Квадратичная функция: парабола и её свойства

После линейной функции квадратичная — следующий уровень. Её график — парабола, и за это «не-прямоугольное» поведение её любят на ЕГЭ. Разберём всё, что нужно знать: формулу, вершину, корни, ветви и три типичных задачи.

Главный навык здесь — читать параболу прямо по формуле, не строя её по точкам. Опытный школьник, глядя на $y = ax^2 + bx + c$, сразу видит несколько вещей: куда смотрят ветви (по знаку $a$), где парабола пересекает вертикальную ось (это $c$), и примерно где сидит вершина. Такое «чтение без построения» экономит на экзамене драгоценные минуты и страхует от ошибок черчения. Этому и будем учиться: каждый коэффициент несёт свой смысл, и если понимать их роли, парабола перестаёт быть загадкой.

Определение

Квадратичная функция — функция вида:

$y = ax^2 + bx + c$

где $a$, $b$, $c$ — числа (параметры), $a \neq 0$. Обязательное условие: $a \neq 0$, иначе уравнение становится линейным.

Числа $a$, $b$, $c$ — параметры:

• $a$ — старший коэффициент (отвечает за направление и «ширину» параболы);
• $b$ — коэффициент при $x$ (вместе с $a$ задаёт положение вершины);
• $c$ — свободный член (точка пересечения с осью $Oy$).

Парабола — график квадратичной функции

График квадратичной функции — парабола. Её ключевые элементы:

1. Вершина — точка, где парабола меняет направление (минимум при $a > 0$, максимум при $a < 0$).
2. Ось симметрии — вертикальная прямая, проходящая через вершину.
3. Ветви — две «крылья» параболы, уходящие в бесконечность.

Направление ветвей

Если $a > 0$. Ветви параболы направлены вверх. Функция имеет минимум в вершине, наибольшего значения нет. Область значений: $E(f) = [y_0;\,+\infty)$, где $y_0$ — $y$-координата вершины.

Если $a < 0$. Ветви направлены вниз. Функция имеет максимум в вершине, наименьшего значения нет. Область значений: $E(f) = (-\infty;\,y_0]$.

Чем больше $|a|$, тем «уже» парабола (круче растут ветви). Чем меньше $|a|$, тем «шире» парабола.

Координаты вершины

Самая важная формула про параболу:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

Это $x$-координата вершины. Чтобы найти $y$-координату, подставляем $x_0$ в исходную функцию:

$y_0 = a x_0^2 + b x_0 + c$

Альтернативная формула (часто быстрее):

$y_0 = -\frac{D}{4a}$

где $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант.

Пример. Найти вершину параболы $y = 2x^2 - 8x + 5$. Здесь $a = 2$, $b = -8$, $c = 5$.

$x_0 = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = 2$

$y_0 = 2 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 5 = 8 - 16 + 5 = -3$

Вершина: $(2;\,-3)$. Поскольку $a = 2 > 0$, ветви вверх, $-3$ — минимум функции.

Вершина — самая важная точка параболы, потому что через неё проходит ось симметрии и в ней лежит экстремум. Если ты нашёл вершину и знаешь направление ветвей, ты фактически знаешь о функции главное: где у неё дно или потолок, на каких промежутках она растёт и убывает, и какова её область значений. Поэтому формулу $x_0 = -b/(2a)$ стоит довести до автоматизма, она нужна почти в каждой задаче про параболу.

Корни (нули) функции

Корни — это значения $x$, при которых $y = 0$. Геометрически — точки пересечения параболы с осью $Ox$. Находятся из квадратного уравнения:

$ax^2 + bx + c = 0$

Через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

Подробный разбор формул и теоремы Виета — на странице Квадратные уравнения.

Свойства квадратичной функции

Канонический вид

Любую квадратичную функцию можно переписать в виде:

$y = a(x - x_0)^2 + y_0$

где $(x_0;\,y_0)$ — координаты вершины. Этот вид называется каноническим.

Зачем он нужен. Из канонического вида сразу видно: где вершина, куда смотрят ветви, как парабола сдвинута относительно базовой $y = ax^2$. Это удобно для построения и для задач с параметром.

Канонический вид по сути показывает параболу как результат двух сдвигов базовой кривой. Скобка $(x - x_0)$ говорит, на сколько график сдвинут по горизонтали, а слагаемое $y_0$ — на сколько по вертикали. Поэтому вершину можно прочитать прямо из формулы, без вычислений: достаточно посмотреть на числа в скобке и за скобкой. В задачах 18 с параметром это особенно ценно: канонический вид сразу выдаёт положение вершины, от которого зависит число решений.

