Логарифмическая функция y=log_a(x)

Логарифмическая функция — пара к показательной. Если показательная отвечает на вопрос «во сколько раз увеличится $a^x$, если мы прибавим 1 к $x$», логарифмическая отвечает обратное: «в какую степень нужно возвести $a$, чтобы получить заданное число».

Эта идея «обратного вопроса» — ключ ко всей теме. Показательная функция превращает показатель степени в число: дай ей степень, она вернёт результат возведения. Логарифм идёт в обратную сторону: дай ему результат, он вернёт степень, в которую надо было возвести основание. Поэтому всё, что ты знаешь про показательную функцию, можно «отзеркалить» и получить факты про логарифмическую. Не нужно учить две независимые теории — достаточно понять одну и научиться переворачивать её.

Из этой зеркальности сразу следуют главные свойства. Раз показательная функция принимает только положительные значения, то логарифм определён только для положительных аргументов — нельзя спросить «в какую степень возвести двойку, чтобы получить минус три», потому что двойка в любой степени положительна. Раз показательная функция всегда даёт ненулевой результат, логарифм нуля не существует. Эти ограничения не выдуманы — они прямо вытекают из определения через обратную функцию.

Определение

Логарифмическая функция — функция вида:

$y = \log_a x$

где $a > 0$, $a \neq 1$, $x > 0$. Здесь $a$ — основание логарифма, $x$ — аргумент.

По определению, $\log_a x$ — это число $y$, для которого $a^y = x$. То есть:

$y = \log_a x \quad \Leftrightarrow \quad a^y = x$

Эта запись — ключ ко всем свойствам логарифма.

Связь с показательной функцией

Логарифмическая и показательная функции — взаимно обратные.

• $y = a^x$ принимает $x$ из $\mathbb{R}$ и даёт $y \in (0;\,+\infty)$.
• $y = \log_a x$ принимает $x$ из $(0;\,+\infty)$ и даёт $y \in \mathbb{R}$.

Графики симметричны относительно прямой $y = x$. Если ты уже знаешь, как выглядит $y = 2^x$, отрази его относительно $y = x$ — получишь $y = \log_2 x$. Эта симметрия — не случайное совпадение, а общее свойство любых взаимно обратных функций: их графики всегда зеркальны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. Поэтому, запомнив одну функцию, ты бесплатно получаешь вторую — достаточно мысленно отразить картинку по диагонали.

График логарифмической функции

Случай 1: $a > 1$. График проходит через $(1;\,0)$, $(a;\,1)$, $(1/a;\,-1)$. Возрастает на всей области определения. При $x \to 0^+$ график уходит в $-\infty$ (вертикальная асимптота $x = 0$).

Случай 2: $0 < a < 1$. Та же точка пересечения $(1;\,0)$, но функция убывает. При $x \to 0^+$ график уходит в $+\infty$.

В обоих случаях:

• График лежит правее оси $Oy$.
• Проходит через $(1;\,0)$.
• Имеет вертикальную асимптоту $x = 0$.

Свойства

Свойства логарифмов

Минимальный набор для ЕГЭ:

$\log_a 1 = 0 \qquad \log_a a = 1$

$\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$

$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$

$\log_a x^n = n \log_a x$

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \quad \text{(переход к новому основанию)}$

$a^{\log_a x} = x \quad \text{(основное логарифмическое тождество)}$

Подробный разбор — на странице Свойства логарифмов.

Как читать график логарифма

График логарифмической функции узнаётся по нескольким приметам, и полезно научиться видеть их сразу. Во-первых, кривая всегда лежит правее оси $Oy$ — ведь аргумент положителен, отрицательных $x$ у логарифма не бывает. Во-вторых, она обязательно проходит через точку $(1;\,0)$: логарифм единицы равен нулю при любом основании, потому что в нулевую степень всё даёт единицу. Эта точка — надёжный ориентир: видишь кривую, проходящую через $(1;\,0)$ и прижимающуюся к вертикальной оси, — перед тобой логарифм.

В-третьих, у логарифма есть вертикальная асимптота — сама ось $Oy$, прямая $x = 0$. График подходит к ней сколь угодно близко, но никогда не пересекает: при приближении аргумента к нулю значения логарифма уходят в бесконечность (вниз при основании больше единицы, вверх при основании меньше единицы). Понимание асимптоты помогает не перепутать логарифм с корнем: у корня график начинается в конкретной точке на оси, а у логарифма он бесконечно тянется вдоль вертикальной асимптоты.

Направление кривой подсказывает основание. Если график поднимается слева направо — основание больше единицы, функция возрастает. Если опускается — основание между нулём и единицей, функция убывает. Эта связь между внешним видом графика и значением основания — частый сюжет задания 7, где по картинке нужно сделать вывод о функции.

