Область определения функции

Область определения — фундамент любой работы с функцией. Если ты получил ответ $x = 5$, но $5$ не входит в $D(f)$, это посторонний корень. На ЕГЭ потеря балла часто связана не с ошибкой в вычислениях, а с забытой проверкой на ОДЗ.

Определение

Область определения функции $f$ — множество всех значений $x$, при которых формула функции имеет смысл и даёт действительное число.

Обозначение: $D(f)$ или $D_f$.

Например:

• $f(x) = x^2$: $D(f) = \mathbb{R}$ (любое число).
• $f(x) = 1/x$: $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ (всё, кроме нуля).
• $f(x) = \sqrt{x}$: $D(f) = [0;\,+\infty)$.
• $f(x) = \log_2 x$: $D(f) = (0;\,+\infty)$.

Три главных запрета

Подавляющее большинство «запретов» на ЕГЭ сводится к трём типам:

1. Дробь — знаменатель не равен нулю

Если в выражении есть дробь $\dfrac{p(x)}{q(x)}$, то $q(x) \neq 0$.

Пример. $f(x) = \dfrac{1}{x - 5}$. Запрет: $x - 5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$. $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{5\}$.

2. Чётный корень — подкоренное неотрицательно

Если есть $\sqrt{p(x)}$, $\sqrt[4]{p(x)}$ и т.д. (корень чётной степени), то $p(x) \geq 0$.

Пример. $f(x) = \sqrt{2x - 6}$. Запрет: $2x - 6 \geq 0$, то есть $x \geq 3$. $D(f) = [3;\,+\infty)$.

Для нечётного корня ($\sqrt[3]{}$, $\sqrt[5]{}$) запрета нет — определён везде.

3. Логарифм — аргумент положителен

Если есть $\log_a p(x)$ или $\ln p(x)$ или $\lg p(x)$, то $p(x) > 0$.

Если основание $a$ — параметр, ещё $a > 0$ и $a \neq 1$.

Пример. $f(x) = \log_3 (x + 4)$. Запрет: $x + 4 > 0$, то есть $x > -4$. $D(f) = (-4;\,+\infty)$.

Дополнительные запреты

Тангенс и котангенс. $\tg x$ не определён при $x = \pi/2 + \pi n$. $\ctg x$ не определён при $x = \pi n$.

Арксинус и арккосинус. $\arcsin x$ и $\arccos x$ определены при $-1 \leq x \leq 1$.

Возведение в нецелую степень. $x^{1/2} = \sqrt{x}$ — те же ограничения. $x^{2/3} = \sqrt[3]{x^2}$ — нет ограничений.

Алгоритм для составной функции

Когда в формуле несколько «потенциально проблемных» элементов:

1. Выписать все запреты в виде системы.
2. Решить каждое условие отдельно.
3. Пересечь решения — получить $D(f)$.

Пример. $f(x) = \dfrac{\sqrt{x - 2}}{\log_3 (5 - x)}$.

Условия:

• $x - 2 \geq 0$ → $x \geq 2$;
• $5 - x > 0$ → $x < 5$;
• $\log_3 (5 - x) \neq 0$ → $5 - x \neq 1$ → $x \neq 4$.

Пересечение: $x \geq 2$ И $x < 5$ И $x \neq 4$. Получаем: $x \in [2;\,4) \cup (4;\,5)$.

Применение в задаче 11 ЕГЭ

В задаче 11 (наибольшее/наименьшее значение функции) сначала определяешь область определения. Если поиск идёт на отрезке $[a;\,b]$, проверь, что весь отрезок входит в $D(f)$. Если часть не входит — корректируй отрезок.

Пример. «Найти наименьшее значение $y = \log_2 (x - 3)$ на $[2;\,7]$.» $D(f) = (3;\,+\infty)$. Отрезок $[2;\,7]$ не весь входит. Реальный отрезок поиска: $(3;\,7]$. Минимума на полуоткрытом отрезке может не быть (в точке $x = 3$ значение $-\infty$).

Применение в задаче 7 ЕГЭ

В задаче с графиком производной по графику видно, где функция определена. Если на графике есть «пробел» (например, два куска без соединения) — это разрыв $D(f)$.

Важно: ОДЗ vs D(f)

Иногда термины путают:

• $D(f)$ — область определения функции (характеристика функции как объекта).
• ОДЗ — «область допустимых значений» уравнения или неравенства. Обычно совпадает с пересечением $D(f)$ всех функций, входящих в задачу.

Пример. Уравнение $\sqrt{x} = \log_2 (x - 1)$. ОДЗ: $x \geq 0$ (от корня) И $x > 1$ (от логарифма) → $x > 1$.

Типичные D(f) для основных функций

Распространённые ошибки

1. Считать $\sqrt{x^2}$ определённым только при $x \geq 0$. Под корнем стоит $x^2 \geq 0$ для любого $x$. Поэтому $D(\sqrt{x^2}) = \mathbb{R}$. И $\sqrt{x^2} = |x|$.

2. В дроби забыть про «знаменатель не ноль». $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$. Хотя дробь упрощается до $x + 2$, исходная функция не определена в $x = 2$. $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.

3. Считать $\log_a 0 = 0$. Не определён. Аргумент логарифма должен быть строго положителен.

4. В системе ограничений писать одно неравенство «или» вместо «и». Все условия должны выполняться одновременно (логическое И, пересечение). Не «или».

5. Игнорировать ОДЗ при возведении в квадрат. При решении $\sqrt{f(x)} = g(x)$ возведение в квадрат может добавить корни. Всегда проверяй: $g(x) \geq 0$ и $f(x) = g(x)^2$.

Разобранный пример

Условие. Найти область определения функции $f(x) = \log_5 (x^2 - 6x + 8)$.

Решение. Логарифм требует положительного аргумента:

$x^2 - 6x + 8 > 0$

Найдём корни: $x = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \dfrac{6 \pm 2}{2}$, то есть $x = 2$ и $x = 4$.

Парабола $y = x^2 - 6x + 8$ имеет ветви вверх, корни в $2$ и $4$, положительна вне отрезка $[2;\,4]$.

$x \in (-\infty;\,2) \cup (4;\,+\infty)$

Ответ. $D(f) = (-\infty;\,2) \cup (4;\,+\infty)$.

Что запомнить

• $D(f)$ — где функция определена.
• 3 главных запрета: дробь (знаменатель ≠ 0), корень чётной степени (подкоренное ≥ 0), логарифм (аргумент > 0).
• Для составной функции — система всех запретов, пересечение.
• ОДЗ уравнения = пересечение $D(f)$ всех функций.
• Любой кандидат-корень — обязательная проверка на $D(f)$.

Связь с другими темами

• Область значений функции — другая характеристика.
• Функция корня — типичный источник ограничения.
• Логарифмическая функция — типичный источник ограничения.
• Обратная пропорциональность — пример «дырки» в $D(f)$.