Формула Пика: площадь многоугольника по узлам сетки

В задании 1 ЕГЭ часто дают фигуру на клетчатой бумаге и просят площадь. Можно разбивать на треугольники и прямоугольники, а можно знать формулу Пика и считать точки. Второй способ быстрее в 3-4 раза. Разберём, как работает формула, и потренируемся на примерах с нарастающей сложностью.

Что такое формула Пика

Теорема Пика (Georg Alexander Pick, 1899) связывает площадь многоугольника с числом узлов целочисленной сетки внутри и на границе фигуры.

Многоугольник — простой, то есть без самопересечений. Все вершины лежат в узлах сетки (в точках пересечения клеток).

Обозначения:

• $В$ — число узлов строго внутри многоугольника,
• $Г$ — число узлов на границе (стороны + вершины),
• $S$ — площадь многоугольника.

Формула Пика:

$S = В + \frac{Г}{2} - 1$

Здесь $S$ — в квадратных единицах сетки (в квадратных клетках).

Почему именно так? Интуиция: каждый внутренний узел «принадлежит» полностью этому многоугольнику (вклад 1), каждый граничный узел делится с соседними многоугольниками (вклад $\frac{1}{2}$), и на поправочный коэффициент $-1$ влияет топология связи (из доказательства через триангуляцию Эйлера).

Как считать узлы

Прежде чем применять формулу, нужно научиться правильно считать $В$ и $Г$.

Граничные узлы. К ним относятся:

• все вершины многоугольника,
• все узлы, лежащие на сторонах между вершинами.

Для горизонтальной или вертикальной стороны длиной $L$ клеток: на ней $L - 1$ промежуточных узлов (вершины считаются отдельно).

Для диагональной стороны от $(x_1, y_1)$ до $(x_2, y_2)$: число промежуточных узлов равно

$\gcd(|x_2 - x_1|, |y_2 - y_1|) - 1$

где $\gcd$ — наибольший общий делитель разностей координат.

Например, сторона от $(0, 0)$ до $(4, 2)$: $\gcd(4, 2) = 2$, промежуточных узлов $2 - 1 = 1$. Это точка $(2, 1)$.

Внутренние узлы. После подсчёта $Г$ можно либо считать напрямую (визуально), либо выразить из формулы Пика, если известна площадь другим способом.

Алгоритм применения формулы Пика

1. Нарисуй или внимательно рассмотри многоугольник на клетчатой бумаге.
2. Отметь все вершины и убедись, что они лежат в узлах сетки.
3. Посчитай все узлы на границах сторон (включая вершины) — это $Г$.
4. Посчитай все узлы строго внутри многоугольника — это $В$.
5. Подставь в формулу: $S = В + Г/2 - 1$.
6. Запиши ответ в квадратных единицах сетки.

Чтобы не ошибиться при подсчёте, удобно обходить многоугольник по часовой стрелке и помечать граничные узлы по одному.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А, fully worked). На клетчатой бумаге (клетка 1×1) задан прямоугольный треугольник с вершинами в узлах $(0,0)$, $(4,0)$, $(0,3)$. Найди площадь по формуле Пика.

Решение.

Шаг 1: считаем граничные узлы $Г$.

Нижняя сторона от $(0,0)$ до $(4,0)$: вершины 2, промежуточных $4 - 1 = 3$. Итого по стороне: $3 + 2 = 5$ узлов, но вершины считаем один раз для всего периметра.

Левая сторона от $(0,0)$ до $(0,3)$: промежуточных $3 - 1 = 2$.

Гипотенуза от $(4,0)$ до $(0,3)$: $\gcd(4, 3) = 1$, промежуточных $1 - 1 = 0$.

Граничные узлы: $3$ вершины $+ 3$ на нижней стороне $+ 2$ на левой стороне $+ 0$ на гипотенузе $= 8$.

Итого $Г = 8$.

Шаг 2: считаем внутренние узлы $В$.

Внутренние узлы треугольника $(0,0)$, $(4,0)$, $(0,3)$ — это узлы с координатами $(x, y)$, где $x \geq 1$, $y \geq 1$ и $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} < 1$, то есть $3x + 4y < 12$.

