Монотонность функции через производную

Монотонность — самое часто запрашиваемое свойство функции в задачах 7 и 12 ЕГЭ. Через производную определять её — стандартный приём. Главное — правильно находить промежутки и не перепутать «производная положительна» с «функция положительна».

Стоит сразу зафиксировать, что монотонность — это про направление движения функции, а не про её знак. Возрастающая функция может быть отрицательной, убывающая — положительной. Возрастание означает только одно: чем больше аргумент, тем больше значение. График такой функции идёт вверх при движении слева направо, как подъём в гору. Убывание — наоборот, спуск: больший аргумент даёт меньшее значение.

Связь монотонности с производной — одна из самых полезных идей всего школьного анализа, потому что она переводит геометрический вопрос «куда идёт график» в простую алгебру «какой знак у производной». Производная — это мгновенная скорость изменения функции, наклон касательной. Положительный наклон — график поднимается, функция растёт. Отрицательный наклон — график опускается, функция убывает. Именно поэтому достаточно изучить знаки производной, чтобы полностью описать, где функция растёт, а где убывает, — без построения графика и без подстановки множества точек.

Определения

Функция возрастает на промежутке $X$, если для любых $x_1, x_2 \in X$ из условия $x_1 < x_2$ следует $f(x_1) < f(x_2)$.

Функция убывает на промежутке $X$, если для любых $x_1, x_2 \in X$ из условия $x_1 < x_2$ следует $f(x_1) > f(x_2)$.

Если в неравенстве используется $\leq$ вместо $<$, говорят о неубывающей или невозрастающей функции (нестрогая монотонность).

Монотонная функция — общее название: возрастающая или убывающая.

Связь с производной

Основная теорема. Пусть функция $f$ дифференцируема на интервале $(a;\,b)$. Тогда:

• Если $f'(x) > 0$ на $(a;\,b)$ — функция строго возрастает.
• Если $f'(x) < 0$ на $(a;\,b)$ — функция строго убывает.
• Если $f'(x) = 0$ в отдельных точках, а в остальных $> 0$ — функция всё равно возрастает (нестрого).

Это даёт алгоритм исследования: найти производную, найти интервалы её знакопостоянства, выписать ответ.

Алгоритм поиска промежутков монотонности

1. Найти область определения $D(f)$.
2. Вычислить производную $f'(x)$.
3. Найти критические точки: точки, где $f'(x) = 0$ или $f'(x)$ не существует.
4. Разбить $D(f)$ на интервалы этими точками.
5. На каждом интервале определить знак производной (например, подстановкой пробной точки).
6. Записать ответ: на интервалах, где $f' > 0$ — возрастает; где $f' < 0$ — убывает.

Иллюстрация на графике

Знак производной соответствует наклону графика:

• Производная положительна → график идёт вверх → функция возрастает.
• Производная отрицательна → график идёт вниз → функция убывает.
• Производная равна нулю → касательная горизонтальная → возможен экстремум.

Полезно понять, почему критические точки разбивают область определения именно так, как нужно. Производная — непрерывная функция (для большинства школьных примеров), а непрерывная функция не может поменять знак, не пройдя через ноль или точку разрыва. Значит, между двумя соседними критическими точками знак производной постоянен: либо везде плюс, либо везде минус. Поэтому достаточно проверить знак в одной пробной точке каждого промежутка — и весь промежуток получает тот же знак. Это и делает метод интервалов таким экономным: вместо бесконечного числа точек проверяешь по одной на каждый кусок.

Из этого же следует, почему критические точки нужно искать не только там, где производная равна нулю, но и там, где её вообще нет. Точки, где производная не существует (например, излом у модуля или вертикальная касательная у корня), тоже могут быть границами смены поведения. Пропустив их, ты рискуешь склеить два разных по поведению куска в один и ошибиться с ответом.

Пример исследования

Задача. Найти промежутки монотонности функции $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$.

Шаг 1. $D(f) = \mathbb{R}$.

Шаг 2. Производная: $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$.

Шаг 3. Критические точки: $f'(x) = 0$ при $x = 0$ и $x = 2$.

Шаг 4. Интервалы: $(-\infty;\,0)$, $(0;\,2)$, $(2;\,+\infty)$.

