Обратная пропорциональность y=k/x: гипербола

Функция $y=k/x$ — третий базовый тип функции (после линейной и квадратичной). Её график — гипербола, и она первая, у которой не вся числовая прямая является областью определения. С неё начинается понимание асимптот и разрывов.

Эта функция важнее, чем кажется на первый взгляд. На ней ты впервые встречаешь идею, что график может бесконечно приближаться к прямой, но никогда её не достигать. Та же идея потом всплывёт у показательной и логарифмической функций, у дробно-рациональных выражений в задании 11 и при исследовании функций в задании 12. Поэтому время, потраченное на гиперболу, окупается на нескольких темах сразу. Разберём её свойства, а в конце соберём faded-примеры и типовые задачи ЕГЭ.

Определение

Обратная пропорциональность — функция вида:

$y=\frac{k}{x}$

где $k$ — число (параметр), $k\ne 0$, $x$ — переменная.

Название «обратная» — потому что при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается (когда $k>0$). Произведение $xy=k$ — постоянная величина.

График — гипербола

График функции $y=k/x$ называется гиперболой. Она состоит из двух ветвей:

• При $k>0$ — одна ветвь в I четверти (правая верхняя), другая в III (левая нижняя).
• При $k<0$ — одна в II четверти (левая верхняя), другая в IV (правая нижняя).

Ветви симметричны относительно начала координат. Они никогда не пересекают оси, но при больших $|x|$ подходят к оси $Ox$, а при малых $|x|$ (близких к нулю) уходят в бесконечность вдоль оси $Oy$.

Асимптоты

Асимптота — прямая, к которой график функции бесконечно приближается, но не достигает.

У гиперболы $y=k/x$ две асимптоты:

• Горизонтальная $y=0$ (ось $Ox$). При $x\to \pm \infty$ значение $y\to 0$.
• Вертикальная $x=0$ (ось $Oy$). При $x\to 0$ значение $|y|\to \infty$.

Это первая функция в школьном курсе, у которой есть асимптоты. Понимание асимптот пригодится позже для логарифмической, показательной функций и для дробно-рациональных вообще.

Чтобы увидеть асимптоты «вживую», подставь в формулу большие и маленькие значения. При $x=100$ получаем $y=k/100$ — крошечное число, график почти лёг на ось $Ox$. При $x=1000$ он ещё ближе, но всё равно над осью, а не на ней. С другой стороны, при $x=0,01$ значение $y=100k$ — график взлетает почти вертикально вдоль оси $Oy$. Чем ближе $x$ к нулю, тем выше уходит ветвь, но в саму точку $x=0$ она попасть не может, ведь делить на ноль нельзя. Так и рождается вертикальная асимптота.

Сравнение k > 0 и k < 0

Свойства функции y = k/x

Важно про монотонность

Здесь часто делают ошибку. На каждой ветви по отдельности функция $y=k/x$ (при $k>0$) убывает. Но на всей области определения она НЕ убывает, потому что:

$f(-1)=-k$ (отрицательное), $f(1)=k$ (положительное). Получается $f(-1)<f(1)$ при $-1<1$ — выглядит как возрастание!

Это не противоречие. Просто между двумя ветвями разрыв (точка $x=0$ исключена), и говорить о монотонности можно только на каждой ветви отдельно.

Правильная формулировка. При $k>0$ функция убывает на $(-\infty ;0)$ и убывает на $(0;+\infty )$. На объединении этих интервалов монотонность не определена (потому что между интервалами разрыв).

Эта тонкость регулярно стоит баллов в задании 12, где просят указать промежутки убывания. Правильный ответ записывают двумя промежутками через запятую или слово «и», а не одним объединением через знак $\cup$. Объединение $(-\infty ;0)\cup (0;+\infty )$ означало бы, что функция убывает на всём этом множестве как на едином куске, а это неправда: перепрыгнув через разрыв, значение функции скачком меняет знак. Поэтому пиши убывание отдельно на левой ветви и отдельно на правой.

