Правильный многоугольник — формулы площади, периметра и вписанной окружности

Правильные многоугольники — строгие и симметричные фигуры, которые появляются в задании 1 ЕГЭ (планиметрия) и задании 8 (вычисление элементов). Для них есть компактный набор формул через тригонометрию. Разберём их — и запомним навсегда через геометрический смысл, а не механическую зубрёжку.

Что такое правильный многоугольник

Правильный $n$-угольник — плоская фигура с $n$ сторонами, у которой:

• все стороны равны (длина каждой — $a$),
• все внутренние углы равны.

Такой многоугольник всегда можно вписать в окружность (описать вокруг него окружность радиуса $R$) и вписать в него окружность радиуса $r$.

Центр вписанной и описанной окружностей совпадает — это центр правильного многоугольника.

Внутренние углы

Сумма внутренних углов любого $n$-угольника равна $(n-2) \cdot 180°$.

Для правильного $n$-угольника все углы равны, поэтому каждый:

$\varphi = \frac{(n-2) \cdot 180°}{n}$

Таблица для частых случаев:

Центральный угол и вписанный треугольник

Из центра правильного $n$-угольника соединяем центр с каждой вершиной — получаем $n$ равных треугольников. Угол при вершине каждого (у центра) — центральный угол:

$\alpha = \frac{360°}{n} = \frac{2\pi}{n}$

Каждый такой треугольник равнобедренный, боковые стороны — $R$ (радиус описанной окружности), основание — сторона многоугольника $a$.

Формулы через сторону $a$

Радиус описанной окружности

Из центрального треугольника (по теореме синусов или прямо через формулу для равнобедренного треугольника):

$R = \frac{a}{2\sin\dfrac{\pi}{n}}$

Апофема (радиус вписанной окружности)

Апофема $r$ — высота центрального треугольника, опущенная на основание $a$:

$r = \frac{a}{2} \cdot \cot\frac{\pi}{n} = \frac{a}{2\tan\dfrac{\pi}{n}}$

Связь между $r$ и $R$:

$r = R\cos\frac{\pi}{n}$

Площадь

Площадь правильного $n$-угольника — это $n$ центральных треугольников. Площадь каждого:

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot r$

Итоговая площадь:

$S = \frac{1}{2} \cdot n \cdot a \cdot r$

Или через описанный радиус (из формулы площади треугольника через две стороны и угол):

$S = \frac{n \cdot R^2}{2} \sin\frac{2\pi}{n}$

Или напрямую через сторону $a$:

$S = \frac{n \cdot a^2}{4} \cot\frac{\pi}{n}$

Правильный шестиугольник — особый случай

Для правильного шестиугольника выполняется уникальное соотношение: $R = a$. Это легко понять из структуры: шестиугольник делится на 6 равносторонних треугольников со стороной $a$.

Формулы для правильного шестиугольника со стороной $a$:

$R = a, \quad r = \frac{\sqrt{3}}{2} a, \quad S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$

Площадь вписанного круга: $\pi r^2 = \dfrac{3\pi a^2}{4}$.

Таблица основных формул

Типичные ошибки на ЕГЭ

Путать $r$ и $R$. В задаче может быть дана «окружность, вписанная в многоугольник» (радиус $r$, апофема) или «окружность, описанная вокруг многоугольника» (радиус $R$). Внимательно читай условие.

Использовать $\cot$ как $\tan$. Котангенс — это $\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x} = \dfrac{1}{\tan x}$. В формуле для апофемы стоит именно $\cot$, не $\tan$.

Забыть делитель 2 в центральном угле. Центральный угол — $2\pi/n$, но в формуле $S = \dfrac{nR^2}{2}\sin(2\pi/n)$ уже учтён коэффициент $1/2$ от площади треугольника.

Разбор примера

Задача. Найди площадь правильного восьмиугольника с радиусом описанной окружности $R = 5$.

Решение.

Используем формулу $S = \dfrac{n \cdot R^2}{2} \sin\dfrac{2\pi}{n}$ при $n = 8$, $R = 5$:

$S = \frac{8 \cdot 25}{2} \sin\frac{2\pi}{8} = 100 \sin\frac{\pi}{4} = 100 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 50\sqrt{2}$

Ответ: $S = 50\sqrt{2} \approx 70{,}7$.