Шаг 5. Знаки производной:

• На $(-\infty;\,0)$: возьмём $x = -1$. $f'(-1) = 3 \cdot 3 = 9 > 0$. Возрастает.
• На $(0;\,2)$: возьмём $x = 1$. $f'(1) = 3 \cdot (-1) = -3 < 0$. Убывает.
• На $(2;\,+\infty)$: возьмём $x = 3$. $f'(3) = 3 \cdot 9 = 27 > 0$. Возрастает.

Ответ. Возрастает на $(-\infty;\,0]$ и на $[2;\,+\infty)$. Убывает на $[0;\,2]$.

(Концы включаются в промежутки монотонности, потому что в них функция определена и непрерывна.)

Применение в задаче 12 ЕГЭ

Задание 12 — «Исследование функций» — прямо требует найти промежутки монотонности и экстремумы. Алгоритм выше — стандартный.

Применение в задаче 7 ЕГЭ

Задание 7 — производная по графику. Часто дан график производной $f'(x)$, и нужно по нему сказать про функцию $f$:

• Где $f'(x) > 0$ (график производной выше оси $Ox$) — функция возрастает.
• Где $f'(x) < 0$ (график производной ниже оси $Ox$) — функция убывает.
• Где $f'(x) = 0$ (график пересекает $Ox$) — возможны точки экстремума.

Монотонность основных функций

Почему критическая точка — это ещё не экстремум

Распространённое заблуждение — считать, что если производная обратилась в ноль, там обязательно максимум или минимум. На самом деле ноль производной — это лишь сигнал «возможно, здесь экстремум», а не гарантия. Экстремум появляется только тогда, когда производная вокруг этой точки меняет знак.

Разберём логику. Производная равна нулю означает, что касательная в этой точке горизонтальна — функция на мгновение «замерла». Но что происходит дальше, зависит от знаков слева и справа. Если слева производная была положительной (функция росла), а справа стала отрицательной (функция пошла вниз), то в точке — вершина, максимум. Если наоборот, с минуса на плюс — впадина, минимум. А если знак производной по обе стороны одинаковый — функция просто на мгновение замедлилась и продолжила движение в ту же сторону, никакого экстремума нет.

Классический пример — кубическая парабола. У неё производная обращается в ноль в одной точке, но знак не меняет: и слева, и справа функция возрастает. Получается «ступенька-полочка» на графике, но не вершина и не впадина. Поэтому правильный алгоритм всегда включает проверку смены знака, а не просто поиск нулей производной.

Разбор примеров

Три примера: первый полный, во втором шаг сам, в третьем — костяк за тобой.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Найди промежутки монотонности функции $f(x) = x^2 - 8x + 1$.

Решение. Область определения — вся прямая. Производная: $f'(x) = 2x - 8$.

Критическая точка: $2x - 8 = 0$, то есть $x = 4$. Она делит прямую на два промежутка.

На $(-\infty;\,4)$ возьмём $x = 0$: $f'(0) = -8 < 0$ — функция убывает. На $(4;\,+\infty)$ возьмём $x = 5$: $f'(5) = 2 > 0$ — функция возрастает.

Ответ: убывает на $(-\infty;\,4]$, возрастает на $[4;\,+\infty)$.

Типичная ошибка. Перепутать, где минус, а где плюс, и записать промежутки наоборот. Всегда подставляй пробную точку, не угадывай.

Пример 2 (уровень Б, один шаг — сам). Найди промежутки возрастания функции $f(x) = x^3 - 3x$.

Решение. Производная: $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1)$. Критические точки: $x = -1$ и $x = 1$.

Определи знаки производной на трёх промежутках сам, подставив по одной пробной точке.

Типичная ошибка. Взять пробную точку прямо в критической точке, где производная ноль, и не понять знак на интервале.

Пример 3 (уровень В, костяк — сам). Найди точки экстремума функции $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$.

Решение (skeleton).

Шаг 1. Найди производную и критические точки: приравняй $f'(x)$ к нулю.

Шаг 2. Определи знаки производной на каждом из получившихся промежутков.

Шаг 3. Найди, где знак меняется, и определи характер каждого экстремума.

