Линейная функция y=kx+b: график и свойства

Любая прямая на координатной плоскости (кроме вертикальной) — это график линейной функции. Записывается она в виде $y = kx + b$. Два числа $k$ и $b$ задают всю прямую: $k$ отвечает за наклон, $b$ — за вертикальный сдвиг. Разберём всё, что нужно для ЕГЭ.

Определение и формула

Линейная функция — функция вида:

$y = kx + b$

где $k$ и $b$ — числа (константы), $x$ — независимая переменная, $y$ — зависимая.

Числа $k$ и $b$ называются параметрами линейной функции:

• $k$ — угловой коэффициент (или коэффициент наклона);
• $b$ — свободный член (или сдвиг).

Если $k \neq 0$, функция называется линейной. Если $k = 0$, получаем $y = b$ — постоянную функцию (горизонтальная прямая на уровне $y = b$). Если же $b = 0$, формула упрощается до $y = kx$ — это прямая пропорциональность, частный случай линейной функции, проходящий через начало координат.

Что значат k и b геометрически

Свободный член $b$. Если подставить $x = 0$ в формулу, получим $y = b$. Это значит: точка $(0;\,b)$ всегда лежит на прямой. То есть $b$ — это $y$-координата точки пересечения графика с осью $Oy$.

Угловой коэффициент $k$. Возьмём две точки графика: $(x_1;\,y_1)$ и $(x_2;\,y_2)$. Тогда

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

То есть $k$ — это отношение приращения $y$ к приращению $x$. Если $x$ увеличить на 1, то $y$ увеличится на $k$. Поэтому $k$ ещё называют «скорость изменения» функции.

Геометрически $k$ — это тангенс угла наклона прямой к оси Ox:

$k = \tg \alpha$

где $\alpha$ — угол между прямой и положительным направлением оси $Ox$ (отсчёт против часовой стрелки).

График линейной функции при разных k

График линейной функции — прямая. Чтобы её построить, достаточно двух точек.

Поведение зависит от знака $k$:

• $k > 0$. Прямая идёт «вверх» слева направо. Функция возрастает на всей числовой прямой. Чем больше $k$, тем круче подъём.
• $k < 0$. Прямая идёт «вниз» слева направо. Функция убывает на всей числовой прямой. Чем меньше $k$ (по модулю больше), тем круче спуск.
• $k = 0$. Прямая горизонтальная, $y = b$. Функция постоянная.

Параметр $b$ только сдвигает прямую вверх ($b > 0$) или вниз ($b < 0$), не меняя её наклон. При фиксированном $k$ все прямые $y = kx + b$ при разных $b$ — параллельны.

Точки пересечения с осями

С осью $Oy$. Подставляем $x = 0$:

$y = k \cdot 0 + b = b$

Точка пересечения: $(0;\,b)$.

С осью $Ox$. Приравниваем $y = 0$ и решаем относительно $x$:

$kx + b = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{b}{k}$

Точка пересечения: $\left(-\dfrac{b}{k};\,0\right)$. Это работает только при $k \neq 0$. Если $k = 0$ и $b \neq 0$, прямая $y = b$ параллельна оси $Ox$ и не пересекает её.

Свойства линейной функции

Как построить график за 30 секунд

Алгоритм для любой линейной функции $y = kx + b$:

1. Точка 1. $(0;\,b)$ — пересечение с $Oy$. Сразу её отмечаешь.
2. Точка 2. $\left(-\dfrac{b}{k};\,0\right)$ — пересечение с $Ox$. Отмечаешь.
3. Через две точки проводишь прямую.

Если $b = 0$, обе точки совпадают в начале координат — берёшь вторую точку с любым $x \neq 0$, например $x = 1$, и считаешь $y = k$.

Пример. Построить $y = -2x + 4$. Точка с $Oy$: $(0;\,4)$. Точка с $Ox$: $-2x + 4 = 0$, $x = 2$, точка $(2;\,0)$. Проводим прямую через $(0;\,4)$ и $(2;\,0)$.

Применение в задании 7 ЕГЭ профиль

В задании 7 («Производная и первообразная по графику») часто встречается ситуация: дан график функции, и в указанной точке проведена касательная. Касательная — это прямая, у которой $k$ равен значению производной в точке касания.

Если на графике касательная проходит через точки $(x_1;\,y_1)$ и $(x_2;\,y_2)$, то значение производной в точке касания:

$f'(x_0) = k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Подробнее этот приём разобран на странице Задание 7: производная по графику.

Применение в задании 11 ЕГЭ профиль

Задание 11 — текстовые задачи на нахождение наибольшего или наименьшего значения. Часто моделируется линейной функцией. Например: «доход магазина зависит от количества товара по формуле…». Тогда:

• если $k > 0$, наибольшее значение на отрезке достигается на правом конце;
• если $k < 0$, наибольшее значение — на левом конце.

