Что значит k в формуле y=kx+b?

k — угловой коэффициент. Он показывает, насколько единиц поднимется график при увеличении x на 1. Если k>0 — график идёт вверх, если k<0 — вниз. Геометрически k = тангенс угла наклона прямой к оси Ox.

Что значит b в формуле y=kx+b?

b — свободный член. Это значение y, когда x=0. То есть точка (0; b) — точка пересечения графика с осью Oy.

Как найти точку пересечения линейной функции с осью Ox?

Приравнять y=0 и решить уравнение kx+b=0. Получаем x = -b/k. Точка (-b/k; 0) — пересечение с осью Ox. Если k=0, прямая параллельна Ox и пересечения нет (или совпадает с Ox при b=0).

Как построить график линейной функции?

Достаточно двух точек. Удобно взять (0; b) — пересечение с Oy и (-b/k; 0) — пересечение с Ox. Через эти две точки провести прямую. Если b=0, второй точкой брать любую x≠0, например x=1.

Когда линейная функция возрастает, а когда убывает?

Если k>0 — функция возрастает на всей числовой прямой. Если k<0 — убывает. Если k=0 — функция постоянная (y=b), не возрастает и не убывает.

Линейная функция y=kx+b — график, угловой коэффициент, свойства

Q: Что значит b в формуле y=kx+b?

b — свободный член. Это значение y, когда x=0. То есть точка (0; b) — точка пересечения графика с осью Oy.

Q: Как найти точку пересечения линейной функции с осью Ox?

Приравнять y=0 и решить уравнение kx+b=0. Получаем x = -b/k. Точка (-b/k; 0) — пересечение с осью Ox. Если k=0, прямая параллельна Ox и пересечения нет (или совпадает с Ox при b=0).

Q: Как построить график линейной функции?

Достаточно двух точек. Удобно взять (0; b) — пересечение с Oy и (-b/k; 0) — пересечение с Ox. Через эти две точки провести прямую. Если b=0, второй точкой брать любую x≠0, например x=1.

Q: Когда линейная функция возрастает, а когда убывает?

Если k>0 — функция возрастает на всей числовой прямой. Если k<0 — убывает. Если k=0 — функция постоянная (y=b), не возрастает и не убывает.

Любая прямая на координатной плоскости (кроме вертикальной) — это график линейной функции. Записывается она в виде $y = k x + b$ . Два числа $k$ и $b$ задают всю прямую: $k$ отвечает за наклон, $b$ — за вертикальный сдвиг. Ниже всё, что нужно для ЕГЭ.

Определение и формула

Линейная функция — функция вида:

$y = k x + b$

где $k$ и $b$ — числа (константы), $x$ — независимая переменная, $y$ — зависимая.

Числа $k$ и $b$ называются параметрами линейной функции:

$k$ — угловой коэффициент (или коэффициент наклона);
$b$ — свободный член (или сдвиг).

Числа $k$ и $b$ могут быть любыми. При $k = 0$ получаем $y = b$ — постоянную функцию (горизонтальная прямая на уровне $y = b$ ). При $b = 0$ формула упрощается до $y = k x$ — это прямая пропорциональность, частный случай линейной функции, проходящий через начало координат. Дальше, где не оговорено иное, считаем $k \neq = 0$ .

Что значат k и b геометрически

График линейной функции y=kx+b при k>0 (оранжевая прямая, восходящая) и k<0 (фиолетовая, нисходящая) с точками пересечения с осями

Свободный член $b$ . Если подставить $x = 0$ в формулу, получим $y = b$ . Это значит: точка $(0; b)$ всегда лежит на прямой. То есть $b$ — это $y$ -координата точки пересечения графика с осью $O y$ .

Угловой коэффициент $k$ . Возьмём две точки графика: $(x_{1}; y_{1})$ и $(x_{2}; y_{2})$ . Тогда

$k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$

То есть $k$ — это отношение приращения $y$ к приращению $x$ . Если $x$ увеличить на 1, то $y$ увеличится на $k$ . Поэтому $k$ ещё называют «скорость изменения» функции.

Геометрически $k$ — это тангенс угла наклона прямой к оси Ox:

$k = t g α$

где $α$ — угол между прямой и положительным направлением оси $O x$ (отсчёт против часовой стрелки).

График линейной функции при разных k

График линейной функции — прямая. Чтобы её построить, достаточно двух точек.

Поведение зависит от знака $k$ :

$k > 0$ . Прямая идёт «вверх» слева направо. Функция возрастает на всей числовой прямой. Чем больше $k$ , тем круче подъём.
$k < 0$ . Прямая идёт «вниз» слева направо. Функция убывает на всей числовой прямой. Чем меньше $k$ (по модулю больше), тем круче спуск.
$k = 0$ . Прямая горизонтальная, $y = b$ . Функция постоянная.

Параметр $b$ только сдвигает прямую вверх ( $b > 0$ ) или вниз ( $b < 0$ ), не меняя её наклон. При фиксированном $k$ все прямые $y = k x + b$ при разных $b$ — параллельны.