Натуральный и десятичный логарифмы

Натуральный логарифм — логарифм по основанию $e \approx 2{,}718$. Обозначение: $\ln x = \log_e x$.

Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10. Обозначение: $\lg x = \log_{10} x$.

Натуральный встречается чаще в производных и интегралах. Десятичный — в физических задачах (pH, децибелы).

Почему именно эти два логарифма получили собственные обозначения? Потому что они появляются в задачах чаще остальных, и писать каждый раз основание было бы громоздко. Натуральный логарифм связан с числом $e$, которое естественно возникает в задачах на непрерывный рост и в исчислении: производная натурального логарифма устроена особенно просто, поэтому он удобен для анализа. Десятичный привязан к нашей десятичной системе счисления, и он удобен там, где работают с порядками величин — каждая единица десятичного логарифма соответствует увеличению числа в десять раз.

На ЕГЭ важно не путать обозначения и всегда смотреть на индекс. Если индекса нет, но написано $\lg$ — это основание десять, а если $\ln$ — основание $e$. Невнимательность к этим значкам приводит к неверному выбору основания, а значит, и к неправильному ответу. Привыкай читать запись логарифма так же внимательно, как и саму формулу.

Применение в задании 14 ЕГЭ профиль

Задание 14 — логарифмическое уравнение или неравенство. Принципы:

Логарифмическое уравнение. $\log_a f(x) = \log_a g(x) \Leftrightarrow f(x) = g(x) > 0$ (с обязательной проверкой ОДЗ — оба выражения должны быть положительны).

Логарифмическое неравенство. Монотонность критична:

• Если $a > 1$: $\log_a f(x) > \log_a g(x) \Leftrightarrow f(x) > g(x) > 0$ (знак сохраняется).
• Если $0 < a < 1$: $\log_a f(x) > \log_a g(x) \Leftrightarrow 0 < f(x) < g(x)$ (знак меняется).

Главное правило: всегда выписывай ОДЗ перед решением. Под каждым логарифмом аргумент строго больше нуля. Это правило настолько универсально, что его стоит выполнять механически, не задумываясь: увидел логарифм — сразу записал условие на его аргумент. Такая дисциплина закрывает большинство ошибок в задании 14.

Применение в задании 7 ЕГЭ профиль

Задание 7 (производная по графику). Часто встречаются графики, похожие на $y = \log_a x$ или содержащие логарифмическую часть.

Производная: $(\log_a x)' = \dfrac{1}{x \ln a}$. В частности, $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$.

Применение в задании 11 ЕГЭ профиль

Задача типа: «найти наибольшее значение функции $y = \log_3 (4 - x^2)$.»

Логарифм по основанию $a > 1$ возрастает. Чтобы $y$ был наибольшим, нужно максимизировать аргумент $4 - x^2$. Это парабола ветвями вниз, максимум в вершине $x_0 = 0$. Значение: $4 - 0 = 4$. Тогда $y = \log_3 4$.

ОДЗ: $4 - x^2 > 0$, то есть $-2 < x < 2$. $x_0 = 0$ входит.

Почему монотонность решает всё

В логарифмических неравенствах главную роль играет монотонность, и понимать её механику важнее, чем заучивать «когда менять знак». Логарифмическая функция либо целиком возрастает (при основании больше единицы), либо целиком убывает (при основании между нулём и единицей). Когда ты «снимаешь» логарифм с обеих частей неравенства, ты фактически применяешь к ним обратное преобразование — и поведение неравенства зависит от того, возрастает функция или убывает.

Если функция возрастающая, она сохраняет порядок: большему логарифму соответствует больший аргумент, и знак неравенства не меняется. Если функция убывающая, порядок переворачивается: больший логарифм означает меньший аргумент, и знак неравенства разворачивается. Вот и весь секрет «смены знака» — это не отдельное правило, а прямое следствие монотонности.

Поэтому первым делом в любом логарифмическом неравенстве посмотри на основание. Больше единицы — работаешь спокойно, знак на месте. Между нулём и единицей — будь начеку, знак развернётся. И всегда, в обоих случаях, не забывай про область определения: аргументы логарифмов должны быть положительны, и это ограничение добавляется к итоговой системе.

Разбор примеров

Три примера: первый полный, во втором шаг сам, в третьем — костяк за тобой.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Реши уравнение $\log_2(x + 5) = 3$.

Решение. Сначала область определения: аргумент положителен, $x + 5 > 0$, то есть $x > -5$.

По определению логарифма равенство $\log_2(x + 5) = 3$ означает $x + 5 = 2^3 = 8$. Отсюда $x = 3$.

Проверяем ОДЗ: $3 > -5$ — подходит. Ответ: $x = 3$.