Связь между двумя точками гиперболы

Если точка $(x_0;y_0)$ лежит на гиперболе $y=k/x$, то $y_0=k/x_0$, откуда:

$x_0\cdot y_0=k$

Это даёт быстрый способ найти $k$ по одной известной точке. Например, если гипербола проходит через $(2;3)$, то $k=6$, формула $y=6/x$.

Сравнение с другими функциями

y = k/x против y = kx (прямая пропорциональность).

Применение в задании 11 ЕГЭ профиль

Задача 11 типа: «найти наименьшее значение функции $y=x+9/x$ на $(0;+\infty )$».

В этой функции есть слагаемое $9/x$ — гипербола. Сама задача обычно решается через производную или неравенство о среднем. Но понимание поведения $9/x$ помогает: при $x\to 0^{+}$ слагаемое стремится к $+\infty$; при $x\to +\infty$ стремится к $0$. Сумма $x+9/x$ имеет минимум где-то в середине.

Для решения используем неравенство Коши: при $x>0$

$x+\frac{9}{x}\ge 2\sqrt{x\cdot \frac{9}{x}}=2\cdot 3=6$

Минимум $6$ достигается при $x=3$ (когда $x=9/x$, т.е. $x^2=9$).

Сдвиги гиперболы

Функция вида $y=\frac{k}{x-a}+b$ — это та же гипербола, но сдвинутая:

• на $a$ единиц вправо (если $a>0$);
• на $b$ единиц вверх (если $b>0$).

Асимптоты тоже сдвигаются: вертикальная $x=a$, горизонтальная $y=b$.

Пример. $y=\frac{2}{x-3}+1$. Это гипербола с центром в точке $(3;1)$ и асимптотами $x=3$ и $y=1$.

Подробнее о таких преобразованиях — на странице Преобразования графиков: сдвиг.

Распространённые ошибки

1. Включать $x=0$ в область определения. Делить на ноль нельзя, $x=0$ не входит в $D(f)$. Точка $(0;?)$ просто не существует у этой функции.

2. Писать «функция убывает на всей области определения». Только на каждой ветви отдельно (при $k>0$). На объединении ветвей сказать так нельзя, см. выше.

3. Считать, что гипербола где-то пересекает оси. Не пересекает. Ось $Ox$ — горизонтальная асимптота: $y=k/x=0$ невозможно ни при каком $x$. Ось $Oy$ — вертикальная асимптота: $x=0$ исключено из области определения.

4. Перепутать ветви при $k<0$. При $k<0$ ветви во II и IV четвертях, не в I и III. Простой способ запомнить: подстави $x=1$. Если $k>0$, то $y=k>0$, точка $(1;k)$ в I четверти. Если $k<0$, то $y<0$, точка в IV четверти.

Разобранный пример (задание 7 ЕГЭ)

Условие. На рисунке изображён график функции $y=k/x$. По графику определи знак $k$.

Решение. Если ветви гиперболы расположены в I четверти (где $x>0$ и $y>0$) и в III (где $x<0$ и $y<0$), то $k>0$. Если ветви в II и IV — $k<0$.

Проверка по точке. Возьми точку графика с $x>0$ и посмотри на $y$. Если $y>0$, то $k>0$; если $y<0$, то $k<0$.

Разбор примеров

Три примера с нарастающей сложностью. Первый разобран целиком, во втором ты делаешь один шаг сам, в третьем за тобой основной костяк. Это и есть рабочая последовательность подготовки: посмотрел, попробовал, сделал.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Гипербола проходит через точку $(2;3)$. Запиши формулу функции, укажи четверти и асимптоты.

Решение. У обратной пропорциональности есть характеристическое свойство: произведение координат любой точки графика равно $k$. Значит:

$k=x\cdot y=2\cdot 3=6$

Формула функции: $y=\frac{6}{x}$.

Знак коэффициента положительный ($k=6>0$), поэтому ветви лежат в I и III четвертях.

Асимптоты у обычной гиперболы $y=k/x$ всегда одни и те же: вертикальная $x=0$ (ось $Oy$) и горизонтальная $y=0$ (ось $Ox$).