Точки пересечения с осями

С осью $O y$ . Подставляем $x = 0$ :

$y = k \cdot 0 + b = b$

Точка пересечения: $(0; b)$ .

С осью $O x$ . Приравниваем $y = 0$ и решаем относительно $x$ :

$k x + b = 0 \Rightarrow x = - \frac{b}{k}$

Точка пересечения: $(- \frac{b}{k}; 0)$ . Это работает только при $k \neq = 0$ . Если $k = 0$ и $b \neq = 0$ , прямая $y = b$ параллельна оси $O x$ и не пересекает её.

Свойства линейной функции

Свойство	Значение
Область определения	$D (f) = R$ (вся числовая прямая)
Область значений	$E (f) = R$ при $k \neq = 0$ ; $E (f) = {b}$ при $k = 0$
Монотонность	возрастает при $k > 0$ ; убывает при $k < 0$ ; постоянна при $k = 0$
Чётность	нечётная при $b = 0$ и $k \neq = 0$ (т.е. $y = k x$ ); чётная при $k = 0$ ; при $k \neq = 0$ и $b \neq = 0$ ни чётная, ни нечётная
Нули функции	$x = - \frac{b}{k}$ при $k \neq = 0$
Знак	$y > 0$ при $x > - \frac{b}{k}$ (если $k > 0$ ) и наоборот при $k < 0$

Как построить график

Алгоритм для любой линейной функции $y = k x + b$ :

Точка 1. $(0; b)$ — пересечение с $O y$ . Сразу её отмечаешь.
Точка 2. $(- \frac{b}{k}; 0)$ — пересечение с $O x$ . Отмечаешь.
Через две точки проводишь прямую.

Если $b = 0$ , обе точки совпадают в начале координат — берёшь вторую точку с любым $x \neq = 0$ , например $x = 1$ , и считаешь $y = k$ .

Пример. Построить $y = - 2 x + 4$ . Точка с $O y$ : $(0; 4)$ . Точка с $O x$ : $- 2 x + 4 = 0$ , $x = 2$ , точка $(2; 0)$ . Проводим прямую через $(0; 4)$ и $(2; 0)$ .

Где линейная функция нужна на ЕГЭ

Номера даны по проекту документов ЕГЭ-2027 (ФИПИ), итоговые документы могут отличаться.

№9, производная по графику. Касательная — прямая $y = k x + b$ , и $k$ равен значению производной в точке касания. Если касательная проходит через точки $(x_{1}; y_{1})$ и $(x_{2}; y_{2})$ , то $f^{'} (x_{0}) = k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ . Подробнее: производная в точке и уравнение касательной.
№12, графики функций. В демоверсии ЕГЭ-2027 в одном из вариантов графики параболы и прямой $g (x) = k x$ пересекаются в двух точках, и по рисунку нужно найти абсциссу второй. Коэффициент прямой читается по двум точкам, как выше.

Уравнение прямой по двум точкам

Иногда нужно записать формулу прямой, проходящей через две заданные точки $(x_{1}; y_{1})$ и $(x_{2}; y_{2})$ . Алгоритм:

Найти $k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ .
Подставить любую из двух точек в $y = k x + b$ и найти $b$ .

Пример. Прямая через $(1; 3)$ и $(4; 9)$ . Считаем: $k = \frac{9 - 3}{4 - 1} = 2$ . Подставляем $(1; 3)$ : $3 = 2 \cdot 1 + b$ , $b = 1$ . Ответ: $y = 2 x + 1$ .

Параллельность и перпендикулярность

Две прямые $y = k_{1} x + b_{1}$ и $y = k_{2} x + b_{2}$ :

Параллельны, если $k_{1} = k_{2}$ и $b_{1} \neq = b_{2}$ . Если же $b_{1} = b_{2}$ , прямые совпадают.
Перпендикулярны, если $k_{1} \cdot k_{2} = - 1$ , то есть $k_{2} = - \frac{1}{k _{1}}$ .

Если $k_{1} = 2$ , то у перпендикулярной прямой $k_{2} = - \frac{1}{2}$ .

Почему так: $k$ — тангенс угла наклона, а у перпендикулярных прямых углы наклона отличаются на $90°$ . На практике: перевернуть дробь и поменять знак. Было $3$ — стало $- \frac{1}{3}$ ; было $- \frac{2}{5}$ — стало $\frac{5}{2}$ . Для горизонтальной и вертикальной прямых это правило не работает: вертикальная не задаётся формулой $y = k x + b$ .

Распространённые ошибки

1. Путать угол наклона с самим коэффициентом. $k$ — это тангенс угла, а не сам угол. Если $k = 1$ , угол $45°$ . Если $k = 3$ , угол $60°$ . Если $k = - 1$ , угол $135°$ (тангенс отрицательный).

