Какая функция называется возрастающей?

Функция возрастает на промежутке, если для любых x₁ < x₂ из этого промежутка выполнено f(x₁) < f(x₂). Большему аргументу соответствует большее значение.

Какая функция называется убывающей?

Функция убывает на промежутке, если для любых x₁ f(x₂). Большему аргументу соответствует меньшее значение.

Как связана монотонность с производной?

Если f'(x) > 0 на интервале — функция строго возрастает. Если f'(x) < 0 — строго убывает. Если f'(x) ≥ 0 на интервале и f'(x) = 0 лишь в отдельных точках, функция всё равно строго возрастает (например, y = x³).

Что такое промежутки монотонности?

Интервалы (или отрезки), на каждом из которых функция либо строго возрастает, либо строго убывает. Их разделяют точки, где производная равна нулю или не существует.

Может ли функция быть монотонной на разрывной области определения?

Да, на каждой связной части по отдельности. Например, y=1/x убывает на (-∞;0) и убывает на (0;+∞), но НЕ на их объединении (между ветвями разрыв).

Каждая ли критическая точка является экстремумом?

Нет. Экстремум есть только там, где производная меняет знак. Например, у y=x³ производная обращается в ноль при x=0, но знак не меняет — функция везде возрастает, экстремума нет.

Чем отличается «функция возрастает» от «производная возрастает»?

Это разные вещи. Возрастание функции определяется знаком производной (f'>0). Возрастание производной — это уже про вторую производную и выпуклость. У y=√x функция возрастает, а производная убывает.

Включаются ли концы интервала в промежутки монотонности?

Да, если функция в них определена и непрерывна. Стандартная запись — с квадратными скобками: возрастает на [a; b], а не (a; b).

Монотонность функции — возрастание, убывание, через производную

Q: Какая функция называется убывающей?

Функция убывает на промежутке, если для любых x₁ f(x₂). Большему аргументу соответствует меньшее значение.

Q: Как связана монотонность с производной?

Если f'(x) > 0 на интервале — функция строго возрастает. Если f'(x) < 0 — строго убывает. Если f'(x) ≥ 0 на интервале и f'(x) = 0 лишь в отдельных точках, функция всё равно строго возрастает (например, y = x³).

Q: Что такое промежутки монотонности?

Интервалы (или отрезки), на каждом из которых функция либо строго возрастает, либо строго убывает. Их разделяют точки, где производная равна нулю или не существует.

Q: Может ли функция быть монотонной на разрывной области определения?

Да, на каждой связной части по отдельности. Например, y=1/x убывает на (-∞;0) и убывает на (0;+∞), но НЕ на их объединении (между ветвями разрыв).

Q: Каждая ли критическая точка является экстремумом?

Нет. Экстремум есть только там, где производная меняет знак. Например, у y=x³ производная обращается в ноль при x=0, но знак не меняет — функция везде возрастает, экстремума нет.

Q: Чем отличается «функция возрастает» от «производная возрастает»?

Это разные вещи. Возрастание функции определяется знаком производной (f'>0). Возрастание производной — это уже про вторую производную и выпуклость. У y=√x функция возрастает, а производная убывает.

Монотонность нужна в задачах на производную: по знаку производной определяют, где функция растёт и убывает, и находят точки экстремума. В проекте документов ЕГЭ-2027 (ФИПИ) такие задачи относятся к №9: например, в демоверсии по графику производной нужно найти число точек минимума. Главное — не перепутать «производная положительна» с «функция положительна».

Монотонность — это про направление, а не про знак значений. Возрастающая функция может быть отрицательной, убывающая — положительной. Производная — наклон касательной: положительный наклон означает, что функция растёт, отрицательный — что убывает. Поэтому достаточно изучить знаки производной.

Определения

Возрастающая функция: f(x₁) меньше f(x₂) при x₁ меньше x₂. Убывающая: f(x₁) больше f(x₂)

Функция возрастает на промежутке $X$ , если для любых $x_{1}, x_{2} \in X$ из условия $x_{1} < x_{2}$ следует $f (x_{1}) < f (x_{2})$ .

Функция убывает на промежутке $X$ , если для любых $x_{1}, x_{2} \in X$ из условия $x_{1} < x_{2}$ следует $f (x_{1}) > f (x_{2})$ .

