Логарифмическая функция y=log_a(x)

Логарифмическая функция — пара к показательной. Если показательная отвечает на вопрос «во сколько раз увеличится $a^x$, если мы прибавим 1 к $x$», логарифмическая отвечает обратное: «в какую степень нужно возвести $a$, чтобы получить заданное число».

Определение

Логарифмическая функция — функция вида:

$y = \log_a x$

где $a > 0$, $a \neq 1$, $x > 0$. Здесь $a$ — основание логарифма, $x$ — аргумент.

По определению, $\log_a x$ — это число $y$, для которого $a^y = x$. То есть:

$y = \log_a x \quad \Leftrightarrow \quad a^y = x$

Эта запись — ключ ко всем свойствам логарифма.

Связь с показательной функцией

Логарифмическая и показательная функции — взаимно обратные.

• $y = a^x$ принимает $x$ из $\mathbb{R}$ и даёт $y \in (0;\,+\infty)$.
• $y = \log_a x$ принимает $x$ из $(0;\,+\infty)$ и даёт $y \in \mathbb{R}$.

Графики симметричны относительно прямой $y = x$. Если ты уже знаешь, как выглядит $y = 2^x$, отрази его относительно $y = x$ — получишь $y = \log_2 x$.

График логарифмической функции

Случай 1: $a > 1$. График проходит через $(1;\,0)$, $(a;\,1)$, $(1/a;\,-1)$. Возрастает на всей области определения. При $x \to 0^+$ график уходит в $-\infty$ (вертикальная асимптота $x = 0$).

Случай 2: $0 < a < 1$. Та же точка пересечения $(1;\,0)$, но функция убывает. При $x \to 0^+$ график уходит в $+\infty$.

В обоих случаях:

• График лежит правее оси $Oy$.
• Проходит через $(1;\,0)$.
• Имеет вертикальную асимптоту $x = 0$.

Свойства

Свойства логарифмов

Минимальный набор для ЕГЭ:

$\log_a 1 = 0 \qquad \log_a a = 1$

$\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$

$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$

$\log_a x^n = n \log_a x$

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \quad \text{(переход к новому основанию)}$

$a^{\log_a x} = x \quad \text{(основное логарифмическое тождество)}$

Подробный разбор — на странице Свойства логарифмов.

Натуральный и десятичный логарифмы

Натуральный логарифм — логарифм по основанию $e \approx 2{,}718$. Обозначение: $\ln x = \log_e x$.

Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10. Обозначение: $\lg x = \log_{10} x$.

Натуральный встречается чаще в производных и интегралах. Десятичный — в физических задачах (pH, децибелы).

Применение в задании 14 ЕГЭ профиль

Задание 14 — логарифмическое уравнение или неравенство. Принципы:

Логарифмическое уравнение. $\log_a f(x) = \log_a g(x) \Leftrightarrow f(x) = g(x) > 0$ (с обязательной проверкой ОДЗ — оба выражения должны быть положительны).

Логарифмическое неравенство. Монотонность критична:

• Если $a > 1$: $\log_a f(x) > \log_a g(x) \Leftrightarrow f(x) > g(x) > 0$ (знак сохраняется).
• Если $0 < a < 1$: $\log_a f(x) > \log_a g(x) \Leftrightarrow 0 < f(x) < g(x)$ (знак меняется).

Главное правило: всегда выписывай ОДЗ перед решением. Под каждым логарифмом аргумент строго больше нуля.

Применение в задании 7 ЕГЭ профиль

Задание 7 (производная по графику). Часто встречаются графики, похожие на $y = \log_a x$ или содержащие логарифмическую часть.

Производная: $(\log_a x)' = \dfrac{1}{x \ln a}$. В частности, $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$.

Применение в задании 11 ЕГЭ профиль

Задача типа: «найти наибольшее значение функции $y = \log_3 (4 - x^2)$.»

Логарифм по основанию $a > 1$ возрастает. Чтобы $y$ был наибольшим, нужно максимизировать аргумент $4 - x^2$. Это парабола ветвями вниз, максимум в вершине $x_0 = 0$. Значение: $4 - 0 = 4$. Тогда $y = \log_3 4$.

ОДЗ: $4 - x^2 > 0$, то есть $-2 < x < 2$. $x_0 = 0$ входит.

Распространённые ошибки

1. Забыть про ОДЗ. Под логарифмом всегда строго положительное выражение. Например, $\log_2 (x - 3)$ определён только при $x > 3$. Если решаешь $\log_2 (x - 3) = 4$ и получаешь $x = 19$ — проверь, что $19 > 3$. Если решение даст $x = 1$ — отбросить, так как $1 - 3 = -2 < 0$.

2. Не учитывать монотонность при решении неравенства. При $0 < a < 1$ знак меняется. Та же ошибка, что и в показательной функции.

3. Путать $\log_a x$ с $\log x$ или $\ln x$. В разных источниках обозначения разные. На ЕГЭ обычно $\log_a$ — общий, $\lg$ — десятичный, $\ln$ — натуральный. Смотри индекс внизу.

4. Считать, что $\log_a x$ может быть отрицательным «не при тех» $x$. Логарифм отрицателен при $0 < x < 1$ (если $a > 1$). При $x = 0$ функция не определена, при $x < 0$ тоже.

5. Использовать свойство «логарифм произведения» когда не имеешь права. $\log_a (x + y) \neq \log_a x + \log_a y$. Свойство $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$ работает только для произведения, не для суммы.

Разобранный пример (задание 14 ЕГЭ)

Условие. Реши уравнение $\log_5 (x - 1) + \log_5 (x + 3) = 1$.

Решение. ОДЗ: $x - 1 > 0$ и $x + 3 > 0$, то есть $x > 1$.

Применим свойство суммы логарифмов:

$\log_5 \big((x - 1)(x + 3)\big) = 1$

По определению логарифма: $(x - 1)(x + 3) = 5^1 = 5$.

Раскроем скобки:

$x^2 + 2x - 3 = 5$ $x^2 + 2x - 8 = 0$ $D = 4 + 32 = 36, \quad x_{1,2} = \frac{-2 \pm 6}{2}$

$x_1 = 2$, $x_2 = -4$. Проверим ОДЗ ($x > 1$): $x_1 = 2$ подходит, $x_2 = -4$ — нет.

Ответ. $x = 2$.

Что запомнить

• Формула: $y = \log_a x$, $a > 0$, $a \neq 1$, $x > 0$.
• $D(f) = (0;\,+\infty)$, $E(f) = \mathbb{R}$.
• Проходит через $(1;\,0)$.
• Асимптота $x = 0$.
• $a > 1$ — возрастает, $0 < a < 1$ — убывает.
• Обратная к $y = a^x$, графики симметричны относительно $y = x$.
• При решении уравнений и неравенств — всегда ОДЗ.

Связь с другими темами

• Показательная функция y=aˣ — обратная функция.
• Свойства логарифмов — техника работы с логарифмами.
• Логарифмические уравнения — задание 14 ЕГЭ.
• Обратная функция — общая теория обратных функций.