Квадратичная функция: парабола и её свойства

После линейной функции квадратичная — следующий уровень. Её график — парабола, и за это «не-прямоугольное» поведение её любят на ЕГЭ. Разберём всё, что нужно знать: формулу, вершину, корни, ветви и три типичных задачи.

Определение

Квадратичная функция — функция вида:

$y = ax^2 + bx + c$

где $a$, $b$, $c$ — числа (параметры), $a \neq 0$. Обязательное условие: $a \neq 0$, иначе уравнение становится линейным.

Числа $a$, $b$, $c$ — параметры:

• $a$ — старший коэффициент (отвечает за направление и «ширину» параболы);
• $b$ — коэффициент при $x$ (вместе с $a$ задаёт положение вершины);
• $c$ — свободный член (точка пересечения с осью $Oy$).

Парабола — график квадратичной функции

График квадратичной функции — парабола. Её ключевые элементы:

1. Вершина — точка, где парабола меняет направление (минимум при $a > 0$, максимум при $a < 0$).
2. Ось симметрии — вертикальная прямая, проходящая через вершину.
3. Ветви — две «крылья» параболы, уходящие в бесконечность.

Направление ветвей

Если $a > 0$. Ветви параболы направлены вверх. Функция имеет минимум в вершине, наибольшего значения нет. Область значений: $E(f) = [y_0;\,+\infty)$, где $y_0$ — $y$-координата вершины.

Если $a < 0$. Ветви направлены вниз. Функция имеет максимум в вершине, наименьшего значения нет. Область значений: $E(f) = (-\infty;\,y_0]$.

Чем больше $|a|$, тем «уже» парабола (круче растут ветви). Чем меньше $|a|$, тем «шире» парабола.

Координаты вершины

Самая важная формула про параболу:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

Это $x$-координата вершины. Чтобы найти $y$-координату, подставляем $x_0$ в исходную функцию:

$y_0 = a x_0^2 + b x_0 + c$

Альтернативная формула (часто быстрее):

$y_0 = -\frac{D}{4a}$

где $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант.

Пример. Найти вершину параболы $y = 2x^2 - 8x + 5$. Здесь $a = 2$, $b = -8$, $c = 5$.

$x_0 = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = 2$

$y_0 = 2 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 5 = 8 - 16 + 5 = -3$

Вершина: $(2;\,-3)$. Поскольку $a = 2 > 0$, ветви вверх, $-3$ — минимум функции.

Корни (нули) функции

Корни — это значения $x$, при которых $y = 0$. Геометрически — точки пересечения параболы с осью $Ox$. Находятся из квадратного уравнения:

$ax^2 + bx + c = 0$

Через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

Подробный разбор формул и теоремы Виета — на странице Квадратные уравнения.

Свойства квадратичной функции

Канонический вид

Любую квадратичную функцию можно переписать в виде:

$y = a(x - x_0)^2 + y_0$

где $(x_0;\,y_0)$ — координаты вершины. Этот вид называется каноническим.

Зачем он нужен. Из канонического вида сразу видно: где вершина, куда смотрят ветви, как парабола сдвинута относительно базовой $y = ax^2$. Это удобно для построения и для задач с параметром.

Как перейти к каноническому виду. Через выделение полного квадрата.

Пример. $y = x^2 - 6x + 11$. Выделим полный квадрат: $x^2 - 6x + 11 = (x^2 - 6x + 9) + 2 = (x - 3)^2 + 2$. Канонический вид: $y = (x - 3)^2 + 2$. Вершина: $(3;\,2)$.

Связь b и c с положением параболы

Параметр $c$. Координата $y$ точки пересечения параболы с осью $Oy$. Если $c > 0$ — пересекает $Oy$ выше начала координат; $c < 0$ — ниже; $c = 0$ — проходит через начало координат.

