Куда смотрят ветви параболы?

Если a>0 (старший коэффициент при x²) — ветви вверх, парабола имеет минимум. Если a<0 — ветви вниз, парабола имеет максимум.

Как найти координаты вершины параболы?

x-координата: x₀ = -b/(2a). y-координата: подставить x₀ в саму функцию или использовать формулу y₀ = -D/(4a), где D — дискриминант.

Сколько корней у квадратичной функции?

Зависит от дискриминанта D = b² - 4ac. Если D>0 — два корня, парабола пересекает ось Ox в двух точках. Если D=0 — один корень (вершина касается Ox). Если D<0 — корней нет, парабола не пересекает Ox.

Что такое канонический вид параболы?

y = a(x - x₀)² + y₀, где (x₀; y₀) — координаты вершины. Из него сразу видно, как парабола сдвинута относительно базовой y = ax².

Когда квадратичная функция возрастает, а когда убывает?

При a>0: убывает на (-∞; x₀], возрастает на [x₀; +∞). При a<0 — наоборот: возрастает до x₀, убывает после. x₀ = -b/(2a) — абсцисса вершины.

Квадратичная функция — парабола, вершина, корни и свойства

Q: Как найти координаты вершины параболы?

x-координата: x₀ = -b/(2a). y-координата: подставить x₀ в саму функцию или использовать формулу y₀ = -D/(4a), где D — дискриминант.

Q: Сколько корней у квадратичной функции?

Зависит от дискриминанта D = b² - 4ac. Если D>0 — два корня, парабола пересекает ось Ox в двух точках. Если D=0 — один корень (вершина касается Ox). Если D<0 — корней нет, парабола не пересекает Ox.

Q: Что такое канонический вид параболы?

y = a(x - x₀)² + y₀, где (x₀; y₀) — координаты вершины. Из него сразу видно, как парабола сдвинута относительно базовой y = ax².

Q: Когда квадратичная функция возрастает, а когда убывает?

При a>0: убывает на (-∞; x₀], возрастает на [x₀; +∞). При a<0 — наоборот: возрастает до x₀, убывает после. x₀ = -b/(2a) — абсцисса вершины.

После линейной функции квадратичная — следующий уровень. Её график — парабола, и за это «не-прямоугольное» поведение её любят на ЕГЭ. Разберём всё, что нужно знать: формулу, вершину, корни, ветви и три типичных задачи.

Главный навык здесь — читать параболу прямо по формуле, не строя её по точкам. Опытный школьник, глядя на $y = a x^{2} + b x + c$ , сразу видит несколько вещей: куда смотрят ветви (по знаку $a$ ), где парабола пересекает вертикальную ось (это $c$ ), и примерно где сидит вершина. Такое «чтение без построения» экономит на экзамене драгоценные минуты и страхует от ошибок черчения. Этому и будем учиться: каждый коэффициент несёт свой смысл, и если понимать их роли, парабола перестаёт быть загадкой.

Определение

Квадратичная функция — функция вида:

$y = a x^{2} + b x + c$

где $a$ , $b$ , $c$ — числа (параметры), $a \neq = 0$ . Обязательное условие: $a \neq = 0$ , иначе уравнение становится линейным.

Числа $a$ , $b$ , $c$ — параметры:

$a$ — старший коэффициент (отвечает за направление и «ширину» параболы);
$b$ — коэффициент при $x$ (вместе с $a$ задаёт положение вершины);
$c$ — свободный член (точка пересечения с осью $O y$ ).

Парабола — график квадратичной функции

Парабола y=x²-2x-3: вершина (1;-4), корни x=-1 и x=3, ось симметрии x=1, пересечение с Oy в точке (0;-3)

График квадратичной функции — парабола. Её ключевые элементы:

Вершина — точка, где парабола меняет направление (минимум при $a > 0$ , максимум при $a < 0$ ).
Ось симметрии — вертикальная прямая, проходящая через вершину.
Ветви — две «крылья» параболы, уходящие в бесконечность.

Направление ветвей

Если $a > 0$ . Ветви параболы направлены вверх. Функция имеет минимум в вершине, наибольшего значения нет. Область значений: $E (f) = [y_{0}; + \infty)$ , где $y_{0}$ — $y$ -координата вершины.

Если $a < 0$ . Ветви направлены вниз. Функция имеет максимум в вершине, наименьшего значения нет. Область значений: $E (f) = (- \infty; y_{0}]$ .

