Преобразования графиков: сдвиг

Параллельный сдвиг — первый и самый простой тип преобразования графика. Базовое правило: прибавить число снаружи функции — сдвиг по вертикали, добавить внутрь — сдвиг по горизонтали (но в обратном направлении).

Зачем вообще учиться сдвигать графики? Затем, что это превращает несколько базовых функций в целые семейства. Зная, как выглядит парабола $y = x^2$, и умея её сдвигать, ты автоматически умеешь рисовать любую параболу вида $y = (x - a)^2 + b$ — а таких в заданиях встречается множество. То же касается гиперболы, корня, модуля, показательной функции. Вместо того чтобы заучивать десятки графиков, ты держишь в голове несколько «эталонов» и сдвигаешь их по необходимости.

Главная сложность темы — горизонтальный сдвиг, который работает «против интуиции». Прибавляешь к аргументу — график едет влево, вычитаешь — вправо. Это сбивает с толку почти всех, кто сталкивается с темой впервые. Но за этим стоит понятная логика, и как только ты её один раз поймёшь, ошибка с направлением исчезнет. Разберём её отдельным разделом, потому что именно здесь теряется больше всего баллов.

Сдвиг по оси Oy

Правило. Функция $y = f(x) + a$ — это график $y = f(x)$, сдвинутый по оси $Oy$:

• если $a > 0$ — на $a$ единиц вверх,
• если $a < 0$ — на $|a|$ единиц вниз.

Логика: каждой точке $(x;\,y)$ исходного графика соответствует точка $(x;\,y + a)$ нового — та же абсцисса, но ордината увеличена на $a$. Вертикальный сдвиг устроен интуитивно понятно, без всякой «обратности»: прибавляешь положительное число — график поднимается, вычитаешь — опускается. Это потому, что прибавление происходит к самому значению функции, к готовому результату: подняли каждую точку на $a$ — весь график уехал вверх на $a$. Именно прозрачность вертикального сдвига делает особенно заметным контраст с горизонтальным, который ведёт себя наоборот.

Пример. $y = x^2 + 3$ — это парабола $y = x^2$, сдвинутая на $3$ вверх. Вершина сдвинута из $(0;\,0)$ в $(0;\,3)$. Абсцисса вершины осталась прежней, ведь по горизонтали ничего не двигали.

Сдвиг по оси Ox

Правило. Функция $y = f(x - a)$ — это график $y = f(x)$, сдвинутый по оси $Ox$:

• если $a > 0$ — на $a$ единиц вправо,
• если $a < 0$ — на $|a|$ единиц влево.

Это правило часто запоминается с трудом, потому что направление кажется «противоположным» знаку. Запоминай так: «$x - a$» — сдвиг вправо на $a$. «$x + a$» — сдвиг влево на $a$.

Пример. $y = (x - 2)^2$ — это парабола $y = x^2$, сдвинутая на $2$ вправо. Вершина в $(2;\,0)$. Заметь, что под знаком степени стоит именно $x - 2$, а не $x$ — и при $x = 2$ скобка обнуляется, давая вершину. Это короткий способ находить вершину сдвинутой параболы: приравниваешь скобку к нулю и читаешь абсциссу.

Объединение двух сдвигов

Часто встречается комбинация:

$y = f(x - a) + b$

Это график $y = f(x)$, сдвинутый на $a$ единиц вправо и на $b$ единиц вверх (при положительных $a$, $b$). Порядок, в котором ты делаешь эти два сдвига, не важен: сначала вправо потом вверх или наоборот — результат один и тот же, график окажется в той же точке. Это удобно: можно разбирать горизонтальный и вертикальный сдвиги независимо, не боясь, что они как-то перепутаются между собой. Каждый отвечает за свою ось и не вмешивается в работу другого.

Пример. $y = (x - 3)^2 + 5$ — парабола $y = x^2$ с вершиной, сдвинутой в $(3;\,5)$.

Пример. $y = \sqrt{x + 4} - 2$. Это график $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на $4$ влево (потому что внутри $x + 4 = x - (-4)$, то есть $a = -4$) и на $2$ вниз. Начало графика теперь в $(-4;\,-2)$.

Применение к разным функциям

Парабола. $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ — канонический вид. Вершина в $(x_0;\,y_0)$.

Гипербола. $y = \dfrac{k}{x - a} + b$. Центр гиперболы (точка пересечения асимптот) в $(a;\,b)$. Асимптоты: вертикальная $x = a$, горизонтальная $y = b$.

Корень. $y = \sqrt{x - a} + b$. Начало кривой в $(a;\,b)$.

Модуль. $y = |x - a| + b$. Вершина уголка в $(a;\,b)$.

Показательная. $y = a^{x - c} + d$. Асимптота $y = d$ (горизонтальная).