Проверяем: $(1,1)$: $3 + 4 = 7 < 12$ ✓; $(1,2)$: $3 + 8 = 11 < 12$ ✓; $(2,1)$: $6 + 4 = 10 < 12$ ✓; $(3,1)$: $9 + 4 = 13 > 12$ ✗.

Итого $В = 3$.

Шаг 3: применяем формулу Пика:

$S = 3 + \frac{8}{2} - 1 = 3 + 4 - 1 = 6$

Проверка: площадь прямоугольного треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$. Совпало.

Ответ: $S = 6$ кв. единиц.

Типичная ошибка. Забыть считать промежуточные узлы на сторонах, посчитав только вершины. Тогда $Г = 3$, $S = 3 + 1.5 - 1 = 3.5$ — неверно.

Пример 2 (уровень Б, faded — 1 шаг свёрнут). На клетчатой бумаге задан пятиугольник с вершинами $(0,0)$, $(5,0)$, $(5,3)$, $(2,5)$, $(0,3)$. Найди площадь.

Решение.

Стороны:

• $(0,0)$ → $(5,0)$: промежуточных $4$.
• $(5,0)$ → $(5,3)$: промежуточных $2$.
• $(5,3)$ → $(2,5)$: $\gcd(3,2) = 1$, промежуточных $0$.
• $(2,5)$ → $(0,3)$: $\gcd(2,2) = 2$, промежуточных $1$.
• $(0,3)$ → $(0,0)$: промежуточных $2$.

Вершин: 5. Промежуточных: $4 + 2 + 0 + 1 + 2 = 9$.

$Г = 5 + 9 = 14$.

Теперь посчитай внутренние узлы $В$ самостоятельно, перебрав точки $(x,y)$ со значениями $x$ от 1 до 4 и $y$ от 1 до 4. Убедись, что точка лежит строго внутри пятиугольника. Ответ ниже.

Типичная ошибка. Перепутать «строго внутри» и «на границе». Узлы на сторонах — граничные, не внутренние.

Пример 3 (уровень В, faded — 2 шага свёрнуты). На клетчатой бумаге задан невыпуклый шестиугольник. Известно, что $В = 5$, а на периметре многоугольника ровно 12 узлов. Найди площадь. Затем проверь: если эта же площадь вычислена как «площадь описанного прямоугольника минус три прямоугольных треугольника», совпадёт ли ответ?

Шаг 1: примени формулу Пика и найди $S$.

Шаг 2: проверь соответствие с геометрическим методом. Опиши, как бы ты нашёл площадь этого шестиугольника через описанный прямоугольник (вычитание лишних треугольников). Что нужно знать, чтобы этот метод сработал?

Типичная ошибка. Применять формулу Пика к фигуре с «дыркой» внутри как к обычному многоугольнику — ответ будет неверным.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Посчитать только вершины как граничные узлы. На каждой стороне могут быть дополнительные узлы — особенно на горизонтальных и вертикальных сторонах длиной больше 1.

Ошибка 2. Считать вершины дважды. Каждая вершина входит в $Г$ ровно один раз, даже если она «принадлежит» двум сторонам.

Ошибка 3. Не учесть диагональные узлы. На стороне от $(0,0)$ до $(4,2)$ есть промежуточный узел $(2,1)$, который легко пропустить при визуальном осмотре.

Ошибка 4. Применять формулу к фигуре, вершины которой не лежат в узлах. Формула Пика работает только при вершинах-узлах сетки.

Ошибка 5. Забыть вычесть единицу. $S = В + Г/2 - 1$, единица вычитается всегда — это не опечатка.

Связь с другими темами

Формула Пика — альтернативный метод нахождения площади; классические методы через площадь треугольника и теорему Пифагора работают в тех же задачах, но при сложных фигурах на клетчатой бумаге формула Пика быстрее.

В задании 17 при доказательствах с координатами знание числа граничных узлов помогает быстро оценить площадь фигуры без трудоёмких вычислений.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Задание 1 — самый частый контекст: на клетчатой бумаге нарисована фигура, нужна её площадь. Формула Пика экономит 2-3 минуты.

Задание 17 — планиметрическая задача повышенного уровня на вычисление площадей и длин. Если в условии есть намёк на координатную сетку или описание фигуры через узлы, формула Пика может ускорить решение.

Часто задаваемые вопросы