Чем больше $∣ a ∣$ , тем «уже» парабола (круче растут ветви). Чем меньше $∣ a ∣$ , тем «шире» парабола.

Координаты вершины

Самая важная формула про параболу:

$x_{0} = - \frac{b}{2 a}$

Это $x$ -координата вершины. Чтобы найти $y$ -координату, подставляем $x_{0}$ в исходную функцию:

$y_{0} = a x_{0}^{2} + b x_{0} + c$

Альтернативная формула (часто быстрее):

$y_{0} = - \frac{D}{4 a}$

где $D = b^{2} - 4 a c$ — дискриминант.

Пример. Найти вершину параболы $y = 2 x^{2} - 8 x + 5$ . Здесь $a = 2$ , $b = - 8$ , $c = 5$ .

$x_{0} = - \frac{- 8}{2 \cdot 2} = 2$

$y_{0} = 2 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 5 = 8 - 16 + 5 = - 3$

Вершина: $(2; - 3)$ . Поскольку $a = 2 > 0$ , ветви вверх, $- 3$ — минимум функции.

Вершина — самая важная точка параболы, потому что через неё проходит ось симметрии и в ней лежит экстремум. Если ты нашёл вершину и знаешь направление ветвей, ты фактически знаешь о функции главное: где у неё дно или потолок, на каких промежутках она растёт и убывает, и какова её область значений. Поэтому формулу $x_{0} = - b / (2 a)$ стоит довести до автоматизма, она нужна почти в каждой задаче про параболу.

Корни (нули) функции

Корни — это значения $x$ , при которых $y = 0$ . Геометрически — точки пересечения параболы с осью $O x$ . Находятся из квадратного уравнения:

$a x^{2} + b x + c = 0$

Через дискриминант $D = b^{2} - 4 a c$ :

$D > 0$	$D = 0$	$D < 0$
два корня	один корень (вершина на $O x$ )	корней нет
$x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a}$	$x_{0} = - \frac{b}{2 a}$	парабола не пересекает $O x$

Подробный разбор формул и теоремы Виета — на странице Квадратные уравнения.

Свойства квадратичной функции

Свойство	Значение
Область определения	$D (f) = R$
Область значений	$[y_{0}; + \infty)$ при $a > 0$ ; $(- \infty; y_{0}]$ при $a < 0$
Чётность	чётная при $b = 0$ (парабола симметрична относительно $O y$ )
Монотонность ( $a > 0$ )	убывает на $(- \infty; x_{0}]$ , возрастает на $[x_{0}; + \infty)$
Монотонность ( $a < 0$ )	возрастает на $(- \infty; x_{0}]$ , убывает на $[x_{0}; + \infty)$
Экстремум	минимум $y_{0}$ в точке $x_{0}$ при $a > 0$ ; максимум $y_{0}$ при $a < 0$
Точка пересечения с $O y$	$(0; c)$

Канонический вид

Любую квадратичную функцию можно переписать в виде:

$y = a (x - x_{0})^{2} + y_{0}$

где $(x_{0}; y_{0})$ — координаты вершины. Этот вид называется каноническим.

Зачем он нужен. Из канонического вида сразу видно: где вершина, куда смотрят ветви, как парабола сдвинута относительно базовой $y = a x^{2}$ . Это удобно для построения и для задач с параметром.

Канонический вид по сути показывает параболу как результат двух сдвигов базовой кривой. Скобка $(x - x_{0})$ говорит, на сколько график сдвинут по горизонтали, а слагаемое $y_{0}$ — на сколько по вертикали. Поэтому вершину можно прочитать прямо из формулы, без вычислений: достаточно посмотреть на числа в скобке и за скобкой. В задачах 18 с параметром это особенно ценно: канонический вид сразу выдаёт положение вершины, от которого зависит число решений.

Как перейти к каноническому виду. Через выделение полного квадрата.

Пример. $y = x^{2} - 6 x + 11$ . Выделим полный квадрат: $x^{2} - 6 x + 11 = (x^{2} - 6 x + 9) + 2 = (x - 3)^{2} + 2$ . Канонический вид: $y = (x - 3)^{2} + 2$ . Вершина: $(3; 2)$ .

Связь b и c с положением параболы

Параметр $c$ . Координата $y$ точки пересечения параболы с осью $O y$ . Если $c > 0$ — пересекает $O y$ выше начала координат; $c < 0$ — ниже; $c = 0$ — проходит через начало координат.

