Преобразования графиков: сдвиг

Параллельный сдвиг — первый и самый простой тип преобразования графика. Базовое правило: прибавить число снаружи функции — сдвиг по вертикали, добавить внутрь — сдвиг по горизонтали (но в обратном направлении).

Зная график $y=x^2$ и умея его сдвигать, ты можешь нарисовать любую параболу вида $y=(x-a{)}^2+b$. То же с гиперболой, корнем, модулем и показательной функцией: достаточно держать в голове несколько «эталонов» и сдвигать их.

Главная сложность темы — горизонтальный сдвиг: прибавляешь к аргументу — график едет влево, вычитаешь — вправо. Причина простая, она разобрана в разделе «Почему сдвиг по x работает наоборот».

Сдвиг по оси Oy

Правило. Функция $y=f(x)+a$ — это график $y=f(x)$, сдвинутый по оси $Oy$:

• если $a>0$ — на $a$ единиц вверх,
• если $a<0$ — на $|a|$ единиц вниз.

Логика: каждой точке $(x;y)$ исходного графика соответствует точка $(x;y+a)$ нового — та же абсцисса, но ордината увеличена на $a$. Вертикальный сдвиг интуитивен: число прибавляется к готовому значению функции, поэтому плюс поднимает график, минус опускает.

Пример. $y=x^2+3$ — это парабола $y=x^2$, сдвинутая на $3$ вверх. Вершина сдвинута из $(0;0)$ в $(0;3)$. Абсцисса вершины осталась прежней, ведь по горизонтали ничего не двигали.

Сдвиг по оси Ox

Правило. Функция $y=f(x-a)$ — это график $y=f(x)$, сдвинутый по оси $Ox$:

• если $a>0$ — на $a$ единиц вправо,
• если $a<0$ — на $|a|$ единиц влево.

Направление кажется противоположным знаку. Запоминай так: «$x-a$» — сдвиг вправо на $a$, «$x+a$» — сдвиг влево на $a$.

Пример. $y=(x-2{)}^2$ — это парабола $y=x^2$, сдвинутая на $2$ вправо. Вершина в $(2;0)$. Заметь, что под знаком степени стоит именно $x-2$, а не $x$ — и при $x=2$ скобка обнуляется, давая вершину. Это короткий способ находить вершину сдвинутой параболы: приравниваешь скобку к нулю и читаешь абсциссу.

Объединение двух сдвигов

Часто встречается комбинация:

$y=f(x-a)+b$

Это график $y=f(x)$, сдвинутый на $a$ единиц вправо и на $b$ единиц вверх (при положительных $a$, $b$). Порядок сдвигов не важен: сначала вправо, потом вверх или наоборот — график окажется в той же точке. Горизонтальный и вертикальный сдвиги можно разбирать независимо.

Пример. $y=(x-3{)}^2+5$ — парабола $y=x^2$ с вершиной, сдвинутой в $(3;5)$.

Пример. $y=\sqrt{x+4}-2$. Это график $y=\sqrt{x}$, сдвинутый на $4$ влево (потому что внутри $x+4=x-(-4)$, то есть $a=-4$) и на $2$ вниз. Начало графика теперь в $(-4;-2)$.

Применение к разным функциям

Парабола. $y=a(x-x_0{)}^2+y_0$ — канонический вид. Вершина в $(x_0;y_0)$.

Гипербола. $y=\frac{k}{x-a}+b$. Центр гиперболы (точка пересечения асимптот) в $(a;b)$. Асимптоты: вертикальная $x=a$, горизонтальная $y=b$.

Корень. $y=\sqrt{x-a}+b$. Начало кривой в $(a;b)$.

Модуль. $y=|x-a|+b$. Вершина уголка в $(a;b)$.

Показательная. $y=a^{x-c}+d$. Асимптота $y=d$ (горизонтальная).

Как меняются свойства функции

Что сохраняется при параллельном сдвиге:

• Монотонность: возрастающая остаётся возрастающей, убывающая — убывающей.
• Периодичность: период не меняется.
• Форма графика (просто перемещается на плоскости).