Как перейти к каноническому виду. Через выделение полного квадрата.

Пример. $y = x^2 - 6x + 11$. Выделим полный квадрат: $x^2 - 6x + 11 = (x^2 - 6x + 9) + 2 = (x - 3)^2 + 2$. Канонический вид: $y = (x - 3)^2 + 2$. Вершина: $(3;\,2)$.

Связь b и c с положением параболы

Параметр $c$. Координата $y$ точки пересечения параболы с осью $Oy$. Если $c > 0$ — пересекает $Oy$ выше начала координат; $c < 0$ — ниже; $c = 0$ — проходит через начало координат.

Знак $b$ (при фиксированном $a$). Через формулу $x_0 = -b/(2a)$:

• если $a > 0$ и $b > 0$ — вершина левее начала координат ($x_0 < 0$);
• если $a > 0$ и $b < 0$ — вершина правее начала координат ($x_0 > 0$);
• $b = 0$ — вершина лежит на оси $Oy$ (парабола симметрична относительно $Oy$).

Это удобно для задач типа «определить знаки $a$, $b$, $c$ по графику».

Разбирать такие задачи стоит по одному коэффициенту за раз. Сначала смотришь на ветви и определяешь знак $a$. Потом на точку пересечения с осью $Oy$ и определяешь знак $c$. И только в конце, зная $a$ и положение вершины относительно оси $Oy$, выводишь знак $b$ через формулу $x_0 = -b/(2a)$. Если идти в таком порядке, три знака восстанавливаются без путаницы, и ни один не приходится угадывать.

Применение в задании 11 ЕГЭ профиль

Задание 11 — на наибольшее/наименьшее значение функции. Если по условию получается квадратичная зависимость, действуем так:

1. Записываем функцию.
2. Если $a > 0$ — ищем минимум (значение в вершине). Если $a < 0$ — максимум.
3. Координата вершины: $x_0 = -b/(2a)$. Подставляем — получаем экстремум.

Типовой пример. «Найти наибольшее значение функции $y = -x^2 + 6x - 5$.» $a = -1 < 0$, ветви вниз, ищем максимум. $x_0 = -6/(-2) = 3$. $y_0 = -9 + 18 - 5 = 4$. Ответ: $4$.

Применение в задании 7 ЕГЭ профиль

В задании 7 (производная и первообразная по графику) парабола может быть исходной функцией или первообразной. Полезные факты:

• Производная квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ — линейная: $y' = 2ax + b$.
• Корень производной $2ax + b = 0$ даёт $x_0 = -b/(2a)$ — это абсцисса вершины параболы и точка экстремума.
• Если на графике функции виден экстремум в точке $x_0$, то $f'(x_0) = 0$.

Распространённые ошибки

1. Забыть про знак $a$ при определении ветвей. Часто школьники видят $-x^2$ и пишут «ветви вверх», не учитывая минус. Перед $x^2$ в $y = -x^2 + 6x - 5$ стоит коэффициент $a = -1$, значит ветви вниз.

2. Неправильно искать $y_0$. Подставлять нужно именно $x_0$ в исходную функцию, а не пытаться угадать. Альтернатива — формула $y_0 = -D/(4a)$.

3. Перепутать максимум и минимум. При $a > 0$ — минимум. При $a < 0$ — максимум. Запоминается легко: если ветви вверх, то «дно» — минимум.

4. Считать, что у параболы всегда два корня. Только при $D > 0$. При $D = 0$ — один корень (двойной), при $D < 0$ — нет. Всегда сначала считай $D$.

5. Путать абсциссу вершины с корнем. $x_0 = -b/(2a)$ — это вершина, не корень. Корни (если есть) симметричны относительно $x_0$ и считаются по формуле через $\sqrt{D}$.

Разобранный пример (задание 11 ЕГЭ)

Условие. Найди наименьшее значение функции $y = 3x^2 - 12x + 7$.

Решение. Это квадратичная функция, $a = 3 > 0$, значит ветви вверх и есть минимум.

Абсцисса вершины:

$x_0 = -\frac{-12}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$

Подставим $x_0 = 2$ в функцию:

$y_0 = 3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 + 7 = 12 - 24 + 7 = -5$

Ответ. $-5$.

Проверка через $y_0 = -D/(4a)$: $D = 144 - 84 = 60$. $y_0 = -60/12 = -5$. Совпало.