То есть для линейной функции на отрезке экстремум всегда лежит на одном из концов. Внутри отрезка экстремумов нет, потому что функция монотонная.

Это сильно упрощает задачу 11, когда зависимость линейная. Не нужно искать производную и решать уравнения: достаточно посмотреть на знак $k$ и подставить два конца отрезка. Если $k > 0$, наибольшее значение на правом конце, наименьшее на левом. Если $k < 0$, всё наоборот. Прямая никуда не сворачивает, поэтому максимум и минимум честно сидят по краям, и вычисление сводится к двум подстановкам.

Уравнение прямой по двум точкам

Иногда нужно записать формулу прямой, проходящей через две заданные точки $(x_1;\,y_1)$ и $(x_2;\,y_2)$. Алгоритм:

1. Найти $k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
2. Подставить любую из двух точек в $y = kx + b$ и найти $b$.

Пример. Прямая через $(1;\,3)$ и $(4;\,9)$. Считаем: $k = \dfrac{9-3}{4-1} = 2$. Подставляем $(1;\,3)$: $3 = 2 \cdot 1 + b$, $b = 1$. Ответ: $y = 2x + 1$.

Параллельность и перпендикулярность

Две прямые $y = k_1 x + b_1$ и $y = k_2 x + b_2$:

• Параллельны, если $k_1 = k_2$ и $b_1 \neq b_2$. Если же $b_1 = b_2$, прямые совпадают.
• Перпендикулярны, если $k_1 \cdot k_2 = -1$, то есть $k_2 = -\dfrac{1}{k_1}$.

Признак перпендикулярности — частая ловушка в задаче 9 ЕГЭ. Если по чертежу видно, что одна прямая перпендикулярна другой, и у одной из них известен $k_1 = 2$, то у второй $k_2 = -\dfrac{1}{2}$.

Почему так. Угловой коэффициент — это тангенс угла наклона. У перпендикулярных прямых углы наклона отличаются ровно на $90°$, а тангенсы таких углов связаны соотношением «минус обратное». Отсюда и формула $k_2 = -\dfrac{1}{k_1}$. На практике достаточно запомнить два действия: перевернуть дробь и поменять знак. Был коэффициент $3$ — стал $-\dfrac{1}{3}$. Был $-\dfrac{2}{5}$ — стал $\dfrac{5}{2}$. Это работает для любых ненулевых $k$, кроме случая горизонтальной и вертикальной прямых, где одна из них вообще не задаётся формулой $y = kx + b$.

Распространённые ошибки

1. Путать угол наклона с самим коэффициентом. $k$ — это тангенс угла, а не сам угол. Если $k = 1$, угол $45°$. Если $k = \sqrt{3}$, угол $60°$. Если $k = -1$, угол $135°$ (тангенс отрицательный).

2. Считать, что функция $y = b$ (при $k = 0$) не является функцией. Является. Это постоянная функция, для каждого $x$ возвращает одно и то же значение $b$. График — горизонтальная прямая.

3. Считать, что вертикальная прямая — это график линейной функции. Нет. Вертикальная прямая $x = a$ не является графиком функции вообще, потому что одному значению $x$ соответствуют все возможные $y$. Вертикальные прямые — это графики уравнений, не функций.

4. Терять знак $k$ в задаче на касательную. Когда касательная идёт «вниз» (убывает), $k < 0$. Часто школьники пишут только модуль, забывая поставить минус, и теряют балл.

5. Путать параметры с переменными. $x$ и $y$ — переменные, они меняются. $k$ и $b$ — параметры, они фиксированы для конкретной функции. В задаче «найти $k$, если…» $k$ — неизвестное число, его нужно вычислить.

Разобранный пример (задание 7 ЕГЭ)

Условие. На рисунке изображён график функции $y = f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Касательная проходит через точки $(0;\,-2)$ и $(4;\,6)$. Найди значение производной функции $f$ в точке $x_0$.

Решение. Касательная — это линейная функция $y = kx + b$. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной:

$f'(x_0) = k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Подставляем точки:

$k = \frac{6 - (-2)}{4 - 0} = \frac{8}{4} = 2$

Ответ. $2$.

Разбор примеров

Три примера с нарастающей сложностью. Первый разобран целиком, во втором ты делаешь один шаг сам, в третьем за тобой почти весь костяк. Так навык переходит из «понятно, когда показывают» в «умею сам».

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Касательная к графику функции проходит через точки $(0;\,-2)$ и $(4;\,6)$. Найди значение производной в точке касания и построй эту касательную.