Если в неравенстве используется $\leq$ вместо $<$ , говорят о неубывающей или невозрастающей функции (нестрогая монотонность).

Монотонная функция — общее название: возрастающая или убывающая.

Связь с производной

Основная теорема. Пусть функция $f$ дифференцируема на интервале $(a; b)$ . Тогда:

Если $f^{'} (x) > 0$ на $(a; b)$ — функция строго возрастает.
Если $f^{'} (x) < 0$ на $(a; b)$ — функция строго убывает.
Если $f^{'} (x) \geq 0$ на $(a; b)$ и $f^{'} (x) = 0$ только в отдельных точках — функция по-прежнему строго возрастает. Пример: $y = x^{3}$ , производная $3 x^{2}$ равна нулю лишь при $x = 0$ . Аналогично для $f^{'} (x) \leq 0$ и убывания.

Это даёт алгоритм исследования: найти производную, найти интервалы её знакопостоянства, выписать ответ.

Алгоритм поиска промежутков монотонности

Найти область определения $D (f)$ .
Вычислить производную $f^{'} (x)$ .
Найти критические точки: точки, где $f^{'} (x) = 0$ или $f^{'} (x)$ не существует.
Разбить $D (f)$ на интервалы этими точками.
На каждом интервале определить знак производной (например, подстановкой пробной точки).
Записать ответ: на интервалах, где $f^{'} > 0$ — возрастает; где $f^{'} < 0$ — убывает.

Знак производной и наклон графика

Производная положительна → график идёт вверх → функция возрастает.
Производная отрицательна → график идёт вниз → функция убывает.
Производная равна нулю → касательная горизонтальная → возможен экстремум.

Между двумя соседними критическими точками знак производной постоянен, потому что непрерывная функция не меняет знак, не пройдя через ноль или точку разрыва. Поэтому достаточно проверить знак в одной пробной точке каждого промежутка. Точки, где производная не существует (излом у модуля, вертикальная касательная у корня), тоже входят в критические: их пропуск склеивает два разных куска в один.

Пример исследования

Задача. Найти промежутки монотонности функции $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ .

Шаг 1. $D (f) = R$ .

Шаг 2. Производная: $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)$ .

Шаг 3. Критические точки: $f^{'} (x) = 0$ при $x = 0$ и $x = 2$ .

Шаг 4. Интервалы: $(- \infty; 0)$ , $(0; 2)$ , $(2; + \infty)$ .

Шаг 5. Знаки производной:

На $(- \infty; 0)$ : возьмём $x = - 1$ . $f^{'} (- 1) = 3 \cdot 3 = 9 > 0$ . Возрастает.
На $(0; 2)$ : возьмём $x = 1$ . $f^{'} (1) = 3 \cdot (- 1) = - 3 < 0$ . Убывает.
На $(2; + \infty)$ : возьмём $x = 3$ . $f^{'} (3) = 3 \cdot 9 = 27 > 0$ . Возрастает.

Ответ. Возрастает на $(- \infty; 0]$ и на $[2; + \infty)$ . Убывает на $[0; 2]$ .

(Концы включаются в промежутки монотонности, потому что в них функция определена и непрерывна.)

Где это на ЕГЭ

Номера даны по проекту документов ЕГЭ-2027 (ФИПИ), итоговые документы могут отличаться. В №9 часто дан график производной $f^{'} (x)$ , и по нему нужно сказать про функцию $f$ :

где $f^{'} (x) > 0$ (график производной выше оси $O x$ ) — функция возрастает;
где $f^{'} (x) < 0$ (ниже оси $O x$ ) — функция убывает;
где $f^{'} (x)$ меняет знак с «+» на «−» — точка максимума, с «−» на «+» — точка минимума. Если график производной касается оси, не пересекая её, знак не меняется и экстремума нет.

Подробный разбор экстремумов, примеры и ловушки: Экстремумы функции.