Знак $b$ (при фиксированном $a$ ). Через формулу $x_{0} = - b / (2 a)$ :

если $a > 0$ и $b > 0$ — вершина левее начала координат ( $x_{0} < 0$ );
если $a > 0$ и $b < 0$ — вершина правее начала координат ( $x_{0} > 0$ );
$b = 0$ — вершина лежит на оси $O y$ (парабола симметрична относительно $O y$ ).

Это удобно для задач типа «определить знаки $a$ , $b$ , $c$ по графику».

Разбирать такие задачи стоит по одному коэффициенту за раз. Сначала смотришь на ветви и определяешь знак $a$ . Потом на точку пересечения с осью $O y$ и определяешь знак $c$ . И только в конце, зная $a$ и положение вершины относительно оси $O y$ , выводишь знак $b$ через формулу $x_{0} = - b / (2 a)$ . Если идти в таком порядке, три знака восстанавливаются без путаницы, и ни один не приходится угадывать.

Применение в задании 11 ЕГЭ профиль

Задание 11 — на наибольшее/наименьшее значение функции. Если по условию получается квадратичная зависимость, действуем так:

Записываем функцию.
Если $a > 0$ — ищем минимум (значение в вершине). Если $a < 0$ — максимум.
Координата вершины: $x_{0} = - b / (2 a)$ . Подставляем — получаем экстремум.

Типовой пример. «Найти наибольшее значение функции $y = - x^{2} + 6 x - 5$ .» $a = - 1 < 0$ , ветви вниз, ищем максимум. $x_{0} = - 6/ (- 2) = 3$ . $y_{0} = - 9 + 18 - 5 = 4$ . Ответ: $4$ .

Применение в задании 7 ЕГЭ профиль

В задании 7 (производная и первообразная по графику) парабола может быть исходной функцией или первообразной. Полезные факты:

Производная квадратичной функции $y = a x^{2} + b x + c$ — линейная: $y^{'} = 2 a x + b$ .
Корень производной $2 a x + b = 0$ даёт $x_{0} = - b / (2 a)$ — это абсцисса вершины параболы и точка экстремума.
Если на графике функции виден экстремум в точке $x_{0}$ , то $f^{'} (x_{0}) = 0$ .

Распространённые ошибки

1. Забыть про знак $a$ при определении ветвей. Часто школьники видят $- x^{2}$ и пишут «ветви вверх», не учитывая минус. Перед $x^{2}$ в $y = - x^{2} + 6 x - 5$ стоит коэффициент $a = - 1$ , значит ветви вниз.

2. Неправильно искать $y_{0}$ . Подставлять нужно именно $x_{0}$ в исходную функцию, а не пытаться угадать. Альтернатива — формула $y_{0} = - D / (4 a)$ .

3. Перепутать максимум и минимум. При $a > 0$ — минимум. При $a < 0$ — максимум. Запоминается легко: если ветви вверх, то «дно» — минимум.

4. Считать, что у параболы всегда два корня. Только при $D > 0$ . При $D = 0$ — один корень (двойной), при $D < 0$ — нет. Всегда сначала считай $D$ .

5. Путать абсциссу вершины с корнем. $x_{0} = - b / (2 a)$ — это вершина, не корень. Корни (если есть) симметричны относительно $x_{0}$ и считаются по формуле через $D$ .

Разобранный пример (задание 11 ЕГЭ)

Условие. Найди наименьшее значение функции $y = 3 x^{2} - 12 x + 7$ .

Решение. Это квадратичная функция, $a = 3 > 0$ , значит ветви вверх и есть минимум.

Абсцисса вершины:

$x_{0} = - \frac{- 12}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$

Подставим $x_{0} = 2$ в функцию:

$y_{0} = 3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 + 7 = 12 - 24 + 7 = - 5$

Ответ. $- 5$ .

Проверка через $y_{0} = - D / (4 a)$ : $D = 144 - 84 = 60$ . $y_{0} = - 60/12 = - 5$ . Совпало.

Разбор примеров

Три примера с нарастающей сложностью. Первый разобран целиком, во втором ты делаешь один шаг сам, в третьем за тобой основной костяк. Так навык чтения параболы крепнет от примера к примеру.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Найди вершину, корни и направление ветвей параболы $y = 2 x^{2} - 8 x + 6$ .

Решение. Старший коэффициент $a = 2 > 0$ , значит ветви направлены вверх и в вершине будет минимум.

Абсцисса вершины:

$x_{0} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

Ордината вершины (подставляем $x_{0}$ в функцию):

$y_{0} = 2 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 6 = 8 - 16 + 6 = - 2$

Вершина в точке $(2; - 2)$ .

