Линейная функция y=kx+b: график и свойства

Любая прямая на координатной плоскости (кроме вертикальной) — это график линейной функции. Записывается она в виде $y = kx + b$. Два числа $k$ и $b$ задают всю прямую: $k$ отвечает за наклон, $b$ — за вертикальный сдвиг. Разберём всё, что нужно для ЕГЭ.

Определение и формула

Линейная функция — функция вида:

$y = kx + b$

где $k$ и $b$ — числа (константы), $x$ — независимая переменная, $y$ — зависимая.

Числа $k$ и $b$ называются параметрами линейной функции:

• $k$ — угловой коэффициент (или коэффициент наклона);
• $b$ — свободный член (или сдвиг).

Если $k \neq 0$, функция называется линейной. Если $k = 0$, получаем $y = b$ — постоянную функцию (горизонтальная прямая на уровне $y = b$). Если же $b = 0$, формула упрощается до $y = kx$ — это прямая пропорциональность, частный случай линейной функции, проходящий через начало координат.

Что значат k и b геометрически

Свободный член $b$. Если подставить $x = 0$ в формулу, получим $y = b$. Это значит: точка $(0;\,b)$ всегда лежит на прямой. То есть $b$ — это $y$-координата точки пересечения графика с осью $Oy$.

Угловой коэффициент $k$. Возьмём две точки графика: $(x_1;\,y_1)$ и $(x_2;\,y_2)$. Тогда

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

То есть $k$ — это отношение приращения $y$ к приращению $x$. Если $x$ увеличить на 1, то $y$ увеличится на $k$. Поэтому $k$ ещё называют «скорость изменения» функции.

Геометрически $k$ — это тангенс угла наклона прямой к оси Ox:

$k = \tg \alpha$

где $\alpha$ — угол между прямой и положительным направлением оси $Ox$ (отсчёт против часовой стрелки).

График линейной функции при разных k

График линейной функции — прямая. Чтобы её построить, достаточно двух точек.

Поведение зависит от знака $k$:

• $k > 0$. Прямая идёт «вверх» слева направо. Функция возрастает на всей числовой прямой. Чем больше $k$, тем круче подъём.
• $k < 0$. Прямая идёт «вниз» слева направо. Функция убывает на всей числовой прямой. Чем меньше $k$ (по модулю больше), тем круче спуск.
• $k = 0$. Прямая горизонтальная, $y = b$. Функция постоянная.

Параметр $b$ только сдвигает прямую вверх ($b > 0$) или вниз ($b < 0$), не меняя её наклон. При фиксированном $k$ все прямые $y = kx + b$ при разных $b$ — параллельны.

Точки пересечения с осями

С осью $Oy$. Подставляем $x = 0$:

$y = k \cdot 0 + b = b$

Точка пересечения: $(0;\,b)$.

С осью $Ox$. Приравниваем $y = 0$ и решаем относительно $x$:

$kx + b = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{b}{k}$

Точка пересечения: $\left(-\dfrac{b}{k};\,0\right)$. Это работает только при $k \neq 0$. Если $k = 0$ и $b \neq 0$, прямая $y = b$ параллельна оси $Ox$ и не пересекает её.

Свойства линейной функции

Как построить график за 30 секунд

Алгоритм для любой линейной функции $y = kx + b$:

1. Точка 1. $(0;\,b)$ — пересечение с $Oy$. Сразу её отмечаешь.
2. Точка 2. $\left(-\dfrac{b}{k};\,0\right)$ — пересечение с $Ox$. Отмечаешь.
3. Через две точки проводишь прямую.

Если $b = 0$, обе точки совпадают в начале координат — берёшь вторую точку с любым $x \neq 0$, например $x = 1$, и считаешь $y = k$.

Пример. Построить $y = -2x + 4$. Точка с $Oy$: $(0;\,4)$. Точка с $Ox$: $-2x + 4 = 0$, $x = 2$, точка $(2;\,0)$. Проводим прямую через $(0;\,4)$ и $(2;\,0)$.

Применение в задании 7 ЕГЭ профиль

В задании 7 («Производная и первообразная по графику») часто встречается ситуация: дан график функции, и в указанной точке проведена касательная. Касательная — это прямая, у которой $k$ равен значению производной в точке касания.