Типичная ошибка. Перепутать, что во что возводится: записать $x + 5 = 3^2$ вместо $x + 5 = 2^3$. Основание логарифма становится основанием степени.

Пример 2 (уровень Б, один шаг — сам). Реши неравенство $\log_3(x - 1) < 2$.

Решение. Область определения: $x - 1 > 0$, то есть $x > 1$. Основание $3 > 1$ — функция возрастает, знак неравенства сохраняется.

Преврати правую часть в логарифм по основанию 3 и сними логарифмы сам.

Типичная ошибка. Забыть про ОДЗ и записать ответ $(-\infty;\,10)$, включив недопустимые значения.

Пример 3 (уровень В, костяк — сам). Реши уравнение $\log_2(x) + \log_2(x - 2) = 3$.

Решение (skeleton).

Шаг 1. Выпиши ОДЗ: оба аргумента положительны, $x > 0$ и $x - 2 > 0$. Объедини сам.

Шаг 2. Сверни сумму логарифмов в логарифм произведения по соответствующему свойству.

Шаг 3. Перейди к степени и реши получившееся квадратное уравнение, потом отбери корни по ОДЗ.

Типичная ошибка. Включить корень $x = -2$ в ответ, не проверив область определения.

Типовые задачи ЕГЭ

Тип 1 (задание 14). Логарифмическое уравнение. Стандартный путь: ОДЗ, сворачивание логарифмов по свойствам, переход к степени, решение, отбор корней. Главный риск — потерять ОДЗ и протащить посторонний корень.

Тип 2 (задание 14). Логарифмическое неравенство. Здесь критична монотонность: при основании меньше единицы знак неравенства разворачивается. Это самая частая причина неверного ответа в задании.

Тип 3 (задание 11). Наибольшее значение с логарифмом. Логарифм по основанию больше единицы возрастает, поэтому наибольшее значение всей функции совпадает с тем местом, где максимален аргумент логарифма. Достаточно найти максимум аргумента — например, вершину параболы под логарифмом.

Распространённые ошибки

1. Забыть про ОДЗ. Под логарифмом всегда строго положительное выражение. Например, $\log_2 (x - 3)$ определён только при $x > 3$. Если решаешь $\log_2 (x - 3) = 4$ и получаешь $x = 19$ — проверь, что $19 > 3$. Если решение даст $x = 1$ — отбросить, так как $1 - 3 = -2 < 0$.

2. Не учитывать монотонность при решении неравенства. При $0 < a < 1$ знак меняется. Та же ошибка, что и в показательной функции.

3. Путать $\log_a x$ с $\log x$ или $\ln x$. В разных источниках обозначения разные. На ЕГЭ обычно $\log_a$ — общий, $\lg$ — десятичный, $\ln$ — натуральный. Смотри индекс внизу.

4. Считать, что $\log_a x$ может быть отрицательным «не при тех» $x$. Логарифм отрицателен при $0 < x < 1$ (если $a > 1$). При $x = 0$ функция не определена, при $x < 0$ тоже.

5. Использовать свойство «логарифм произведения» когда не имеешь права. $\log_a (x + y) \neq \log_a x + \log_a y$. Свойство $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$ работает только для произведения, не для суммы.

Разобранный пример (задание 14 ЕГЭ)

Условие. Реши уравнение $\log_5 (x - 1) + \log_5 (x + 3) = 1$.

Решение. ОДЗ: $x - 1 > 0$ и $x + 3 > 0$, то есть $x > 1$.

Применим свойство суммы логарифмов:

$\log_5 \big((x - 1)(x + 3)\big) = 1$

По определению логарифма: $(x - 1)(x + 3) = 5^1 = 5$.

Раскроем скобки:

$x^2 + 2x - 3 = 5$ $x^2 + 2x - 8 = 0$ $D = 4 + 32 = 36, \quad x_{1,2} = \frac{-2 \pm 6}{2}$

$x_1 = 2$, $x_2 = -4$. Проверим ОДЗ ($x > 1$): $x_1 = 2$ подходит, $x_2 = -4$ — нет.

Ответ. $x = 2$.

Что запомнить

• Формула: $y = \log_a x$, $a > 0$, $a \neq 1$, $x > 0$.
• $D(f) = (0;\,+\infty)$, $E(f) = \mathbb{R}$.
• Проходит через $(1;\,0)$.
• Асимптота $x = 0$.
• $a > 1$ — возрастает, $0 < a < 1$ — убывает.
• Обратная к $y = a^x$, графики симметричны относительно $y = x$.
• При решении уравнений и неравенств — всегда ОДЗ.

Связь с другими темами

• Показательная функция y=aˣ — обратная функция.
• Свойства логарифмов — техника работы с логарифмами.
• Логарифмические уравнения — задание 14 ЕГЭ.
• Обратная функция — общая теория обратных функций.