Функция корня y=√x: график и свойства

Функция корня — простая по виду, но с одной особенностью: ограниченная область определения. Это важно, потому что в выражениях типа $\sqrt{f(x)}$ всегда нужно следить, чтобы подкоренное было неотрицательным.

Почему это вообще важно отдельно разбирать? Потому что корень — первая школьная функция, которая «не разрешена везде». Линейную и квадратичную можно считать при любом $x$, а корень капризничает: дай ему отрицательное число под знаком — и значения просто нет. Из-за этого вокруг корня крутится целый класс задач на область определения и на отбор лишних корней. Если ты освоишь привычку всегда проверять подкоренное выражение, ты закроешь сразу несколько типичных потерь балла на ЕГЭ.

И ещё одна вещь, которую полезно держать в голове с самого начала: арифметический квадратный корень — это всегда неотрицательное число. Не «плюс-минус», а именно одно неотрицательное значение. Знак $\pm$ появляется только когда ты решаешь уравнение вида $x^2 = a$, а сам по себе $\sqrt{a}$ — конкретное неотрицательное число. Это различие кажется мелочью, но именно на нём строится половина ошибок в работе с корнями.

Определение

Функция квадратного корня — функция вида:

$y = \sqrt{x}$

Под $\sqrt{x}$ понимается арифметический квадратный корень: неотрицательное число $y$, для которого $y^2 = x$.

Из этого следует:

• $x \geq 0$ (под корнем не может быть отрицательное);
• $y \geq 0$ (арифметический корень неотрицателен).

График функции корня

График — кривая, начинающаяся в точке $(0;\,0)$ и уходящая вправо вверх. Имеет вид «полупараболы»: если повернуть график квадратичной функции $y = x^2$ на 90° по часовой стрелке и взять верхнюю половину, получится $y = \sqrt{x}$.

Контрольные точки: $(0;\,0)$, $(1;\,1)$, $(4;\,2)$, $(9;\,3)$, $(16;\,4)$.

Растёт монотонно, но медленно: чтобы значение увеличилось в 2 раза, аргумент должен увеличиться в 4 раза.

Свойства функции y = √x

Связь с квадратичной функцией

Понимать эту связь полезно, потому что она экономит силы: если ты помнишь, как выглядит парабола, ты автоматически знаешь, как выглядит корень. Возведение в квадрат и извлечение корня — операции, которые «отменяют» друг друга, но с оговоркой про знак. Именно из-за этой оговорки берут только правую ветвь параболы.

Логика такая. Парабола $y = x^2$ целиком — не обратимая функция: одному значению $y$ соответствуют сразу два значения $x$ (плюс и минус). Чтобы получить честную обратную функцию, нужно отрезать одну ветвь. Берут правую, где $x \geq 0$, — и тогда каждому $y$ соответствует ровно один $x$. Эта «половинка параболы», отражённая относительно прямой $y = x$, и есть график корня. Поэтому область значений корня — только неотрицательные числа: мы ведь отрезали отрицательную ветвь.

Если рассмотреть $y = x^2$ только при $x \geq 0$ (правую ветвь параболы), то функция $y = \sqrt{x}$ — её обратная. Это значит:

$y = \sqrt{x} \quad \Leftrightarrow \quad x = y^2 \text{ при } y \geq 0$

Графики симметричны относительно прямой $y = x$. Это даёт быстрый способ нарисовать $y = \sqrt{x}$: рисуешь $y = x^2$ при $x \geq 0$ и отражаешь относительно $y = x$.

Расширение: корень n-й степени

Кроме квадратного корня, есть кубический $y = \sqrt[3]{x}$ и общий $y = \sqrt[n]{x}$. У них разные области определения:

• Чётный $n$ ($\sqrt[2]{x}$, $\sqrt[4]{x}$): $x \geq 0$, как у квадратного корня.
• Нечётный $n$ ($\sqrt[3]{x}$, $\sqrt[5]{x}$): $x \in \mathbb{R}$, любое значение.

Кубический корень определён даже для отрицательных: $\sqrt[3]{-8} = -2$. Поэтому $y = \sqrt[3]{x}$ — нечётная функция, симметричная относительно начала координат.

Разница между чётным и нечётным корнем сводится к одной мысли. Чётная степень всегда стирает знак: и плюс, и минус в чётной степени дают плюс. Поэтому, чтобы «откатить» чётную степень корнем, под корнем обязано быть неотрицательное число — отрицательных результатов чётная степень просто не производит. А нечётная степень знак сохраняет: куб отрицательного числа отрицателен. Значит, нечётный корень спокойно работает с любыми числами, и его область определения — вся числовая прямая.

На практике это означает простое правило для ЕГЭ. Увидел квадратный или четвёртый корень — сразу ищи ограничение, подкоренное должно быть неотрицательным. Увидел кубический или пятый — ограничения нет, можешь не выписывать лишнее условие. Эта развилка экономит время и не даёт случайно сузить или расширить область определения.