Если на графике касательная проходит через точки $(x_1;\,y_1)$ и $(x_2;\,y_2)$, то значение производной в точке касания:

$f'(x_0) = k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Подробнее этот приём разобран на странице Задание 7: производная по графику.

Применение в задании 11 ЕГЭ профиль

Задание 11 — текстовые задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения. Часто моделируется линейной функцией. Например: «доход магазина зависит от количества товара по формуле…». Тогда:

• если $k > 0$, наибольшее значение на отрезке достигается на правом конце;
• если $k < 0$, наибольшее значение — на левом конце.

То есть для линейной функции на отрезке экстремум всегда лежит на одном из концов. Внутри отрезка экстремумов нет, потому что функция монотонная.

Уравнение прямой по двум точкам

Иногда нужно записать формулу прямой, проходящей через две заданные точки $(x_1;\,y_1)$ и $(x_2;\,y_2)$. Алгоритм:

1. Найти $k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
2. Подставить любую из двух точек в $y = kx + b$ и найти $b$.

Пример. Прямая через $(1;\,3)$ и $(4;\,9)$. Считаем: $k = \dfrac{9-3}{4-1} = 2$. Подставляем $(1;\,3)$: $3 = 2 \cdot 1 + b$, $b = 1$. Ответ: $y = 2x + 1$.

Параллельность и перпендикулярность

Две прямые $y = k_1 x + b_1$ и $y = k_2 x + b_2$:

• Параллельны, если $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$. Если же $b_1 = b_2$, прямые совпадают.
• Перпендикулярны, если $k_1 \cdot k_2 = -1$, то есть $k_2 = -\dfrac{1}{k_1}$.

Признак перпендикулярности — частая ловушка в задаче 9 ЕГЭ. Если по чертежу видно, что одна прямая перпендикулярна другой, и у одной из них известен $k_1 = 2$, то у второй $k_2 = -\dfrac{1}{2}$.

Распространённые ошибки

1. Путать угол наклона с самим коэффициентом. $k$ — это тангенс угла, а не сам угол. Если $k = 1$, угол $45°$. Если $k = \sqrt{3}$, угол $60°$. Если $k = -1$, угол $135°$ (тангенс отрицательный).

2. Считать, что функция $y = b$ (при $k = 0$) не является функцией. Является. Это постоянная функция, для каждого $x$ возвращает одно и то же значение $b$. График — горизонтальная прямая.

3. Считать, что вертикальная прямая — это график линейной функции. Нет. Вертикальная прямая $x = a$ не является графиком функции вообще, потому что одному значению $x$ соответствуют все возможные $y$. Вертикальные прямые — это графики уравнений, не функций.

4. Терять знак $k$ в задаче на касательную. Когда касательная идёт «вниз» (убывает), $k < 0$. Часто школьники пишут только модуль, забывая поставить минус, и теряют балл.

5. Путать параметры с переменными. $x$ и $y$ — переменные, они меняются. $k$ и $b$ — параметры, они фиксированы для конкретной функции. В задаче «найти $k$, если…» $k$ — неизвестное число, его нужно вычислить.

Разобранный пример (задание 7 ЕГЭ)

Условие. На рисунке изображён график функции $y = f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Касательная проходит через точки $(0;\,-2)$ и $(4;\,6)$. Найди значение производной функции $f$ в точке $x_0$.

Решение. Касательная — это линейная функция $y = kx + b$. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной:

$f'(x_0) = k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Подставляем точки:

$k = \frac{6 - (-2)}{4 - 0} = \frac{8}{4} = 2$

Ответ. $2$.

Что запомнить

• Формула: $y = kx + b$.
• $b$ — где график пересекает $Oy$ (точка $(0;\,b)$).
• $k$ — насколько $y$ растёт при увеличении $x$ на 1; геометрически тангенс угла наклона.
• $k > 0$ — возрастает; $k < 0$ — убывает; $k = 0$ — постоянна.
• График — прямая. Строится по двум точкам.
• Параллельные прямые — одинаковые $k$. Перпендикулярные — $k_1 k_2 = -1$.

Связь с другими темами

• Квадратичная функция — следующий шаг сложности после линейной.
• Обратная пропорциональность y=k/x — другой базовый тип функции.
• Монотонность функции — линейная функция всегда строго монотонна (при $k \neq 0$).
• Задание 7: производная по графику — применение знаний о $k$ для касательной.