Теорема Фалеса: пропорциональность отрезков на параллельных секущих

Теорема Фалеса — один из самых мощных инструментов планиметрии. Она позволяет находить неизвестные отрезки через пропорции и лежит в основе теории подобия треугольников. В задании 1 применяется прямолинейно, в задании 17 — как ключевой шаг в доказательстве.

Формулировка теоремы

Теорема Фалеса. Если несколько параллельных прямых пересекают две секущие прямые, то они делят эти секущие пропорционально.

Точнее: если прямые $p_1 \parallel p_2 \parallel p_3$ пересекают секущие $s_1$ и $s_2$, образуя отрезки $AB$, $BC$ на $s_1$ и $DE$, $EF$ на $s_2$, то:

$\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}$

Это верно и для большего числа параллельных прямых — пропорция сохраняется.

Следствие для треугольника

Следствие теоремы Фалеса. Если прямая параллельна одной стороне треугольника и пересекает две другие стороны (или их продолжения), то она делит эти стороны в равных отношениях.

Пусть в △ABC прямая $DE \parallel BC$, $D \in AB$, $E \in AC$. Тогда:

$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$

или, что равносильно:

$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$

Из второго соотношения следует, что △ADE ∼ △ABC с коэффициентом подобия $k = AD/AB = AE/AC$.

Обратная теорема Фалеса

Если прямая делит две стороны треугольника в одинаковом отношении, то она параллельна третьей стороне.

$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \Rightarrow DE \parallel BC$

Обратная теорема используется для доказательства параллельности.

Разбор примеров

Пример 1 (задание 1, уровень А). В треугольнике ABC прямая DE параллельна BC, $AD = 4$, $DB = 6$. Найди $AE$, если $AC = 15$.

Решение.

По следствию теоремы Фалеса: $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC}$.

$AB = AD + DB = 10$. Пропорция: $\dfrac{4}{10} = \dfrac{AE}{15}$.

$AE = 15 \cdot \dfrac{4}{10} = 6$.

Ответ: $AE = 6$.

Пример 2 (задание 1, уровень Б). Три параллельные прямые пересекают секущие так, что на первой секущей отрезки равны 3 и 5. Найди меньший отрезок на второй секущей, если сумма отрезков на ней равна 16.

Решение.

По теореме Фалеса: $\dfrac{3}{5} = \dfrac{x}{16 - x}$.

$3(16 - x) = 5x \Rightarrow 48 = 8x \Rightarrow x = 6$.

Ответ: $6$.

Пример 3 (задание 17, уровень В). В трапеции ABCD с основаниями $AB = 6$ и $CD = 10$ точка $M$ — середина $AD$. Проведена прямая $MN \parallel AB$ ($N \in BC$). Найди $MN$.

Решение.

Диагональ $BD$ делит трапецию на два треугольника. В △ABD прямая через середину $AD$ параллельно $AB$ по следствию Фалеса проходит через середину $BD$, и $MK = AB/2 = 3$ (где $K$ — точка на $BD$).

Аналогично в △BCD прямая через середину $BD$ параллельно $CD$ даёт $KN = CD/2 = 5$.

$MN = MK + KN = 3 + 5 = 8$.

Это и есть средняя линия трапеции: $m = (AB + CD)/2 = (6 + 10)/2 = 8$.

Ответ: $MN = 8$.

Частые ошибки

1. Перепутать соответственные отрезки. Пропорция должна связывать отрезки между одними и теми же параллельными прямыми, а не произвольные.
2. Перепутать части и целое. $\dfrac{AD}{DB}$ — это отношение частей, $\dfrac{AD}{AB}$ — отношение части к целому. Не подставляй одно вместо другого.
3. Не проверить параллельность. Теорема Фалеса применяется только при параллельных прямых. Убедись, что это условие задачи.
4. Применить обратную теорему без проверки. Обратная теорема доказывает параллельность — убедись, что отношения действительно равны.

Связь с другими темами

• Подобие треугольников — теорема Фалеса — инструмент доказательства и вычисления при подобии.
• Средняя линия трапеции — выводится из теоремы Фалеса.
• Теорема Пифагора — применяется после нахождения сторон через теорему Фалеса.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 1 — нахождение отрезков через пропорцию по теореме Фалеса.
• Задание 17 — доказательство и вычисление в планиметрических задачах, где параллельные прямые создают пропорциональные отрезки.