Применение в задаче 11 ЕГЭ

Задача типа: «найти наименьшее значение функции $y = \sqrt{x^2 + 4x + 13}$.»

Так как $\sqrt{}$ возрастает, минимум функции достигается в той же точке, где минимум подкоренного выражения $x^2 + 4x + 13$. Это парабола ветвями вверх, минимум в вершине $x_0 = -2$. Значение: $4 - 8 + 13 = 9$. Тогда $y = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: $3$.

Это типичный приём: внешняя функция монотонна → ищем экстремум внутренней.

Применение в задаче 7 ЕГЭ

Производная: $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$. При $x = 0$ производная не существует (касательная вертикальная). При $x \to +\infty$ производная стремится к нулю — рост замедляется.

Как понять скорость роста корня

У функции корня есть характерная черта: она растёт, но всё медленнее. На старте, около нуля, график идёт почти вертикально вверх — крутой подъём. А потом постепенно «ложится», становится всё более пологим. Это противоположность параболе $y = x^2$, которая в начале идёт полого, а потом круто взлетает.

Объясняется это просто. Чтобы значение корня выросло вдвое, аргумент должен вырасти вчетверо: $\sqrt{1} = 1$, а чтобы получить $2$, нужно дойти до $x = 4$; чтобы получить $3$ — до $x = 9$. Расстояние между «целыми» значениями функции всё время увеличивается, и кривая всё более полого тянется вправо. Эту картинку полезно держать в голове: она помогает на глаз отличать график корня от логарифма (логарифм тоже растёт медленно, но уходит в минус-бесконечность у оси $Oy$, а корень начинается ровно в нуле).

Понимание скорости роста пригодится и в задачах на сравнение. Когда нужно понять, что больше — $\sqrt{x}$ или сам $x$, — вспомни: на отрезке от нуля до единицы корень больше аргумента, а после единицы — наоборот, аргумент обгоняет корень. Точка пересечения графиков $y = \sqrt{x}$ и $y = x$ — это $x = 1$ (и ещё $x = 0$).

Разбор примеров

Три примера с нарастающей сложностью: в первом всё показано, во втором один шаг за тобой, в третьем — почти весь разбор сам.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Найди область определения функции $y = \sqrt{7 - 2x}$.

Решение. Под чётным корнем должно стоять неотрицательное выражение, поэтому требуем $7 - 2x \geq 0$.

Решаем это неравенство: $-2x \geq -7$, делим на $-2$ и переворачиваем знак (делили на отрицательное), получаем $x \leq 3{,}5$.

Значит, $D(f) = (-\infty;\,3{,}5]$.

Типичная ошибка. Забыть перевернуть знак неравенства при делении на отрицательное число и записать $x \geq 3{,}5$ — ровно наоборот.

Пример 2 (уровень Б, один шаг — сам). Найди наименьшее значение функции $y = \sqrt{x^2 - 6x + 13}$.

Решение. Корень — возрастающая функция, поэтому наименьшее значение всей функции будет там же, где наименьшее значение подкоренного выражения. Осталось найти минимум выражения $x^2 - 6x + 13$.

Попробуй сам: это парабола ветвями вверх, найди её вершину и значение в ней.

Типичная ошибка. Искать минимум самого корня «в лоб» через сложную производную, хотя достаточно вспомнить, что внешняя функция монотонна.

Пример 3 (уровень В, костяк — сам). Реши уравнение $\sqrt{x + 6} = x$.

Решение (skeleton).

Шаг 1. Выпиши ОДЗ: подкоренное $x + 6 \geq 0$ и правая часть $x \geq 0$ (она равна корню, значит неотрицательна). Объедини оба условия сам.

Шаг 2. Возведи в квадрат: получишь квадратное уравнение относительно $x$. Реши его.

Шаг 3. Отбери корни по ОДЗ: проверь каждый найденный корень — попадает ли он в допустимое множество.

Типичная ошибка. Не проверить корни по ОДЗ и записать в ответ оба, включая посторонний $x = -2$.

Типовые задачи ЕГЭ

Тип 1 (задание 7). Производная функции с корнем. Часто просят оценить поведение касательной. Помни: у $\sqrt{x}$ при $x = 0$ касательная вертикальна (производная стремится к бесконечности), а с ростом $x$ наклон касательной уменьшается. Это видно из формулы производной — знаменатель растёт, дробь убывает.

Тип 2 (задание 11). Наибольшее или наименьшее значение. Главный приём: если корень «обнимает» какое-то выражение, ищи экстремум этого выражения, а корень как монотонная функция перенесёт экстремум без изменений. Минимум подкоренного даёт минимум всей функции, максимум — максимум.

