Преобразования графиков: сдвиг

Параллельный сдвиг — первый и самый простой тип преобразования графика. Базовое правило: прибавить число снаружи функции — сдвиг по вертикали, добавить внутрь — сдвиг по горизонтали (но в обратном направлении).

Сдвиг по оси Oy

Правило. Функция $y = f(x) + a$ — это график $y = f(x)$, сдвинутый по оси $Oy$:

• если $a > 0$ — на $a$ единиц вверх,
• если $a < 0$ — на $|a|$ единиц вниз.

Логика: каждой точке $(x;\,y)$ исходного графика соответствует точка $(x;\,y + a)$ нового — та же абсцисса, но ордината увеличена на $a$.

Пример. $y = x^2 + 3$ — это парабола $y = x^2$, сдвинутая на $3$ вверх. Вершина сдвинута из $(0;\,0)$ в $(0;\,3)$.

Сдвиг по оси Ox

Правило. Функция $y = f(x - a)$ — это график $y = f(x)$, сдвинутый по оси $Ox$:

• если $a > 0$ — на $a$ единиц вправо,
• если $a < 0$ — на $|a|$ единиц влево.

Это правило часто запоминается с трудом, потому что направление кажется «противоположным» знаку. Запоминай так: «$x - a$» — сдвиг вправо на $a$. «$x + a$» — сдвиг влево на $a$.

Пример. $y = (x - 2)^2$ — это парабола $y = x^2$, сдвинутая на $2$ вправо. Вершина в $(2;\,0)$.

Объединение двух сдвигов

Часто встречается комбинация:

$y = f(x - a) + b$

Это график $y = f(x)$, сдвинутый на $a$ единиц вправо и на $b$ единиц вверх (при положительных $a$, $b$).

Пример. $y = (x - 3)^2 + 5$ — парабола $y = x^2$ с вершиной, сдвинутой в $(3;\,5)$.

Пример. $y = \sqrt{x + 4} - 2$. Это график $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на $4$ влево (потому что внутри $x + 4 = x - (-4)$, то есть $a = -4$) и на $2$ вниз. Начало графика теперь в $(-4;\,-2)$.

Применение к разным функциям

Парабола. $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ — канонический вид. Вершина в $(x_0;\,y_0)$.

Гипербола. $y = \dfrac{k}{x - a} + b$. Центр гиперболы (точка пересечения асимптот) в $(a;\,b)$. Асимптоты: вертикальная $x = a$, горизонтальная $y = b$.

Корень. $y = \sqrt{x - a} + b$. Начало кривой в $(a;\,b)$.

Модуль. $y = |x - a| + b$. Вершина уголка в $(a;\,b)$.

Показательная. $y = a^{x - c} + d$. Асимптота $y = d$ (горизонтальная).

Как меняются свойства функции

Что сохраняется при параллельном сдвиге:

• Монотонность: возрастающая остаётся возрастающей, убывающая — убывающей.
• Периодичность: период не меняется.
• Форма графика (просто перемещается на плоскости).

Что может измениться:

• Координаты экстремумов (сдвигаются вместе с графиком).
• Точки пересечения с осями (могут появиться/исчезнуть).
• Область определения (при горизонтальном сдвиге сдвигается).
• Область значений (при вертикальном сдвиге сдвигается).
• Чётность/нечётность (сдвиг обычно ломает симметрию).

Применение в задаче 7 ЕГЭ

Часто в задаче 7 дан график «исходной» функции (например, парабола или экспонента), и нужно по нему построить или прочитать график сдвинутой. Полезно уметь определять параметры сдвига визуально.

Пример. Дана функция $y = (x + 1)^2 - 4$. Это парабола $y = x^2$, сдвинутая на $1$ влево и на $4$ вниз. Вершина $(-1;\,-4)$. Корни: $(x+1)^2 = 4$, $x + 1 = \pm 2$, $x = 1$ или $x = -3$.

Применение в задаче 11 ЕГЭ

Если в условии задачи функция «сложно» выглядит, попробуй увидеть в ней сдвиг известной функции. Например, $y = \sqrt{x - 5} + 7$ — корень, сдвинутый. Минимум при $x = 5$ (где подкоренное равно нулю), значение $7$.

Распространённые ошибки

1. Перепутать направление сдвига по $x$. Это самая частая ошибка. $y = f(x + 3)$ — сдвиг влево на $3$, не вправо. Запомни через подстановку: при $x = -3$ получим $f(0)$ — то значение, которое исходная функция принимала в $x = 0$. Значит, точка $(0;\,f(0))$ исходной перешла в $(-3;\,f(0))$ — сдвиг влево.

2. Сдвигать по $x$ когда нужно по $y$. Прибавление снаружи функции — это сдвиг по $y$. Прибавление внутри аргумента — по $x$. $y = x^2 + 3$ — сдвиг по $y$ на $3$. $y = (x + 3)^2$ — сдвиг по $x$ влево на $3$.

3. Применять сдвиг к функции без скобок. $y = 2x + 3$ — это не «сдвиг $y = 2x$ на $3$ вверх»? Формально — да, можно так интерпретировать. Но $y = 2x + 3 \neq y = 2(x + 3)$ — это разные сдвиги. Внимательно следи за скобками.

4. Считать, что сдвиг меняет наклон или форму. Не меняет. Парабола после сдвига остаётся параболой того же раствора. Прямая остаётся прямой того же наклона.

5. Не учитывать сдвиг в задачах на свойства. Если ищешь $D(f)$ для $y = \log_2 (x - 4)$, помни про сдвиг: запрет $x - 4 > 0$, то есть $x > 4$. $D(f) = (4;\,+\infty)$, а не $(0;\,+\infty)$.

Разобранный пример

Условие. Построй график функции $y = -\dfrac{1}{x + 2} + 1$.

Решение.

Это гипербола $y = -1/x$ (с ветвями во II и IV четвертях из-за знака минус), сдвинутая на $2$ влево и на $1$ вверх.

Центр сдвинутой гиперболы (пересечение асимптот) в точке $(-2;\,1)$. Асимптоты: вертикальная $x = -2$, горизонтальная $y = 1$.

Ветви расположены: одна в области $x > -2$, $y < 1$; другая в области $x < -2$, $y > 1$ (потому что у $y = -1/x$ ветви во II и IV — после сдвига в новых «II» и «IV» относительно центра $(-2;\,1)$).

Ответ: график построен — гипербола с центром $(-2;\,1)$.

Что запомнить

• $y = f(x) + a$: сдвиг по $y$ на $a$ (положительный $a$ — вверх).
• $y = f(x - a)$: сдвиг по $x$ на $a$ (положительный $a$ — вправо).
• Знак внутри противоположен направлению: $f(x + 3)$ — влево.
• Сдвиг сохраняет форму, монотонность, период.
• Меняет: координаты экстремумов, нули, асимптоты, $D(f)$ или $E(f)$.

Связь с другими темами

• Преобразования графиков: растяжение/сжатие — следующий тип преобразований.
• Преобразования графиков: отражение и модуль — третий тип.
• Квадратичная функция — канонический вид как сдвиг.
• Обратная пропорциональность — сдвинутая гипербола.