Ответ. $y=\frac{6}{x}$, ветви в I и III четвертях, асимптоты $x=0$ и $y=0$.

Типичная ошибка. Делить координаты вместо умножения и получить $k=3/2$. Характеристическое свойство гиперболы — именно произведение $xy=k$, а не частное. Проверить себя легко: подставь найденное $k$ обратно в точку. Если $y=k/x$ даёт исходную координату, значит коэффициент найден верно.

Пример 2 (уровень Б, один шаг — сам). Построй гиперболу $y=\frac{2}{x-3}+1$. Найди её центр и асимптоты.

Решение. Сдвинутая гипербола получается из обычной двумя смещениями. Минус $3$ в знаменателе сдвигает график на $3$ вправо, прибавление $1$ снаружи поднимает его на $1$ вверх. Центр гиперболы переезжает из начала координат в новую точку.

Попробуй сам записать координаты центра и уравнения двух асимптот.

Типичная ошибка. Сдвинуть центр влево вместо вправо. В знаменателе стоит $x-3$, и обнуляется оно при $x=3$, то есть вертикальная асимптота сдвигается в положительную сторону. Знак внутри скобок работает противоположно интуиции.

Пример 3 (уровень В, костяк — сам). Найди наименьшее значение функции $y=x+\frac{16}{x}$ на промежутке $(0;+\infty )$.

Решение (skeleton).

Шаг 1. Узнай приём. Для положительных $x$ сумма числа и обратной к нему дроби оценивается снизу через неравенство Коши: $x+\frac{c}{x}\ge 2\sqrt{c}$. Это работает только при $x>0$, у нас как раз такой промежуток.

Шаг 2. Подставь $c=16$ и посчитай нижнюю границу.

Шаг 3. Найди, при каком $x$ достигается равенство. Подумай, когда два слагаемых становятся равны друг другу.

Типичная ошибка. Забыть условие $x>0$ и взять $x=-4$. Неравенство Коши применимо только к положительным числам, на отрицательной ветви минимума с такой оценкой нет. Всегда сверяйся с промежутком из условия, прежде чем применять оценку.

Типовые задачи ЕГЭ

Гипербола встречается в двух заданиях профиля: чтение графика в задании 7 и поиск наименьшего значения в задании 11. Разберём три частых формата.

Тип 1. Знак $k$ по графику (задание 7). Если ветви гиперболы лежат в I и III четвертях — $k>0$, если во II и IV — $k<0$. Быстрая проверка: возьми точку графика с $x>0$. Если в ней $y>0$, то $k>0$; если $y<0$, то $k<0$.

Тип 2. Центр и асимптоты сдвинутой гиперболы. Для функции $y=\frac{k}{x-a}+b$ центр находится в точке $(a;b)$, вертикальная асимптота — $x=a$, горизонтальная — $y=b$. Достаточно прочитать $a$ и $b$ прямо из формулы, не строя график.

Тип 3. Минимум суммы $x+\frac{c}{x}$ (задание 11). По неравенству Коши при $x>0$ выполняется $x+\frac{c}{x}\ge 2\sqrt{c}$, причём равенство достигается при $x=\sqrt{c}$. Например, для $y=x+\frac{25}{x}$ минимум равен $2\sqrt{25}=10$ и достигается при $x=5$.

Что запомнить

• Формула: $y=k/x$, $k\ne 0$.
• График — гипербола, две ветви.
• $D(f)=E(f)=\mathbb{R}\setminus \{0\}$.
• Асимптоты: оси $Ox$ и $Oy$.
• Чётность: нечётная.
• $k>0$: ветви в I и III; убывает на каждой ветви.
• $k<0$: ветви в II и IV; возрастает на каждой ветви.
• $xy=k$ — характеристическое свойство.

Связь с другими темами

• Линейная функция y=kx+b — для сравнения с прямой пропорциональностью.
• Область определения функции — обратная пропорциональность даёт классический пример «дырки» в $D(f)$.
• Функция корня y=√x — другой тип функции с ограниченной областью определения.
• Преобразования графиков: сдвиг — как сдвигать гиперболу.