Сдвиг как универсальный язык графиков

Сдвиг удобен ещё и тем, что объединяет на первый взгляд разные функции в единую систему. Канонический вид параболы $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ — это просто базовая парабола, сдвинутая в точку $(x_0;\,y_0)$. Уравнение гиперболы $y = \dfrac{k}{x - a} + b$ — это базовая гипербола, сдвинутая в центр $(a;\,b)$. Сдвинутый корень, сдвинутый модуль, сдвинутая экспонента — везде один и тот же приём.

Это означает, что вместо запоминания множества формул достаточно держать в голове несколько эталонных графиков и одно правило сдвига. Встретив незнакомое на вид уравнение, ты ищешь в нём знакомый «скелет» и определяешь, куда его сдвинули. Такой взгляд особенно помогает в задачах, где функция записана громоздко: распознав сдвинутую базовую функцию, ты сразу понимаешь её форму, вершину, асимптоты и поведение.

Привычка читать формулу как «база плюс сдвиг» пригодится и при работе со свойствами. Например, чтобы найти область определения сдвинутого логарифма, ты не решаешь задачу заново, а просто переносишь известное ограничение базового логарифма с учётом сдвига. Это экономит время и снижает шанс ошибки.

Как меняются свойства функции

Что сохраняется при параллельном сдвиге:

• Монотонность: возрастающая остаётся возрастающей, убывающая — убывающей.
• Периодичность: период не меняется.
• Форма графика (просто перемещается на плоскости).

Что может измениться:

• Координаты экстремумов (сдвигаются вместе с графиком).
• Точки пересечения с осями (могут появиться/исчезнуть).
• Область определения (при горизонтальном сдвиге сдвигается).
• Область значений (при вертикальном сдвиге сдвигается).
• Чётность/нечётность (сдвиг обычно ломает симметрию).

Применение в задаче 7 ЕГЭ

Часто в задаче 7 дан график «исходной» функции (например, парабола или экспонента), и нужно по нему построить или прочитать график сдвинутой. Полезно уметь определять параметры сдвига визуально.

Пример. Дана функция $y = (x + 1)^2 - 4$. Это парабола $y = x^2$, сдвинутая на $1$ влево и на $4$ вниз. Вершина $(-1;\,-4)$. Корни: $(x+1)^2 = 4$, $x + 1 = \pm 2$, $x = 1$ или $x = -3$.

Применение в задаче 11 ЕГЭ

Если в условии задачи функция «сложно» выглядит, попробуй увидеть в ней сдвиг известной функции. Например, $y = \sqrt{x - 5} + 7$ — корень, сдвинутый. Минимум при $x = 5$ (где подкоренное равно нулю), значение $7$.

Почему сдвиг по x работает «наоборот»

Эту мысль стоит понять один раз и навсегда, чтобы больше не путаться. Возьмём функцию $y = f(x - 3)$ и спросим: при каком $x$ новая функция примет то значение, которое исходная принимала в нуле? Новая функция вычисляет $f$ от выражения $x - 3$. Чтобы внутри получился ноль, нужно $x - 3 = 0$, то есть $x = 3$. Получается, что значение, которое исходный график показывал в точке $x = 0$, новый график показывает в точке $x = 3$. Точка переехала на три единицы вправо — значит, весь график сдвинулся вправо.

Теперь то же самое для $y = f(x + 3)$. Чтобы внутри получился ноль, нужно $x + 3 = 0$, то есть $x = -3$. Значение из нуля переехало в точку $-3$ — график сдвинулся влево. Вот откуда «обратность»: знак внутри скобки противоположен направлению сдвига.

Удобная мнемоника, которая закрывает вопрос: смотри на то, что обнуляет скобку. В $y = f(x - a)$ скобка обнуляется при $x = a$ — туда и едет «начало» графика, вправо при положительном $a$. В $y = f(x + a)$ скобка обнуляется при $x = -a$ — график едет влево. Если запомнить именно приём «обнуляю скобку и смотрю, где оказалось начало», ошибка с направлением исчезает.

Разбор примеров

Три примера: первый полный, во втором шаг сам, в третьем — костяк за тобой.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Опиши, как из графика $y = x^2$ получается график $y = (x - 4)^2 + 1$.

Решение. Внутри скобки стоит $x - 4$ — это горизонтальный сдвиг. Скобка обнуляется при $x = 4$, значит сдвиг на 4 вправо.

Снаружи прибавляется $1$ — это вертикальный сдвиг на 1 вверх.

Итог: парабола $y = x^2$ переехала вершиной из $(0;\,0)$ в $(4;\,1)$, форма не изменилась.

Типичная ошибка. Сдвинуть параболу на 4 влево, перепутав направление горизонтального сдвига.

Пример 2 (уровень Б, один шаг — сам). Где находится вершина параболы $y = (x + 2)^2 - 3$?

