Теорема Фалеса: пропорциональность отрезков на параллельных секущих

Теорема Фалеса — один из самых мощных инструментов планиметрии. Она позволяет находить неизвестные отрезки через пропорции и лежит в основе теории подобия треугольников. В задании 1 применяется прямолинейно, в задании 17 — как ключевой шаг в доказательстве.

Формулировка теоремы

Теорема Фалеса. Если несколько параллельных прямых пересекают две секущие прямые, то они делят эти секущие пропорционально.

Точнее: если прямые $p_1\parallel p_2\parallel p_3$ пересекают секущие $s_1$ и $s_2$, образуя отрезки $AB$, $BC$ на $s_1$ и $DE$, $EF$ на $s_2$, то:

$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$

Это верно и для большего числа параллельных прямых — пропорция сохраняется.

Следствие для треугольника

Следствие теоремы Фалеса. Если прямая параллельна одной стороне треугольника и пересекает две другие стороны (или их продолжения), то она делит эти стороны в равных отношениях.

Пусть в △ABC прямая $DE\parallel BC$, $D\in AB$, $E\in AC$. Тогда:

$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$

или, что равносильно:

$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$

Из второго соотношения следует, что △ADE ∼ △ABC с коэффициентом подобия $k=AD/AB=AE/AC$.

Обратная теорема Фалеса

Если прямая делит две стороны треугольника в одинаковом отношении, то она параллельна третьей стороне.

$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\Rightarrow DE\parallel BC$

Обратная теорема используется для доказательства параллельности.

Разбор примеров

Пример 1 (задание 1, уровень А). В треугольнике ABC прямая DE параллельна BC, $AD=4$, $DB=6$. Найди $AE$, если $AC=15$.

Решение.

По следствию теоремы Фалеса: $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$.

$AB=AD+DB=10$. Пропорция: $\frac{4}{10}=\frac{AE}{15}$.

$AE=15\cdot \frac{4}{10}=6$.

Ответ: $AE=6$.

Пример 2 (задание 1, уровень Б). Три параллельные прямые пересекают секущие так, что на первой секущей отрезки равны 3 и 5. Найди меньший отрезок на второй секущей, если сумма отрезков на ней равна 16.

Решение.

По теореме Фалеса: $\frac{3}{5}=\frac{x}{16-x}$.

$3(16-x)=5x\Rightarrow 48=8x\Rightarrow x=6$.

Ответ: $6$.

Пример 3 (задание 17, уровень В). В трапеции ABCD с основаниями $AB=6$ и $CD=10$ точка $M$ — середина $AD$. Проведена прямая $MN\parallel AB$ ($N\in BC$). Найди $MN$.

Решение.

Диагональ $BD$ делит трапецию на два треугольника. В △ABD прямая через середину $AD$ параллельно $AB$ по следствию Фалеса проходит через середину $BD$, и $MK=AB/2=3$ (где $K$ — точка на $BD$).

Аналогично в △BCD прямая через середину $BD$ параллельно $CD$ даёт $KN=CD/2=5$.

$MN=MK+KN=3+5=8$.

Это и есть средняя линия трапеции: $m=(AB+CD)/2=(6+10)/2=8$.

Ответ: $MN=8$.

Частые ошибки

1. Перепутать соответственные отрезки. Пропорция должна связывать отрезки между одними и теми же параллельными прямыми, а не произвольные.
2. Перепутать части и целое. $\frac{AD}{DB}$ — это отношение частей, $\frac{AD}{AB}$ — отношение части к целому. Не подставляй одно вместо другого.
3. Не проверить параллельность. Теорема Фалеса применяется только при параллельных прямых. Убедись, что это условие задачи.
4. Применить обратную теорему без проверки. Обратная теорема доказывает параллельность — убедись, что отношения действительно равны.

Связь с другими темами

• Подобие треугольников — теорема Фалеса — инструмент доказательства и вычисления при подобии.
• Средняя линия трапеции — выводится из теоремы Фалеса.
• Теорема Пифагора — применяется после нахождения сторон через теорему Фалеса.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 1 — нахождение отрезков через пропорцию по теореме Фалеса.
• Задание 17 — доказательство и вычисление в планиметрических задачах, где параллельные прямые создают пропорциональные отрезки.