Что такое касательная к окружности?

Касательная — прямая, которая пересекает окружность ровно в одной точке (точке касания). Ключевое свойство — касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Сколько касательных можно провести из внешней точки?

Ровно две. Обе имеют одинаковую длину — это теорема о двух касательных из внешней точки.

Как найти длину касательного отрезка?

Если из точки A проведена касательная к окружности с центром O и радиусом r, и расстояние OA = d, то длина касательного отрезка AT = √(d² − r²). Это следует из теоремы Пифагора — треугольник OTA прямоугольный.

Как связана касательная с вписанным углом?

Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду. Это свойство используется при доказательстве вписанности и нахождении углов.

Касательная к окружности — свойства и теоремы для ЕГЭ

Q: Что такое теорема о касательной и секущей?

Если из внешней точки A проведены касательная AT и секущая, пересекающая окружность в точках B и C, то AT² = AB · AC. Это мощная теорема для задания 16.

Касательная к окружности — один из ключевых объектов планиметрии. Её свойства используются в задании 16 для нахождения длин, доказательства равенств и решения задач на вписанные и описанные окружности.

Определение и основное свойство

Касательная — прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку.

Основное свойство. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

$O T ⊥ t, где O — центр, T — точка касания, t — касательная$

Это свойство работает в обе стороны: если прямая перпендикулярна радиусу в его конце на окружности, то она является касательной.

Окружность с центром O, внешняя точка A, две касательные AT₁ и AT₂ с прямыми углами при точках касания T₁ и T₂ — Из внешней точки A можно провести ровно две касательные к окружности, и они равны: AT₁ = AT₂

Теорема о двух касательных из внешней точки

Теорема. Из внешней точки к окружности можно провести ровно две касательные. Касательные отрезки из этой точки равны.

Если из точки $A$ проведены касательные $A T_{1}$ и $A T_{2}$ ( $T_{1}$ , $T_{2}$ — точки касания), то:

$A T_{1} = A T_{2}$

Доказательство. Рассмотрим треугольники $O T_{1} A$ и $O T_{2} A$ :

$O T_{1} = O T_{2}$ (радиусы одной окружности),
$O A$ — общая гипотенуза,
$∠ O T_{1} A = ∠ O T_{2} A = 90°$ (касательная ⊥ радиусу).

По признаку HL (гипотенуза + катет) треугольники конгруэнтны → $A T_{1} = A T_{2}$ .

Длина касательного отрезка

Из прямоугольного треугольника $O T A$ (прямой угол при $T$ ):

$A T = O A^{2} - O T^{2} = d^{2} - r^{2}$

где $d = O A$ — расстояние от центра до внешней точки, $r$ — радиус.

Теорема о касательной и секущей

Если из внешней точки $A$ проведены касательная $A T$ и секущая, пересекающая окружность в точках $B$ и $C$ ( $B$ — ближняя), то:

$A T^{2} = A B \cdot A C$

Это связывает длину касательной с хордой через внешнюю точку.

Аналогично, если из $A$ проведены две секущие, пересекающие окружность в точках $B$ , $C$ и $D$ , $E$ :

$A B \cdot A C = A D \cdot A E$

Связь касательной с вписанным углом

Угол между касательной и хордой, проведённой из точки касания, равен вписанному углу, опирающемуся на эту же хорду с другой стороны.

$∠ (t, T C) = ∠ T B C$

где $t$ — касательная в точке $T$ , $T C$ — хорда, $B$ — произвольная точка дуги $T C$ (не содержащей угол).

Разбор примеров

Пример 1 (задание 16, уровень А). Из точки $A$ , находящейся на расстоянии 10 от центра окружности радиуса 6, проведена касательная. Найди её длину.

Решение.

$A T = O A^{2} - r^{2} = 100 - 36 = 64 = 8$ .

Ответ: $8$ .

Пример 2 (задание 16, уровень Б). Из точки $A$ проведены касательная $A T = 12$ и секущая, проходящая через центр (диаметр). Найди диаметр, если $A B = 6$ (расстояние от $A$ до ближней точки пересечения секущей с окружностью).

Решение.

По теореме о касательной и секущей: $A T^{2} = A B \cdot A C$ .

$144 = 6 \cdot A C \Rightarrow A C = 24$ .

Диаметр $= A C - A B = 24 - 6 = 18$ .

Ответ: диаметр равен $18$ .

Пример 3 (задание 16, уровень В). Окружность вписана в треугольник $A B C$ , $A B = 7$ , $B C = 9$ , $C A = 8$ . Найди длины касательных отрезков от каждой вершины.

Решение.

Из каждой вершины касательные отрезки равны. Пусть $x =$ отрезок от $A$ , $y =$ от $B$ , $z =$ от $C$ .

Тогда: $x + y = A B = 7$ , $y + z = B C = 9$ , $z + x = C A = 8$ .

Складываем все три: $2 (x + y + z) = 24 \Rightarrow x + y + z = 12$ .

$z = 12 - 7 = 5$ , $x = 12 - 9 = 3$ , $y = 12 - 8 = 4$ .

Ответ: $3$ , $4$ , $5$ .

Частые ошибки

Перепутать радиус и касательный отрезок. Радиус — от центра до точки касания, касательный отрезок — от внешней точки до точки касания. Это разные величины.
Забыть, что угол OTA = 90°. Без этого нельзя применить теорему Пифагора для нахождения $A T$ .
Неверно применять теорему о касательной и секущей. $A T^{2} = A B \cdot A C$ , где $B$ — ближняя к $A$ точка, $C$ — дальняя. Не перепутай.
При вписанной окружности в треугольник не учесть симметрию касательных. Из каждой вершины оба касательных отрезка к вписанной окружности равны — это основа для системы уравнений.

Связь с другими темами

Вписанный угол — теорема о вписанном угле связана с углом касательная-хорда.
Теорема Пифагора — используется для нахождения длины касательного отрезка.
Подобие треугольников — доказательство теоремы о касательной и секущей через подобие.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Задание 16 — планиметрия части 2. Касательная к окружности — частый элемент условия и ключ к решению.

Тренируй задачи на касательную к окружности

Сотик подберёт задачи по твоему уровню и объяснит каждое свойство на примерах

Начать бесплатно

Касательная к окружности: свойства и теоремы

Определение и основное свойство

Теорема о двух касательных из внешней точки

Длина касательного отрезка

Теорема о касательной и секущей

Связь касательной с вписанным углом

Разбор примеров

Частые ошибки

Связь с другими темами

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Частые вопросы

Смежные темы