Решение. Снаружи вычитается $3$ — это сдвиг на 3 вниз, ордината вершины станет $-3$. Абсциссу вершины определи сам, разобравшись со скобкой $x + 2$.

Типичная ошибка. Взять абсциссу вершины равной $+2$ вместо $-2$, не учтя «обратность» горизонтального сдвига.

Пример 3 (уровень В, костяк — сам). Найди центр гиперболы $y = \dfrac{1}{x - 1} + 4$.

Решение (skeleton).

Шаг 1. Разберись с горизонтальным сдвигом: при каком $x$ обнуляется знаменатель — там вертикальная асимптота.

Шаг 2. Разберись с вертикальным сдвигом: что прибавлено снаружи — это уровень горизонтальной асимптоты.

Шаг 3. Собери координаты центра как пересечение асимптот.

Типичная ошибка. Считать центр в начале координат, забыв учесть оба сдвига.

Типовые задачи ЕГЭ

Тип 1 (задание 7). Узнать сдвинутую функцию. По графику нужно определить параметры сдвига или, наоборот, по формуле построить график. Ключ — увидеть, какая «эталонная» функция спрятана внутри, и куда её сдвинули.

Тип 2 (задание 11). Экстремум сдвинутой функции. Если функция — это сдвинутый корень или модуль, её минимум легко находится из точки сдвига. Например, у $y = \sqrt{x - 5} + 7$ минимум достигается там, где подкоренное равно нулю, и равен значению вертикального сдвига.

Тип 3. Свойства после сдвига. Спрашивают, что изменилось, а что сохранилось. Полезно помнить: форма, монотонность и период не меняются, а координаты особых точек и одна из областей (определения или значений) сдвигаются.

Распространённые ошибки

1. Перепутать направление сдвига по $x$. Это самая частая ошибка. $y = f(x + 3)$ — сдвиг влево на $3$, не вправо. Запомни через подстановку: при $x = -3$ получим $f(0)$ — то значение, которое исходная функция принимала в $x = 0$. Значит, точка $(0;\,f(0))$ исходной перешла в $(-3;\,f(0))$ — сдвиг влево.

2. Сдвигать по $x$ когда нужно по $y$. Прибавление снаружи функции — это сдвиг по $y$. Прибавление внутри аргумента — по $x$. $y = x^2 + 3$ — сдвиг по $y$ на $3$. $y = (x + 3)^2$ — сдвиг по $x$ влево на $3$.

3. Применять сдвиг к функции без скобок. $y = 2x + 3$ — это не «сдвиг $y = 2x$ на $3$ вверх»? Формально — да, можно так интерпретировать. Но $y = 2x + 3 \neq y = 2(x + 3)$ — это разные сдвиги. Внимательно следи за скобками.

4. Считать, что сдвиг меняет наклон или форму. Не меняет. Парабола после сдвига остаётся параболой того же раствора. Прямая остаётся прямой того же наклона.

5. Не учитывать сдвиг в задачах на свойства. Если ищешь $D(f)$ для $y = \log_2 (x - 4)$, помни про сдвиг: запрет $x - 4 > 0$, то есть $x > 4$. $D(f) = (4;\,+\infty)$, а не $(0;\,+\infty)$.

Разобранный пример

Условие. Построй график функции $y = -\dfrac{1}{x + 2} + 1$.

Решение.

Это гипербола $y = -1/x$ (с ветвями во II и IV четвертях из-за знака минус), сдвинутая на $2$ влево и на $1$ вверх.

Центр сдвинутой гиперболы (пересечение асимптот) в точке $(-2;\,1)$. Асимптоты: вертикальная $x = -2$, горизонтальная $y = 1$.

Ветви расположены: одна в области $x > -2$, $y < 1$; другая в области $x < -2$, $y > 1$ (потому что у $y = -1/x$ ветви во II и IV — после сдвига в новых «II» и «IV» относительно центра $(-2;\,1)$).

Ответ: график построен — гипербола с центром $(-2;\,1)$.

Что запомнить

• $y = f(x) + a$: сдвиг по $y$ на $a$ (положительный $a$ — вверх).
• $y = f(x - a)$: сдвиг по $x$ на $a$ (положительный $a$ — вправо).
• Знак внутри противоположен направлению: $f(x + 3)$ — влево.
• Сдвиг сохраняет форму, монотонность, период.
• Меняет: координаты экстремумов, нули, асимптоты, $D(f)$ или $E(f)$.

Связь с другими темами

• Преобразования графиков: растяжение/сжатие — следующий тип преобразований.
• Преобразования графиков: отражение и модуль — третий тип.
• Квадратичная функция — канонический вид как сдвиг.
• Обратная пропорциональность — сдвинутая гипербола.