Вписанный угол — теорема, следствия и задачи ЕГЭ

Теорема о вписанном угле звучит так: вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу. Из неё вытекает следствие о прямом угле на диаметре и теорема о вписанном четырёхугольнике. Без этих трёх фактов задачи 16 про окружности не взять.

На рисунке $\angle BOC = 60°$, значит $\angle BAC = 30°$.

Определение вписанного угла

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами этой окружности.

Вершина обязательно на самой окружности, а не внутри или снаружи. Хорды — это отрезки, соединяющие точки окружности, то есть стороны угла заканчиваются на окружности.

Вписанный угол опирается на дугу, которая лежит внутри угла и не содержит его вершину. Эта дуга — именно та, «которую видит» угол.

Центральный угол

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Его стороны — радиусы.

Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается. Если центральный угол равен $\theta$, то дуга внутри него — $\theta$ градусов (или радиан). Полный круг — $360°$, или $2\pi$ радиан.

Теорема о вписанном угле

Теорема. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Формально: если $\varphi$ — вписанный угол, $\theta$ — центральный угол, и оба опираются на одну и ту же дугу:

$\varphi = \frac{\theta}{2}$

Или, эквивалентно, вписанный угол равен половине дуговой меры дуги, на которую он опирается.

Идея доказательства. Соедини вершину вписанного угла с центром окружности. Получишь два равнобедренных треугольника (их боковые стороны — радиусы). Углы при основании каждого из них равны, а внешний угол равнобедренного треугольника равен сумме двух внутренних при основании. Складывая в одну сторону, получаешь соотношение вписанного и центрального.

Следствие 1. Вписанные углы на одну дугу равны

Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу и расположенные с одной стороны от стягивающей её хорды, равны между собой.

Это прямое следствие теоремы: все они равны половине одного и того же центрального угла.

Практически: если в задаче рядом с одной дугой нарисованы несколько вершин — углы при этих вершинах, «смотрящие» на дугу, равны. Полезный инструмент для задач с четырёхугольниками.

Следствие 2. Вписанный угол на диаметр — прямой

Если вписанный угол опирается на дугу, стягиваемую диаметром, то он равен $90°$.

Обоснование. Диаметр стягивает дугу в $180°$ (полуокружность). Центральный угол для этой дуги — развёрнутый, $180°$. Вписанный равен половине: $180° / 2 = 90°$.

Обратно: если хорда стягивает вписанный угол $90°$ — эта хорда является диаметром окружности.

Это следствие часто используют на ЕГЭ:

• для доказательства перпендикулярности двух прямых;
• для нахождения радиуса описанной окружности в прямоугольном треугольнике (гипотенуза = диаметр);
• для построения прямых углов при заданной окружности.

Вписанный четырёхугольник

Четырёхугольник называется вписанным в окружность, если все его четыре вершины лежат на одной окружности.

Ключевое свойство. В любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $180°$:

$\alpha + \gamma = 180°, \quad \beta + \delta = 180°$

где $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ — углы четырёхугольника в порядке обхода.

Обоснование. Два противоположных угла $\alpha$ и $\gamma$ — вписанные, и опираются на две дуги, которые вместе составляют всю окружность ($360°$). Их сумма равна $360°/2 = 180°$.

Это свойство работает и как критерий вписанности: если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $180°$, то он вписан в окружность.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). Центральный угол окружности равен $80°$. Найди вписанный угол, опирающийся на ту же дугу.

Решение. По теореме о вписанном угле:

$\varphi = \frac{80°}{2} = 40°$

Ответ: $40°$.

Типичная ошибка. Написать $\varphi = 80°$ — забыть, что вписанный вдвое меньше центрального.

Пример 2 (уровень Б). Треугольник $ABC$ вписан в окружность, и $AB$ — диаметр. Докажи, что треугольник прямоугольный.

Решение. Рассмотрим угол $C$ (напротив стороны $AB$). Это вписанный угол, опирающийся на дугу $AB$, равную полуокружности (так как $AB$ — диаметр).

По следствию 2: вписанный угол, опирающийся на дугу в $180°$, равен $90°$.

Значит $\angle C = 90°$, и треугольник $ABC$ прямоугольный с гипотенузой $AB$.

Типичная ошибка. Искать, какой именно угол $90°$, не распознав, что гипотенуза — это диаметр. Главный ориентир: ищи угол напротив диаметра — он всегда $90°$.

Пример 3 (уровень В). Вписанный четырёхугольник $ABCD$ имеет угол $\angle A = 110°$. Найди угол $\angle C$.

Решение. В вписанном четырёхугольнике противоположные углы в сумме дают $180°$:

$\angle A + \angle C = 180°$

$\angle C = 180° - 110° = 70°$

Ответ: $\angle C = 70°$.

Типичная ошибка. Предположить, что противоположные углы равны (как в параллелограмме). Это не так в вписанном четырёхугольнике — они в сумме дают $180°$, что совсем другое.

Типичные ошибки

1. Путать вписанный и центральный углы. Вписанный — вершина на окружности; центральный — в центре. Вписанный в 2 раза меньше центрального на ту же дугу.
2. Считать вписанные углы на разные дуги равными. Теорема равенства работает только для одной дуги. Углы, опирающиеся на разные дуги (или на ту же дугу с разных сторон), не обязательно равны — они могут быть смежными и в сумме давать $180°$.
3. Забывать про сторону дуги. Вписанный угол опирается на ту дугу, которая не содержит его вершину. Если перепутать — получишь дополнительный до $360°$ центральный угол и неверный ответ.
4. Не распознавать диаметр как особый случай. Если в задаче есть прямой угол, вписанный в окружность, — ищи диаметр. И наоборот, если есть диаметр — ищи возможные прямые углы.
5. Применять свойство вписанного четырёхугольника к невписанному. Сумма противоположных углов $180°$ — это признак вписанности. Не все четырёхугольники вписаны. Прежде чем применять свойство, убедись, что четыре вершины лежат на окружности.

Связь с другими темами

• Теорема синусов — расширенная теорема синусов $\dfrac{a}{\sin\alpha} = 2R$ прямо опирается на теорему о вписанном угле.
• Теорема Пифагора — следствие о прямом угле на диаметре позволяет строить прямоугольные треугольники внутри окружностей.
• Площадь треугольника — формула $S = \frac{abc}{4R}$ связывает стороны треугольника с радиусом описанной окружности через синус вписанного угла.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 1 (планиметрия базовая) — простое применение: по центральному углу найти вписанный, или наоборот.
• Задание 16 (планиметрия повышенного уровня) — теорема о вписанном угле работает в задачах о четырёхугольниках, вписанных в окружность; в задачах с пересечениями хорд; в доказательствах равенства углов.