Что может измениться:

• Координаты экстремумов (сдвигаются вместе с графиком).
• Точки пересечения с осями (могут появиться/исчезнуть).
• Область определения (при горизонтальном сдвиге сдвигается).
• Область значений (при вертикальном сдвиге сдвигается).
• Чётность и нечётность: сдвиг, как правило, нарушает симметрию графика.

Где это нужно в ЕГЭ

В заданиях на графики функций (№12 по проекту ЕГЭ-2027, в 2026 это №11) по графику иногда нужно восстановить параметры формулы, а сдвиг входит в такие формулы как «база плюс сдвиг». Проект документов ЕГЭ-2027 опубликован на сайте ФИПИ и может измениться, номер уточняй в итоговой версии.

Пример. Дана функция $y=(x+1{)}^2-4$. Это парабола $y=x^2$, сдвинутая на $1$ влево и на $4$ вниз. Вершина $(-1;-4)$. Корни: $(x+1{)}^2=4$, $x+1=\pm 2$, $x=1$ или $x=-3$.

Пример. Функция $y=\sqrt{x-5}+7$ — корень, сдвинутый на $5$ вправо и на $7$ вверх. Наименьшее значение $7$ достигается при $x=5$, где подкоренное выражение равно нулю. Это граничная точка области определения, а не точка экстремума в смысле производной.

Почему сдвиг по x работает «наоборот»

Эту мысль стоит понять один раз и навсегда, чтобы больше не путаться. Возьмём функцию $y=f(x-3)$ и спросим: при каком $x$ новая функция примет то значение, которое исходная принимала в нуле? Новая функция вычисляет $f$ от выражения $x-3$. Чтобы внутри получился ноль, нужно $x-3=0$, то есть $x=3$. Получается, что значение, которое исходный график показывал в точке $x=0$, новый график показывает в точке $x=3$. Точка переехала на три единицы вправо — значит, весь график сдвинулся вправо.

Теперь то же самое для $y=f(x+3)$. Чтобы внутри получился ноль, нужно $x+3=0$, то есть $x=-3$. Значение из нуля переехало в точку $-3$ — график сдвинулся влево. Вот откуда «обратность»: знак внутри скобки противоположен направлению сдвига.

Удобная мнемоника, которая закрывает вопрос: смотри на то, что обнуляет скобку. В $y=f(x-a)$ скобка обнуляется при $x=a$ — туда и едет «начало» графика, вправо при положительном $a$. В $y=f(x+a)$ скобка обнуляется при $x=-a$ — график едет влево. Если запомнить именно приём «обнуляю скобку и смотрю, где оказалось начало», ошибка с направлением исчезает.

Разбор примеров

Три примера: первый полный, во втором шаг сам, в третьем — костяк за тобой.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Опиши, как из графика $y=x^2$ получается график $y=(x-4{)}^2+1$.

Решение. Внутри скобки стоит $x-4$ — это горизонтальный сдвиг. Скобка обнуляется при $x=4$, значит сдвиг на 4 вправо.

Снаружи прибавляется $1$ — это вертикальный сдвиг на 1 вверх.

Итог: парабола $y=x^2$ переехала вершиной из $(0;0)$ в $(4;1)$, форма не изменилась.

Типичная ошибка. Сдвинуть параболу на 4 влево, перепутав направление горизонтального сдвига.

Пример 2 (уровень Б, один шаг — сам). Где находится вершина параболы $y=(x+2{)}^2-3$?

Решение. Снаружи вычитается $3$ — это сдвиг на 3 вниз, ордината вершины станет $-3$. Абсциссу вершины определи сам, разобравшись со скобкой $x+2$.

Типичная ошибка. Взять абсциссу вершины равной $+2$ вместо $-2$, не учтя «обратность» горизонтального сдвига.

Пример 3 (уровень В, костяк — сам). Найди центр гиперболы $y=\frac{1}{x-1}+4$.

Решение (skeleton).

Шаг 1. Разберись с горизонтальным сдвигом: при каком $x$ обнуляется знаменатель — там вертикальная асимптота.