Монотонность основных функций

Функция	Промежуток	Поведение
$y = k x + b$	$R$	возрастает при $k > 0$ , убывает при $k < 0$
$y = a x^{2} + b x + c$ , $a > 0$	$(- \infty; x_{0}]$ / $[x_{0}; + \infty)$	убывает / возрастает
$y = a^{x}$ , $a > 1$	$R$	возрастает
$y = a^{x}$ , $0 < a < 1$	$R$	убывает
$y = lo g_{a} x$ , $a > 1$	$(0; + \infty)$	возрастает
$y = lo g_{a} x$ , $0 < a < 1$	$(0; + \infty)$	убывает
$y = x$	$[0; + \infty)$	возрастает
$y = 1/ x$	$(- \infty; 0)$ и $(0; + \infty)$	убывает на каждой ветви

Критическая точка не всегда экстремум

Ноль производной — лишь сигнал «возможно, здесь экстремум». Экстремум есть, только если производная вокруг точки меняет знак. У $y = x^{3}$ производная $3 x^{2}$ равна нулю в $x = 0$ , но с обеих сторон положительна, поэтому функция всюду возрастает. Разбор экстремумов вынесен на страницу «Экстремумы функции».

Разбор примеров

Два примера: первый полный, во втором часть решения за тобой.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Найди промежутки монотонности функции $f (x) = x^{2} - 8 x + 1$ .

Решение. Область определения — вся прямая. Производная: $f^{'} (x) = 2 x - 8$ .

Критическая точка: $2 x - 8 = 0$ , то есть $x = 4$ . Она делит прямую на два промежутка.

На $(- \infty; 4)$ возьмём $x = 0$ : $f^{'} (0) = - 8 < 0$ — функция убывает. На $(4; + \infty)$ возьмём $x = 5$ : $f^{'} (5) = 2 > 0$ — функция возрастает.

Ответ: убывает на $(- \infty; 4]$ , возрастает на $[4; + \infty)$ .

Типичная ошибка. Перепутать, где минус, а где плюс, и записать промежутки наоборот. Всегда подставляй пробную точку, не угадывай.

Пример 2 (уровень Б, один шаг — сам). Найди промежутки возрастания функции $f (x) = x^{3} - 3 x$ .

Решение. Производная: $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x^{2} - 1)$ . Критические точки: $x = - 1$ и $x = 1$ .

Определи знаки производной на трёх промежутках сам, подставив по одной пробной точке.

Типичная ошибка. Взять пробную точку прямо в критической точке, где производная ноль, и не понять знак на интервале.

Монотонность без производной

Для базовых функций — линейной, показательной, логарифмической, корня — монотонность известна заранее по виду функции, и производную считать не нужно (см. таблицу выше).

Распространённые ошибки

1. Объединять промежутки монотонности через знак $\cup$ когда нельзя. $y = 1/ x$ убывает на $(- \infty; 0)$ и убывает на $(0; + \infty)$ . Но нельзя написать «убывает на $(- \infty; 0) \cup (0; + \infty)$ », потому что между ветвями есть разрыв. На объединении свойство не выполняется.

2. Перепутать «функция растёт» и «производная растёт». Если $f$ возрастает, это не значит, что $f^{'}$ возрастает. У $y = x^{2}$ на $[0; + \infty)$ функция возрастает (вверх), и $y^{'} = 2 x$ тоже возрастает. Но у $y = x$ функция возрастает, а $y^{'} = 1/ (2 x)$ — убывает.

3. Считать, что критические точки всегда дают экстремум. У $y = x^{3}$ критическая точка $x = 0$ не экстремум: функция возрастает и слева, и справа от нуля.

4. Не учитывать область определения. Если $D (f)$ имеет «дырки», промежутки монотонности на каждой связной части пишутся отдельно.

5. Исключать концы без причины. Принято включать концы промежутков, если функция в них определена и непрерывна: $[a; b]$ , а не $(a; b)$ .

Что запомнить

$f^{'} > 0$ → функция возрастает; $f^{'} < 0$ → убывает.
На разрывной $D (f)$ — монотонность на каждой связной части.
Критическая точка не обязательно экстремум: нужна смена знака производной.
Алгоритм: $D (f)$ → $f^{'}$ → критические точки → знаки на интервалах.

Связь с другими темами

Экстремумы функции — экстремум через смену знака производной.
Линейная функция — простейший случай монотонности.
Квадратичная функция — два интервала монотонности.

Прокачай работу с производной

Диагностика покажет пробелы в исследовании функций. Дальше — точечная тренировка.

Попробовать бесплатно

Проверено: 2026-10-08.

Монотонность функции через производную