Типичная ошибка. Назвать обе критические точки максимумами или минимумами, не проверив, как меняется знак производной в каждой.

Типовые задачи ЕГЭ

Тип 1 (задание 7). Анализ по графику производной. Дан график $f'(x)$, и нужно сделать вывод про саму функцию $f$. Где график производной выше оси — функция возрастает, где ниже — убывает, где пересекает ось — возможен экстремум. Это прямое применение основной теоремы.

Тип 2 (задание 12). Точки максимума и минимума. Стандартный алгоритм: производная, критические точки, знаки, проверка смены знака. Главный риск — назвать экстремумом точку, где знак производной не меняется.

Тип 3. Монотонность без производной. Для базовых функций — линейной, показательной, логарифмической, корня — монотонность известна заранее по виду функции. Не всегда нужно считать производную: иногда достаточно вспомнить таблицу поведения основных функций.

Распространённые ошибки

1. Объединять промежутки монотонности через знак $\cup$ когда нельзя. $y = 1/x$ убывает на $(-\infty;\,0)$ и убывает на $(0;\,+\infty)$. Но нельзя написать «убывает на $(-\infty;\,0) \cup (0;\,+\infty)$», потому что между ветвями есть разрыв. На объединении свойство не выполняется.

2. Перепутать «функция растёт» и «производная растёт». Если $f$ возрастает, это не значит, что $f'$ возрастает. У $y = x^2$ на $[0;\,+\infty)$ функция возрастает (вверх), и $y' = 2x$ тоже возрастает. Но у $y = \sqrt{x}$ функция возрастает, а $y' = 1/(2\sqrt{x})$ — убывает.

3. Считать, что критические точки всегда дают экстремум. Не всегда. У $y = x^3$ производная $y' = 3x^2$, критическая точка $x = 0$, но это не экстремум — функция везде возрастает (и слева, и справа от нуля).

4. Не учитывать область определения. Если $D(f)$ имеет «дырки», промежутки монотонности на каждой связной части пишутся отдельно.

5. Брать строгое неравенство в ответе. Стандарт: концы интервалов включаются (если функция там определена). Пишем $[a;\,b]$, не $(a;\,b)$.

Разобранный пример (задание 12 ЕГЭ)

Условие. Найти точки максимума и минимума функции $f(x) = x^3 - 12x + 5$.

Решение.

Шаг 1. Производная: $f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x - 2)(x + 2)$.

Шаг 2. $f'(x) = 0$ при $x = 2$ и $x = -2$.

Шаг 3. Знаки на интервалах:

• $(-\infty;\,-2)$: $f' > 0$ (возрастание).
• $(-2;\,2)$: $f' < 0$ (убывание).
• $(2;\,+\infty)$: $f' > 0$ (возрастание).

Шаг 4. Точка $x = -2$: производная меняет знак с «+» на «−» — это точка максимума. Точка $x = 2$: с «−» на «+» — точка минимума.

Ответ. $x_{max} = -2$, $x_{min} = 2$.

Зачем монотонность нужна в других темах

Монотонность — не самоцель, а инструмент, который выручает по всей программе. В неравенствах с показательной и логарифмической функцией именно монотонность определяет, сохраняется или меняется знак при «снятии» функции. В задачах на наибольшее и наименьшее значение монотонность подсказывает, где искать экстремум: на концах промежутка или в критической точке. А при работе со сложными функциями знание того, что внешняя функция монотонна, позволяет перенести экстремум внутренней наружу без лишних вычислений.

Поэтому стоит относиться к монотонности как к базовому навыку, на который опираются более сложные темы. Уверенное владение алгоритмом «область определения — производная — критические точки — знаки» окупается далеко за пределами задания 12, в котором этот алгоритм впервые встречается.

Что запомнить

• $f' > 0$ → функция возрастает; $f' < 0$ → убывает.
• На разрывной $D(f)$ — монотонность на каждой связной части.
• Критическая точка ≠ экстремум (нужно проверять смену знака).
• Алгоритм: $D(f)$ → $f'$ → критические точки → знаки на интервалах.

Связь с другими темами

• Экстремумы функции — экстремум через смену знака производной.
• Линейная функция — простейший случай монотонности.
• Квадратичная функция — два интервала монотонности.