Корни ищем через дискриминант: $D = (- 8)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 64 - 48 = 16$ . Тогда $x = \frac{8 \pm 4}{4}$ , то есть $x = 3$ и $x = 1$ .

Ответ. Парабола ветвями вверх, вершина $(2; - 2)$ , пересекает ось $O x$ в точках $1$ и $3$ .

Типичная ошибка. Подставить $x_{0}$ в производную, а не в саму функцию, и получить ноль вместо ординаты. Ордината вершины — это значение функции в точке $x_{0}$ , не значение её производной.

Пример 2 (уровень Б, один шаг — сам). Приведи функцию $y = x^{2} + 4 x + 1$ к каноническому виду через выделение полного квадрата.

Решение. Идея метода: собрать из первых двух слагаемых полный квадрат суммы. Для $x^{2} + 4 x$ не хватает свободного члена $4$ , чтобы получился $(x + 2)^{2}$ . Добавляем и тут же вычитаем эту четвёрку.

Попробуй сам довести преобразование до конца и записать вершину.

Типичная ошибка. Прибавить четвёрку, но забыть её вычесть. Полный квадрат добавляет лишнее слагаемое, и его обязательно нужно компенсировать, иначе функция изменится. Раскрытие скобки в конце — простой способ убедиться, что преобразование сделано верно.

Пример 3 (уровень В, костяк — сам). Найди наибольшее значение функции $y = - x^{2} + 4 x + 1$ .

Решение (skeleton).

Шаг 1. Определи направление ветвей. Посмотри на знак $a$ и реши, есть у функции максимум или минимум.

Шаг 2. Найди абсциссу вершины по формуле $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ .

Шаг 3. Подставь $x_{0}$ в функцию и получи искомое значение.

Типичная ошибка. Увидеть $- x^{2}$ и по привычке искать минимум. При $a < 0$ ветви смотрят вниз, у функции есть максимум, а наименьшего значения нет, ведь ветви уходят в минус бесконечность.

Типовые задачи ЕГЭ

Квадратичная функция чаще всего работает в двух заданиях: наибольшее значение в задании 11 и анализ графика в задании 7. Разберём три частых формата.

Тип 1. Наибольшее или наименьшее значение (задание 11). Найди наибольшее значение $y = - x^{2} + 6 x - 5$ . Здесь $a = - 1 < 0$ , ветви вниз, есть максимум. Абсцисса вершины $x_{0} = - \frac{6}{- 2} = 3$ . Значение $y_{0} = - 9 + 18 - 5 = 4$ . Наибольшее значение функции — $4$ .

Тип 2. Вершина как точка экстремума (задание 7). Производная квадратичной функции $y = a x^{2} + b x + c$ равна $y^{'} = 2 a x + b$ . Её ноль даёт $x_{0} = - \frac{b}{2 a}$ — ровно абсциссу вершины. Поэтому вершина параболы всегда совпадает с точкой экстремума, в которой производная обращается в ноль.

Тип 3. Знаки коэффициентов по графику. Если ветви параболы смотрят вверх, то $a > 0$ . Если график пересекает ось $O y$ выше начала координат, то $c > 0$ (ведь точка пересечения с $O y$ имеет координату $(0; c)$ ). Если при этом вершина лежит правее оси $O y$ , то $x_{0} = - \frac{b}{2 a} > 0$ , а при положительном $a$ это значит $b < 0$ .

Что запомнить

Формула: $y = a x^{2} + b x + c$ , $a \neq = 0$ .
График — парабола.
$a > 0$ — ветви вверх, минимум; $a < 0$ — ветви вниз, максимум.
Вершина: $x_{0} = - b / (2 a)$ , $y_{0}$ — подстановкой.
Корни через $D = b^{2} - 4 a c$ : $D > 0$ — два, $D = 0$ — один, $D < 0$ — нет.
Точка пересечения с $O y$ : $(0; c)$ .
Канонический вид: $y = a (x - x_{0})^{2} + y_{0}$ .

Связь с другими темами

Линейная функция y=kx+b — предшественник по сложности.
Квадратные уравнения — формулы корней и теорема Виета.
Экстремумы функции — как ищется экстремум общей функции через производную.
Область значений функции — как у параболы получается луч $E (f)$ .

Прокачай задачу 11

15 минут диагностики покажут, насколько ты уверенно работаешь с квадратичной функцией. Дальше — точечная тренировка.

Попробовать бесплатно

Квадратичная функция: парабола и её свойства