Разбор примеров

Три примера с нарастающей сложностью. Первый разобран целиком, во втором ты делаешь один шаг сам, в третьем за тобой основной костяк. Так навык чтения параболы крепнет от примера к примеру.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Найди вершину, корни и направление ветвей параболы $y = 2x^2 - 8x + 6$.

Решение. Старший коэффициент $a = 2 > 0$, значит ветви направлены вверх и в вершине будет минимум.

Абсцисса вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

Ордината вершины (подставляем $x_0$ в функцию):

$y_0 = 2 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2$

Вершина в точке $(2;\,-2)$.

Корни ищем через дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 64 - 48 = 16$. Тогда $x = \dfrac{8 \pm 4}{4}$, то есть $x = 3$ и $x = 1$.

Ответ. Парабола ветвями вверх, вершина $(2;\,-2)$, пересекает ось $Ox$ в точках $1$ и $3$.

Типичная ошибка. Подставить $x_0$ в производную, а не в саму функцию, и получить ноль вместо ординаты. Ордината вершины — это значение функции в точке $x_0$, не значение её производной.

Пример 2 (уровень Б, один шаг — сам). Приведи функцию $y = x^2 + 4x + 1$ к каноническому виду через выделение полного квадрата.

Решение. Идея метода: собрать из первых двух слагаемых полный квадрат суммы. Для $x^2 + 4x$ не хватает свободного члена $4$, чтобы получился $(x + 2)^2$. Добавляем и тут же вычитаем эту четвёрку.

Попробуй сам довести преобразование до конца и записать вершину.

Типичная ошибка. Прибавить четвёрку, но забыть её вычесть. Полный квадрат добавляет лишнее слагаемое, и его обязательно нужно компенсировать, иначе функция изменится. Раскрытие скобки в конце — простой способ убедиться, что преобразование сделано верно.

Пример 3 (уровень В, костяк — сам). Найди наибольшее значение функции $y = -x^2 + 4x + 1$.

Решение (skeleton).

Шаг 1. Определи направление ветвей. Посмотри на знак $a$ и реши, есть у функции максимум или минимум.

Шаг 2. Найди абсциссу вершины по формуле $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$.

Шаг 3. Подставь $x_0$ в функцию и получи искомое значение.

Типичная ошибка. Увидеть $-x^2$ и по привычке искать минимум. При $a < 0$ ветви смотрят вниз, у функции есть максимум, а наименьшего значения нет, ведь ветви уходят в минус бесконечность.

Типовые задачи ЕГЭ

Квадратичная функция чаще всего работает в двух заданиях: наибольшее значение в задании 11 и анализ графика в задании 7. Разберём три частых формата.

Тип 1. Наибольшее или наименьшее значение (задание 11). Найди наибольшее значение $y = -x^2 + 6x - 5$. Здесь $a = -1 < 0$, ветви вниз, есть максимум. Абсцисса вершины $x_0 = -\dfrac{6}{-2} = 3$. Значение $y_0 = -9 + 18 - 5 = 4$. Наибольшее значение функции — $4$.

Тип 2. Вершина как точка экстремума (задание 7). Производная квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ равна $y' = 2ax + b$. Её ноль даёт $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ — ровно абсциссу вершины. Поэтому вершина параболы всегда совпадает с точкой экстремума, в которой производная обращается в ноль.

Тип 3. Знаки коэффициентов по графику. Если ветви параболы смотрят вверх, то $a > 0$. Если график пересекает ось $Oy$ выше начала координат, то $c > 0$ (ведь точка пересечения с $Oy$ имеет координату $(0;\,c)$). Если при этом вершина лежит правее оси $Oy$, то $x_0 = -\dfrac{b}{2a} > 0$, а при положительном $a$ это значит $b < 0$.

Что запомнить

• Формула: $y = ax^2 + bx + c$, $a \neq 0$.
• График — парабола.
• $a > 0$ — ветви вверх, минимум; $a < 0$ — ветви вниз, максимум.
• Вершина: $x_0 = -b/(2a)$, $y_0$ — подстановкой.
• Корни через $D = b^2 - 4ac$: $D > 0$ — два, $D = 0$ — один, $D < 0$ — нет.
• Точка пересечения с $Oy$: $(0;\,c)$.
• Канонический вид: $y = a(x - x_0)^2 + y_0$.

Связь с другими темами

• Линейная функция y=kx+b — предшественник по сложности.
• Квадратные уравнения — формулы корней и теорема Виета.
• Экстремумы функции — как ищется экстремум общей функции через производную.
• Область значений функции — как у параболы получается луч $E(f)$.