2. Считать, что функция $y = b$ (при $k = 0$ ) не является функцией. Является. Это постоянная функция, для каждого $x$ возвращает одно и то же значение $b$ . График — горизонтальная прямая.

3. Считать, что вертикальная прямая — это график линейной функции. Нет. Вертикальная прямая $x = a$ не является графиком функции вообще, потому что одному значению $x$ соответствуют все возможные $y$ . Вертикальные прямые — это графики уравнений, не функций.

4. Терять знак $k$ в задаче на касательную. Когда касательная идёт «вниз» (убывает), $k < 0$ . Часто пишут только модуль и забывают поставить минус.

5. Путать параметры с переменными. $x$ и $y$ — переменные, они меняются. $k$ и $b$ — параметры, они фиксированы для конкретной функции. В задаче «найти $k$ , если…» $k$ — неизвестное число, его нужно вычислить.

Разбор примеров

Три примера с нарастающей сложностью. Первый разобран целиком, во втором ты делаешь один шаг сам, в третьем за тобой почти весь костяк.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Касательная к графику функции проходит через точки $(0; - 2)$ и $(4; 6)$ . Найди значение производной в точке касания и построй эту касательную.

Решение. Касательная — это прямая $y = k x + b$ . Значение производной в точке касания равно её угловому коэффициенту $k$ .

Находим $k$ по двум точкам:

$k = \frac{6 - ( - 2 )}{4 - 0} = \frac{8}{4} = 2$

Значит, $f^{'} (x_{0}) = 2$ .

Построим прямую. Свободный член $b$ — это $y$ -координата при $x = 0$ , у нас точка $(0; - 2)$ уже даёт $b = - 2$ . Получаем $y = 2 x - 2$ .

Для построения нужны две точки. Одну знаем: $(0; - 2)$ . Вторую возьмём на оси $O x$ : $2 x - 2 = 0$ , $x = 1$ , точка $(1; 0)$ . Проводим прямую через $(0; - 2)$ и $(1; 0)$ .

Ответ. $f^{'} (x_{0}) = 2$ .

Типичная ошибка. Перепутать порядок в формуле $k$ . В числителе разность игреков, в знаменателе разность иксов в том же порядке: $y_{2} - y_{1}$ сверху, $x_{2} - x_{1}$ снизу. Какую точку считать первой, неважно, лишь бы порядок совпадал.

Пример 2 (уровень Б, один шаг — сам). Запиши уравнение прямой, проходящей через точки $(- 1; 5)$ и $(2; - 1)$ .

Решение. Сначала угловой коэффициент:

$k = \frac{- 1 - 5}{2 - ( - 1 )} = \frac{- 6}{3} = - 2$

Теперь нужно найти $b$ . Подставь любую из двух точек в уравнение $y = - 2 x + b$ и попробуй сам выразить $b$ .

Типичная ошибка. Потерять минус при подстановке отрицательной координаты. $- 2 \cdot (- 1) = + 2$ , а не $- 2$ . Минус на минус даёт плюс.

Пример 3 (уровень В, костяк — сам). Прямая перпендикулярна прямой $y = 2 x - 3$ и проходит через точку $(4; 1)$ . Запиши её уравнение.

Решение (skeleton).

Шаг 1. Найди угловой коэффициент перпендикулярной прямой. Для перпендикулярных прямых $k_{1} \cdot k_{2} = - 1$ . У исходной $k_{1} = 2$ , значит $k_{2}$ найдёшь из этого условия.

Шаг 2. Найди $b$ . Подставь точку $(4; 1)$ в уравнение $y = k_{2} x + b$ и вырази свободный член.

Шаг 3. Собери уравнение и проверь по точке.

Типичная ошибка. Взять для перпендикулярной тот же $k$ или просто поменять знак ( $k_{2} = - 2$ ). Перпендикулярность — это не смена знака, а «минус обратное»: $k_{2} = - \frac{1}{k _{1}}$ .

Проверь себя

Что запомнить

Формула: $y = k x + b$ .
$b$ — где график пересекает $O y$ (точка $(0; b)$ ).
$k$ — насколько $y$ растёт при увеличении $x$ на 1; геометрически тангенс угла наклона.
$k > 0$ — возрастает; $k < 0$ — убывает; $k = 0$ — постоянна.
График — прямая. Строится по двум точкам.
Параллельные прямые — одинаковые $k$ . Перпендикулярные — $k_{1} k_{2} = - 1$ .

Связь с другими темами

Квадратичная функция — следующий шаг сложности после линейной.
Обратная пропорциональность y=k/x — другой базовый тип функции.
Монотонность функции — линейная функция всегда строго монотонна (при $k \neq = 0$ ).
Производная в точке — применение знаний о $k$ для касательной.

Прокачай работу с графиками

Диагностика покажет, насколько ты уверенно строишь и читаешь графики. Дальше — точечная тренировка.

Попробовать бесплатно

Проверено: 2026-10-08.

Линейная функция y=kx+b: график и свойства