}$

где $d = OA$ — расстояние от центра до внешней точки, $r$ — радиус.

Теорема о касательной и секущей

Если из внешней точки $A$ проведены касательная $AT$ и секущая, пересекающая окружность в точках $B$ и $C$ ($B$ — ближняя), то:

$AT^2 = AB \cdot AC$

Это связывает длину касательной с хордой через внешнюю точку.

Аналогично, если из $A$ проведены две секущие, пересекающие окружность в точках $B$, $C$ и $D$, $E$:

$AB \cdot AC = AD \cdot AE$

Связь касательной с вписанным углом

Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен вписанному углу, опирающемуся на эту же хорду с другой стороны.

$\angle(t, TC) = \angle TBC$

где $t$ — касательная в точке $T$, $TC$ — хорда, $B$ — произвольная точка дуги $TC$ (не содержащей угол).

Разбор примеров

Пример 1 (задание 16, уровень А). Из точки $A$, находящейся на расстоянии 10 от центра окружности радиуса 6, проведена касательная. Найди её длину.

Решение.

$AT = \sqrt{OA^2 - r^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$.

Ответ: $8$.

Пример 2 (задание 16, уровень Б). Из точки $A$ проведены касательная $AT = 12$ и секущая, проходящая через центр (диаметр). Найди диаметр, если $AB = 6$ (расстояние от $A$ до ближней точки пересечения секущей с окружностью).

Решение.

По теореме о касательной и секущей: $AT^2 = AB \cdot AC$.

$144 = 6 \cdot AC \Rightarrow AC = 24$.

Диаметр $= AC - AB = 24 - 6 = 18$.

Ответ: диаметр равен $18$.

Пример 3 (задание 16, уровень В). Окружность вписана в треугольник $ABC$, $AB = 7$, $BC = 9$, $CA = 8$. Найди длины касательных отрезков от каждой вершины.

Решение.

Из каждой вершины касательные отрезки равны. Пусть $x =$ отрезок от $A$, $y =$ от $B$, $z =$ от $C$.

Тогда: $x + y = AB = 7$, $y + z = BC = 9$, $z + x = CA = 8$.

Складываем все три: $2(x + y + z) = 24 \Rightarrow x + y + z = 12$.

$z = 12 - 7 = 5$, $x = 12 - 9 = 3$, $y = 12 - 8 = 4$.

Ответ: $3$, $4$, $5$.

Частые ошибки

1. Перепутать радиус и касательный отрезок. Радиус — от центра до точки касания, касательный отрезок — от внешней точки до точки касания. Это разные величины.
2. Забыть, что угол OTA = 90°. Без этого нельзя применить теорему Пифагора для нахождения $AT$.
3. Неверно применять теорему о касательной и секущей. $AT^2 = AB \cdot AC$, где $B$ — ближняя к $A$ точка, $C$ — дальняя. Не перепутай.
4. При вписанной окружности в треугольник не учесть симметрию касательных. Из каждой вершины оба касательных отрезка к вписанной окружности равны — это основа для системы уравнений.

Связь с другими темами

• Вписанный угол — теорема о вписанном угле связана с углом касательная-хорда.
• Теорема Пифагора — используется для нахождения длины касательного отрезка.
• Подобие треугольников — доказательство теоремы о касательной и секущей через подобие.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 16 — планиметрия части 2. Касательная к окружности — частый элемент условия и ключ к решению.