Решение. Касательная — это прямая $y = kx + b$. Значение производной в точке касания равно её угловому коэффициенту $k$.

Находим $k$ по двум точкам:

$k = \frac{6 - (-2)}{4 - 0} = \frac{8}{4} = 2$

Значит, $f'(x_0) = 2$.

Теперь построим прямую. Свободный член $b$ — это $y$-координата при $x = 0$, у нас точка $(0;\,-2)$ уже даёт $b = -2$. Получаем $y = 2x - 2$.

Для построения нужны две точки. Одну знаем: $(0;\,-2)$. Вторую возьмём на оси $Ox$: $2x - 2 = 0$, $x = 1$, точка $(1;\,0)$. Проводим прямую через $(0;\,-2)$ и $(1;\,0)$.

Ответ. $f'(x_0) = 2$.

Типичная ошибка. Перепутать местами координаты в формуле $k$. В числителе всегда разность игреков, в знаменателе разность иксов в том же порядке. Если в числителе $y_2 - y_1$, то в знаменателе обязательно $x_2 - x_1$, а не наоборот. Порядок самих точек можно выбирать любой, главное держать его одинаковым сверху и снизу, тогда знак коэффициента получится верным.

Пример 2 (уровень Б, один шаг — сам). Запиши уравнение прямой, проходящей через точки $(-1;\,5)$ и $(2;\,-1)$.

Решение. Сначала угловой коэффициент:

$k = \frac{-1 - 5}{2 - (-1)} = \frac{-6}{3} = -2$

Теперь нужно найти $b$. Подставь любую из двух точек в уравнение $y = -2x + b$ и попробуй сам выразить $b$.

Типичная ошибка. Потерять минус при подстановке отрицательной координаты. $-2 \cdot (-1) = +2$, а не $-2$. Знак минус на минус даёт плюс, и эта мелочь часто стоит балла.

Пример 3 (уровень В, костяк — сам). Прямая перпендикулярна прямой $y = 2x - 3$ и проходит через точку $(4;\,1)$. Запиши её уравнение.

Решение (skeleton).

Шаг 1. Найди угловой коэффициент перпендикулярной прямой. Для перпендикулярных прямых $k_1 \cdot k_2 = -1$. У исходной $k_1 = 2$, значит $k_2$ найдёшь из этого условия.

Шаг 2. Найди $b$. Подставь точку $(4;\,1)$ в уравнение $y = k_2 x + b$ и вырази свободный член.

Шаг 3. Собери уравнение и проверь по точке.

Типичная ошибка. Взять для перпендикулярной тот же $k$ или просто поменять знак ($k_2 = -2$). Перпендикулярность — это не смена знака, а «минус обратное»: $k_2 = -\dfrac{1}{k_1}$.

Типовые задачи ЕГЭ

Линейная функция всплывает сразу в трёх заданиях профиля. Разберём по одному типовому формату из каждого.

Тип 1. Производная по касательной (задание 7). На графике касательная проходит через точки $(1;\,-1)$ и $(3;\,5)$. Производная в точке касания равна угловому коэффициенту касательной: $k = \dfrac{5 - (-1)}{3 - 1} = \dfrac{6}{2} = 3$. Значит, $f'(x_0) = 3$.

Тип 2. Параллельность и перпендикулярность (задание 9). Дана прямая $y = 3x + 1$. Любая параллельная ей прямая имеет тот же $k = 3$ (меняется только $b$). Любая перпендикулярная имеет $k = -\dfrac{1}{3}$, потому что $3 \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right) = -1$.

Тип 3. Наибольшее значение линейной на отрезке (задание 11). Найди наибольшее значение $y = -2x + 7$ на отрезке $[1;\,4]$. Поскольку $k = -2 < 0$, функция убывает, значит наибольшее значение в левом конце: $y(1) = -2 + 7 = 5$. Наименьшее — в правом: $y(4) = -8 + 7 = -1$. У линейной функции на отрезке экстремум всегда на краю.

Что запомнить

• Формула: $y = kx + b$.
• $b$ — где график пересекает $Oy$ (точка $(0;\,b)$).
• $k$ — насколько $y$ растёт при увеличении $x$ на 1; геометрически тангенс угла наклона.
• $k > 0$ — возрастает; $k < 0$ — убывает; $k = 0$ — постоянна.
• График — прямая. Строится по двум точкам.
• Параллельные прямые — одинаковые $k$. Перпендикулярные — $k_1 k_2 = -1$.

Связь с другими темами

• Квадратичная функция — следующий шаг сложности после линейной.
• Обратная пропорциональность y=k/x — другой базовый тип функции.
• Монотонность функции — линейная функция всегда строго монотонна (при $k \neq 0$).
• Задание 7: производная по графику — применение знаний о $k$ для касательной.