Функция корня y=√x: график и свойства

Функция корня — простая по виду, но с одной особенностью: ограниченная область определения. Это важно, потому что в выражениях типа $\sqrt{f(x)}$ всегда нужно следить, чтобы подкоренное было неотрицательным.

Определение

Функция квадратного корня — функция вида:

$y = \sqrt{x}$

Под $\sqrt{x}$ понимается арифметический квадратный корень: неотрицательное число $y$, для которого $y^2 = x$.

Из этого следует:

• $x \geq 0$ (под корнем не может быть отрицательное);
• $y \geq 0$ (арифметический корень неотрицателен).

График функции корня

График — кривая, начинающаяся в точке $(0;\,0)$ и уходящая вправо вверх. Имеет вид «полупараболы»: если повернуть график квадратичной функции $y = x^2$ на 90° по часовой стрелке и взять верхнюю половину, получится $y = \sqrt{x}$.

Контрольные точки: $(0;\,0)$, $(1;\,1)$, $(4;\,2)$, $(9;\,3)$, $(16;\,4)$.

Растёт монотонно, но медленно: чтобы значение увеличилось в 2 раза, аргумент должен увеличиться в 4 раза.

Свойства функции y = √x

Связь с квадратичной функцией

Если рассмотреть $y = x^2$ только при $x \geq 0$ (правую ветвь параболы), то функция $y = \sqrt{x}$ — её обратная. Это значит:

$y = \sqrt{x} \quad \Leftrightarrow \quad x = y^2 \text{ при } y \geq 0$

Графики симметричны относительно прямой $y = x$. Это даёт быстрый способ нарисовать $y = \sqrt{x}$: рисуешь $y = x^2$ при $x \geq 0$ и отражаешь относительно $y = x$.

Расширение: корень n-й степени

Кроме квадратного корня, есть кубический $y = \sqrt[3]{x}$ и общий $y = \sqrt[n]{x}$. У них разные области определения:

• Чётный $n$ ($\sqrt[2]{x}$, $\sqrt[4]{x}$): $x \geq 0$, как у квадратного корня.
• Нечётный $n$ ($\sqrt[3]{x}$, $\sqrt[5]{x}$): $x \in \mathbb{R}$, любое значение.

Кубический корень определён даже для отрицательных: $\sqrt[3]{-8} = -2$. Поэтому $y = \sqrt[3]{x}$ — нечётная функция, симметричная относительно начала координат.

Применение в задаче 11 ЕГЭ

Задача типа: «найти наименьшее значение функции $y = \sqrt{x^2 + 4x + 13}$.»

Так как $\sqrt{}$ возрастает, минимум функции достигается в той же точке, где минимум подкоренного выражения $x^2 + 4x + 13$. Это парабола ветвями вверх, минимум в вершине $x_0 = -2$. Значение: $4 - 8 + 13 = 9$. Тогда $y = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: $3$.

Это типичный приём: внешняя функция монотонна → ищем экстремум внутренней.

Применение в задаче 7 ЕГЭ

Производная: $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$. При $x = 0$ производная не существует (касательная вертикальная). При $x \to +\infty$ производная стремится к нулю — рост замедляется.

Распространённые ошибки

1. Забыть про ОДЗ. В выражении $\sqrt{f(x)}$ нужно $f(x) \geq 0$. При решении уравнения $\sqrt{x - 1} = x - 3$ нужно: $x - 1 \geq 0$, и кроме того, $x - 3 \geq 0$ (правая часть тоже неотрицательна, потому что левая такая). Иначе появятся посторонние корни.

2. Думать, что $\sqrt{x^2} = x$. Это не так. $\sqrt{x^2} = |x|$. Если $x = -3$, то $\sqrt{9} = 3 = |-3|$, не $-3$. Это очень частая ошибка в задаче 12.

3. Вычислять $\sqrt{a^2 + b^2}$ как $a + b$. Корень не «раскрывается» по слагаемым. $\sqrt{a^2 + b^2} \neq a + b$ в общем случае. Только $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ при $a, b \geq 0$.

4. Считать, что у $\sqrt{}$ может быть отрицательное значение. Арифметический корень всегда $\geq 0$. Если в задаче «найти $x$ из $x^2 = 4$», то $x = \pm 2$ (это уравнение даёт два корня). Но $\sqrt{4}$ — это конкретное число $2$, не $\pm 2$.

5. Распространять свойства корня на чётные степени. $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$ работает только при $x, y \geq 0$. Иначе появляются комплексные числа: $\sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{1} = 1$, но $\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = -1$ (формально).

Разобранный пример

Условие. Реши уравнение $\sqrt{2x + 7} = x - 1$.

Решение. Условия:

• $2x + 7 \geq 0$, то есть $x \geq -3{,}5$ (ОДЗ корня);
• $x - 1 \geq 0$, то есть $x \geq 1$ (правая часть неотрицательна).

Возведём обе части в квадрат:

$2x + 7 = (x - 1)^2$ $2x + 7 = x^2 - 2x + 1$ $x^2 - 4x - 6 = 0$ $D = 16 + 24 = 40, \quad x_{1,2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 2 \pm \sqrt{10}$

$\sqrt{10} \approx 3{,}16$. $x_1 = 2 + \sqrt{10} \approx 5{,}16$ — подходит ($\geq 1$). $x_2 = 2 - \sqrt{10} \approx -1{,}16$ — не подходит.

Ответ. $x = 2 + \sqrt{10}$.

Что запомнить

• Формула: $y = \sqrt{x}$, $x \geq 0$, $y \geq 0$.
• $D(f) = E(f) = [0;\,+\infty)$.
• Возрастает.
• Контрольные точки: $(0;0), (1;1), (4;2), (9;3), (16;4)$.
• Обратная к правой ветви $y = x^2$.
• $\sqrt{x^2} = |x|$, не $x$.
• В уравнениях с корнем — всегда условие $\sqrt{} \geq 0$ для правой части.

Связь с другими темами

• Квадратичная функция — обратная связь.
• Свойства корней — техника работы.
• Иррациональные уравнения — уравнения с корнем.
• Область определения — корень даёт типичное ограничение D(f).