Тип 3 (иррациональные уравнения). Уравнение с корнем. Алгоритм всегда один: ОДЗ, возведение в квадрат, отбор корней. Пропуск любого из трёх шагов — потерянный балл. Особенно коварен отбор: после возведения в квадрат почти всегда появляются лишние решения.

Распространённые ошибки

1. Забыть про ОДЗ. В выражении $\sqrt{f(x)}$ нужно $f(x) \geq 0$. При решении уравнения $\sqrt{x - 1} = x - 3$ нужно: $x - 1 \geq 0$, и кроме того, $x - 3 \geq 0$ (правая часть тоже неотрицательна, потому что левая такая). Иначе появятся посторонние корни.

2. Думать, что $\sqrt{x^2} = x$. Это не так. $\sqrt{x^2} = |x|$. Если $x = -3$, то $\sqrt{9} = 3 = |-3|$, не $-3$. Это очень частая ошибка в задаче 12.

3. Вычислять $\sqrt{a^2 + b^2}$ как $a + b$. Корень не «раскрывается» по слагаемым. $\sqrt{a^2 + b^2} \neq a + b$ в общем случае. Только $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ при $a, b \geq 0$.

4. Считать, что у $\sqrt{}$ может быть отрицательное значение. Арифметический корень всегда $\geq 0$. Если в задаче «найти $x$ из $x^2 = 4$», то $x = \pm 2$ (это уравнение даёт два корня). Но $\sqrt{4}$ — это конкретное число $2$, не $\pm 2$.

5. Распространять свойства корня на чётные степени. $\sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}$ работает только при $x, y \geq 0$. Иначе появляются комплексные числа: $\sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{1} = 1$, но $\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = -1$ (формально).

Разобранный пример

Условие. Реши уравнение $\sqrt{2x + 7} = x - 1$.

Решение. Условия:

• $2x + 7 \geq 0$, то есть $x \geq -3{,}5$ (ОДЗ корня);
• $x - 1 \geq 0$, то есть $x \geq 1$ (правая часть неотрицательна).

Возведём обе части в квадрат:

$2x + 7 = (x - 1)^2$ $2x + 7 = x^2 - 2x + 1$ $x^2 - 4x - 6 = 0$ $D = 16 + 24 = 40, \quad x_{1,2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{10}}{2} = 2 \pm \sqrt{10}$

$\sqrt{10} \approx 3{,}16$. $x_1 = 2 + \sqrt{10} \approx 5{,}16$ — подходит ($\geq 1$). $x_2 = 2 - \sqrt{10} \approx -1{,}16$ — не подходит.

Ответ. $x = 2 + \sqrt{10}$.

Почему корень даёт столько ошибок на экзамене

Корень — функция, которая чаще других прячет подводные камни, и эксперты ЕГЭ это знают. Поэтому задачи с корнем специально строят так, чтобы поймать на типовых промахах. Стоит понимать, где именно расставлены ловушки, чтобы заранее их обходить.

Первая ловушка — посторонние корни при возведении в квадрат. Когда ты возводишь обе части уравнения в квадрат, ты как бы «теряешь информацию о знаке». Уравнение $\sqrt{a} = b$ требует, чтобы $b$ было неотрицательным, а после возведения в квадрат это требование исчезает из записи. Поэтому среди формально полученных корней могут оказаться такие, при которых правая часть была отрицательной — их нужно отбросить. Привычка возвращаться к исходному уравнению и подставлять корни спасает каждый раз.

Вторая ловушка — формула $\sqrt{x^2} = |x|$. Многие пишут $\sqrt{x^2} = x$ и теряют балл, особенно когда под корнем стоит выражение, которое может быть отрицательным. Правильная запись — через модуль, и раскрывать модуль нужно с учётом знака подкоренного.

Третья ловушка — арифметика самого корня. Корень не «разбивается» по сумме: $\sqrt{a + b}$ нельзя заменить на $\sqrt{a} + \sqrt{b}$. По произведению — можно, но только для неотрицательных множителей. Эти правила выглядят очевидными в теории, но в спешке на экзамене легко применить их не туда.

Что запомнить

• Формула: $y = \sqrt{x}$, $x \geq 0$, $y \geq 0$.
• $D(f) = E(f) = [0;\,+\infty)$.
• Возрастает.
• Контрольные точки: $(0;0), (1;1), (4;2), (9;3), (16;4)$.
• Обратная к правой ветви $y = x^2$.
• $\sqrt{x^2} = |x|$, не $x$.
• В уравнениях с корнем — всегда условие $\sqrt{} \geq 0$ для правой части.

Связь с другими темами

• Квадратичная функция — обратная связь.
• Свойства корней — техника работы.
• Иррациональные уравнения — уравнения с корнем.
• Область определения — корень даёт типичное ограничение D(f).