Шаг 2. Разберись с вертикальным сдвигом: что прибавлено снаружи — это уровень горизонтальной асимптоты.

Шаг 3. Собери координаты центра как пересечение асимптот.

Типичная ошибка. Считать центр в начале координат, забыв учесть оба сдвига.

Типовые задачи ЕГЭ

Тип 1. Узнать сдвинутую функцию. По графику нужно определить параметры сдвига или, наоборот, по формуле построить график. Ключ — увидеть, какая «эталонная» функция спрятана внутри, и куда её сдвинули.

Тип 2. Наименьшее значение сдвинутой функции. Если функция — это сдвинутый корень или модуль, её наименьшее значение находится из точки сдвига. Например, у $y=\sqrt{x-5}+7$ оно достигается там, где подкоренное равно нулю, и равно значению вертикального сдвига.

Тип 3. Свойства после сдвига. Спрашивают, что изменилось, а что сохранилось. Полезно помнить: форма, монотонность и период не меняются, а координаты особых точек и одна из областей (определения или значений) сдвигаются.

Распространённые ошибки

1. Перепутать направление сдвига по $x$. Это самая частая ошибка. $y=f(x+3)$ — сдвиг влево на $3$, не вправо. Запомни через подстановку: при $x=-3$ получим $f(0)$ — то значение, которое исходная функция принимала в $x=0$. Значит, точка $(0;f(0))$ исходной перешла в $(-3;f(0))$ — сдвиг влево.

2. Сдвигать по $x$ когда нужно по $y$. Прибавление снаружи функции — это сдвиг по $y$. Прибавление внутри аргумента — по $x$. $y=x^2+3$ — сдвиг по $y$ на $3$. $y=(x+3{)}^2$ — сдвиг по $x$ влево на $3$.

3. Не различать сдвиг вверх и сдвиг влево для прямой. $y=2x+3$ — это прямая $y=2x$, поднятая на $3$. А $y=2(x+3)=2x+6$ — та же прямая, сдвинутая на $3$ влево. Это разные прямые: следи за скобками.

4. Считать, что сдвиг меняет наклон или форму. Не меняет. Парабола после сдвига остаётся параболой того же раствора. Прямая остаётся прямой того же наклона.

5. Не учитывать сдвиг в задачах на свойства. Если ищешь $D(f)$ для $y={\log }_2(x-4)$, помни про сдвиг: запрет $x-4>0$, то есть $x>4$. $D(f)=(4;+\infty )$, а не $(0;+\infty )$.

Разобранный пример

Условие. Построй график функции $y=-\frac{1}{x+2}+1$.

Решение.

Это гипербола $y=-1/x$ (с ветвями во II и IV четвертях из-за знака минус), сдвинутая на $2$ влево и на $1$ вверх.

Центр сдвинутой гиперболы (пересечение асимптот) в точке $(-2;1)$. Асимптоты: вертикальная $x=-2$, горизонтальная $y=1$.

Ветви расположены: одна в области $x>-2$, $y<1$; другая в области $x<-2$, $y>1$ (потому что у $y=-1/x$ ветви во II и IV — после сдвига в новых «II» и «IV» относительно центра $(-2;1)$).

Ответ: график построен — гипербола с центром $(-2;1)$.

Что запомнить

• $y=f(x)+a$: сдвиг по $y$ на $a$ (положительный $a$ — вверх).
• $y=f(x-a)$: сдвиг по $x$ на $a$ (положительный $a$ — вправо).
• Знак внутри противоположен направлению: $f(x+3)$ — влево.
• Сдвиг сохраняет форму, монотонность, период.
• Меняет: координаты экстремумов, нули, асимптоты, $D(f)$ или $E(f)$.

Связь с другими темами

• Преобразования графиков: растяжение/сжатие — следующий тип преобразований.
• Преобразования графиков: отражение и модуль — третий тип.
• Квадратичная функция — канонический вид как сдвиг.
• Обратная пропорциональность — сдвинутая гипербола.

Проверено: 2026-10-08.