Правильный многоугольник — формулы площади, периметра и вписанной окружности

Правильные многоугольники — строгие и симметричные фигуры, которые появляются в задании 1 ЕГЭ (планиметрия) и задании 8 (вычисление элементов). Для них есть компактный набор формул через тригонометрию. Разберём их — и запомним навсегда через геометрический смысл, а не механическую зубрёжку.

Что такое правильный многоугольник

Правильный $n$-угольник — плоская фигура с $n$ сторонами, у которой:

• все стороны равны (длина каждой — $a$),
• все внутренние углы равны.

Такой многоугольник всегда можно вписать в окружность (описать вокруг него окружность радиуса $R$) и вписать в него окружность радиуса $r$.

Центр вписанной и описанной окружностей совпадает — это центр правильного многоугольника.

Внутренние углы

Сумма внутренних углов любого $n$-угольника равна $(n-2)\cdot 180°$.

Для правильного $n$-угольника все углы равны, поэтому каждый:

$\phi =\frac{(n-2)\cdot 180°}{n}$

Таблица для частых случаев:

Центральный угол и вписанный треугольник

Из центра правильного $n$-угольника соединяем центр с каждой вершиной — получаем $n$ равных треугольников. Угол при вершине каждого (у центра) — центральный угол:

$\alpha =\frac{360°}{n}=\frac{2\pi }{n}$

Каждый такой треугольник равнобедренный, боковые стороны — $R$ (радиус описанной окружности), основание — сторона многоугольника $a$.

Формулы через сторону $a$

Радиус описанной окружности

Из центрального треугольника (по теореме синусов или прямо через формулу для равнобедренного треугольника):

$R=\frac{a}{2\sin \frac{\pi }{n}}$

Апофема (радиус вписанной окружности)

Апофема $r$ — высота центрального треугольника, опущенная на основание $a$:

$r=\frac{a}{2}\cdot \cot \frac{\pi }{n}=\frac{a}{2\tan \frac{\pi }{n}}$

Связь между $r$ и $R$:

$r=R\cos \frac{\pi }{n}$

Площадь

Площадь правильного $n$-угольника — это $n$ центральных треугольников. Площадь каждого:

$S_{△}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot r$

Итоговая площадь:

$S=\frac{1}{2}\cdot n\cdot a\cdot r$

Или через описанный радиус (из формулы площади треугольника через две стороны и угол):

$S=\frac{n\cdot R^2}{2}\sin \frac{2\pi }{n}$

Или напрямую через сторону $a$:

$S=\frac{n\cdot a^2}{4}\cot \frac{\pi }{n}$

Правильный шестиугольник — особый случай

Для правильного шестиугольника выполняется уникальное соотношение: $R=a$. Это легко понять из структуры: шестиугольник делится на 6 равносторонних треугольников со стороной $a$.

Формулы для правильного шестиугольника со стороной $a$:

$R=a,r=\frac{\sqrt{3}}{2}a,S=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2$

Площадь вписанного круга: $\pi r^2=\frac{3\pi a^2}{4}$.

Таблица основных формул

Типичные ошибки на ЕГЭ

Путать $r$ и $R$. В задаче может быть дана «окружность, вписанная в многоугольник» (радиус $r$, апофема) или «окружность, описанная вокруг многоугольника» (радиус $R$). Внимательно читай условие.

Использовать $\cot$ как $\tan$. Котангенс — это $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{1}{\tan x}$. В формуле для апофемы стоит именно $\cot$, не $\tan$.

Забыть делитель 2 в центральном угле. Центральный угол — $2\pi /n$, но в формуле $S=\frac{n{R}^2}{2}\sin (2\pi /n)$ уже учтён коэффициент $1/2$ от площади треугольника.

Разбор примера

Задача. Найди площадь правильного восьмиугольника с радиусом описанной окружности $R=5$.

Решение.

Используем формулу $S=\frac{n\cdot R^2}{2}\sin \frac{2\pi }{n}$ при $n=8$, $R=5$:

$S=\frac{8\cdot 25}{2}\sin \frac{2\pi }{8}=100\sin \frac{\pi }{4}=100\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=50\sqrt{2}$

Ответ: $S=50\sqrt{2}\approx 70,7$.