Знак $b$ (при фиксированном $a$). Через формулу $x_0 = -b/(2a)$:

• если $a > 0$ и $b > 0$ — вершина левее начала координат ($x_0 < 0$);
• если $a > 0$ и $b < 0$ — вершина правее начала координат ($x_0 > 0$);
• $b = 0$ — вершина лежит на оси $Oy$ (парабола симметрична относительно $Oy$).

Это удобно для задач типа «определить знаки $a$, $b$, $c$ по графику».

Применение в задании 11 ЕГЭ профиль

Задание 11 — на наибольшее/наименьшее значение функции. Если по условию получается квадратичная зависимость, действуем так:

1. Записываем функцию.
2. Если $a > 0$ — ищем минимум (значение в вершине). Если $a < 0$ — максимум.
3. Координата вершины: $x_0 = -b/(2a)$. Подставляем — получаем экстремум.

Типовой пример. «Найти наибольшее значение функции $y = -x^2 + 6x - 5$.» $a = -1 < 0$, ветви вниз, ищем максимум. $x_0 = -6/(-2) = 3$. $y_0 = -9 + 18 - 5 = 4$. Ответ: $4$.

Применение в задании 7 ЕГЭ профиль

В задании 7 (производная и первообразная по графику) парабола может быть исходной функцией или первообразной. Полезные факты:

• Производная квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ — линейная: $y' = 2ax + b$.
• Корень производной $2ax + b = 0$ даёт $x_0 = -b/(2a)$ — это абсцисса вершины параболы и точка экстремума.
• Если на графике функции виден экстремум в точке $x_0$, то $f'(x_0) = 0$.

Распространённые ошибки

1. Забыть про знак $a$ при определении ветвей. Часто школьники видят $-x^2$ и пишут «ветви вверх», не учитывая минус. Перед $x^2$ в $y = -x^2 + 6x - 5$ стоит коэффициент $a = -1$, значит ветви вниз.

2. Неправильно искать $y_0$. Подставлять нужно именно $x_0$ в исходную функцию, а не пытаться угадать. Альтернатива — формула $y_0 = -D/(4a)$.

3. Перепутать максимум и минимум. При $a > 0$ — минимум. При $a < 0$ — максимум. Запоминается легко: если ветви вверх, то «дно» — минимум.

4. Считать, что у параболы всегда два корня. Только при $D > 0$. При $D = 0$ — один корень (двойной), при $D < 0$ — нет. Всегда сначала считай $D$.

5. Путать абсциссу вершины с корнем. $x_0 = -b/(2a)$ — это вершина, не корень. Корни (если есть) симметричны относительно $x_0$ и считаются по формуле через $\sqrt{D}$.

Разобранный пример (задание 11 ЕГЭ)

Условие. Найди наименьшее значение функции $y = 3x^2 - 12x + 7$.

Решение. Это квадратичная функция, $a = 3 > 0$, значит ветви вверх и есть минимум.

Абсцисса вершины:

$x_0 = -\frac{-12}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$

Подставим $x_0 = 2$ в функцию:

$y_0 = 3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 + 7 = 12 - 24 + 7 = -5$

Ответ. $-5$.

Проверка через $y_0 = -D/(4a)$: $D = 144 - 84 = 60$. $y_0 = -60/12 = -5$. Совпало.

Что запомнить

• Формула: $y = ax^2 + bx + c$, $a \neq 0$.
• График — парабола.
• $a > 0$ — ветви вверх, минимум; $a < 0$ — ветви вниз, максимум.
• Вершина: $x_0 = -b/(2a)$, $y_0$ — подстановкой.
• Корни через $D = b^2 - 4ac$: $D > 0$ — два, $D = 0$ — один, $D < 0$ — нет.
• Точка пересечения с $Oy$: $(0;\,c)$.
• Канонический вид: $y = a(x - x_0)^2 + y_0$.

Связь с другими темами

• Линейная функция y=kx+b — предшественник по сложности.
• Квадратные уравнения — формулы корней и теорема Виета.
• Экстремумы функции — как ищется экстремум общей функции через производную.
• Область значений функции — как у параболы получается луч $E(f)$.