Логарифмическая функция y=log_a(x)

Логарифмическая функция — пара к показательной. Если показательная отвечает на вопрос «во сколько раз увеличится $a^x$, если мы прибавим 1 к $x$», логарифмическая отвечает обратное: «в какую степень нужно возвести $a$, чтобы получить заданное число».

Эта идея «обратного вопроса» — ключ ко всей теме. Показательная функция превращает показатель степени в число: дай ей степень, она вернёт результат возведения. Логарифм идёт в обратную сторону: дай ему результат, он вернёт степень, в которую надо было возвести основание. Поэтому всё, что ты знаешь про показательную функцию, можно «отзеркалить» и получить факты про логарифмическую. Не нужно учить две независимые теории — достаточно понять одну и научиться переворачивать её.

Из этой зеркальности сразу следуют главные свойства. Раз показательная функция принимает только положительные значения, то логарифм определён только для положительных аргументов — нельзя спросить «в какую степень возвести двойку, чтобы получить минус три», потому что двойка в любой степени положительна. Раз показательная функция всегда даёт ненулевой результат, логарифм нуля не существует. Эти ограничения не выдуманы — они прямо вытекают из определения через обратную функцию.

Определение

Логарифмическая функция — функция вида:

$y={\log }_{a}x$

где $a>0$, $a\ne 1$, $x>0$. Здесь $a$ — основание логарифма, $x$ — аргумент.

По определению, ${\log }_{a}x$ — это число $y$, для которого $a^y=x$. То есть:

$y={\log }_{a}x\iff a^y=x$

Эта запись — ключ ко всем свойствам логарифма.

Связь с показательной функцией

Логарифмическая и показательная функции — взаимно обратные.

• $y=a^x$ принимает $x$ из $\mathbb{R}$ и даёт $y\in (0;+\infty )$.
• $y={\log }_{a}x$ принимает $x$ из $(0;+\infty )$ и даёт $y\in \mathbb{R}$.

Графики симметричны относительно прямой $y=x$. Если ты уже знаешь, как выглядит $y=2^x$, отрази его относительно $y=x$ — получишь $y={\log }_{2}x$. Эта симметрия — не случайное совпадение, а общее свойство любых взаимно обратных функций: их графики всегда зеркальны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. Поэтому, запомнив одну функцию, ты бесплатно получаешь вторую — достаточно мысленно отразить картинку по диагонали.

График логарифмической функции

Случай 1: $a>1$. График проходит через $(1;0)$, $(a;1)$, $(1/a;-1)$. Возрастает на всей области определения. При $x\to 0^{+}$ график уходит в $-\infty$ (вертикальная асимптота $x=0$).

Случай 2: $0<a<1$. Та же точка пересечения $(1;0)$, но функция убывает. При $x\to 0^{+}$ график уходит в $+\infty$.

В обоих случаях:

• График лежит правее оси $Oy$.
• Проходит через $(1;0)$.
• Имеет вертикальную асимптоту $x=0$.

Свойства

Свойства логарифмов

Минимальный набор для ЕГЭ:

${\log }_{a}1=0{\log }_{a}a=1$

${\log }_a(xy)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$

${\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$

${\log }_a{x}^n=n{\log }_{a}x$

${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}\text{(переход к новому основанию)}$

$a^{{\log }_{a}x}=x\text{(основное логарифмическое тождество)}$

Подробный разбор — на странице Свойства логарифмов.

Как читать график логарифма

График логарифмической функции узнаётся по нескольким приметам, и полезно научиться видеть их сразу. Во-первых, кривая всегда лежит правее оси $Oy$ — ведь аргумент положителен, отрицательных $x$ у логарифма не бывает. Во-вторых, она обязательно проходит через точку $(1;0)$: логарифм единицы равен нулю при любом основании, потому что в нулевую степень всё даёт единицу. Эта точка — надёжный ориентир: видишь кривую, проходящую через $(1;0)$ и прижимающуюся к вертикальной оси, — перед тобой логарифм.

В-третьих, у логарифма есть вертикальная асимптота — сама ось $Oy$, прямая $x=0$. График подходит к ней сколь угодно близко, но никогда не пересекает: при приближении аргумента к нулю значения логарифма уходят в бесконечность (вниз при основании больше единицы, вверх при основании меньше единицы). Понимание асимптоты помогает не перепутать логарифм с корнем: у корня график начинается в конкретной точке на оси, а у логарифма он бесконечно тянется вдоль вертикальной асимптоты.

Направление кривой подсказывает основание. Если график поднимается слева направо — основание больше единицы, функция возрастает. Если опускается — основание между нулём и единицей, функция убывает. Эта связь между внешним видом графика и значением основания — частый сюжет задания 7, где по картинке нужно сделать вывод о функции.

Натуральный и десятичный логарифмы

Натуральный логарифм — логарифм по основанию $e\approx 2,718$. Обозначение: $\ln x={\log }_{e}x$.

Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10. Обозначение: $\lg x={\log }_{10}x$.

Натуральный встречается чаще в производных и интегралах. Десятичный — в физических задачах (pH, децибелы).

Почему именно эти два логарифма получили собственные обозначения? Потому что они появляются в задачах чаще остальных, и писать каждый раз основание было бы громоздко. Натуральный логарифм связан с числом $e$, которое естественно возникает в задачах на непрерывный рост и в исчислении: производная натурального логарифма устроена особенно просто, поэтому он удобен для анализа. Десятичный привязан к нашей десятичной системе счисления, и он удобен там, где работают с порядками величин — каждая единица десятичного логарифма соответствует увеличению числа в десять раз.

На ЕГЭ важно не путать обозначения и всегда смотреть на индекс. Если индекса нет, но написано $\lg$ — это основание десять, а если $\ln$ — основание $e$. Невнимательность к этим значкам приводит к неверному выбору основания, а значит, и к неправильному ответу. Привыкай читать запись логарифма так же внимательно, как и саму формулу.

Применение в задании 14 ЕГЭ профиль

Задание 14 — логарифмическое уравнение или неравенство. Принципы:

Логарифмическое уравнение. ${\log }_{a}f(x)={\log }_{a}g(x)\iff f(x)=g(x)>0$ (с обязательной проверкой ОДЗ — оба выражения должны быть положительны).

Логарифмическое неравенство. Монотонность критична:

• Если $a>1$: ${\log }_{a}f(x)>{\log }_{a}g(x)\iff f(x)>g(x)>0$ (знак сохраняется).
• Если $0<a<1$: ${\log }_{a}f(x)>{\log }_{a}g(x)\iff 0<f(x)<g(x)$ (знак меняется).

Главное правило: всегда выписывай ОДЗ перед решением. Под каждым логарифмом аргумент строго больше нуля. Это правило настолько универсально, что его стоит выполнять механически, не задумываясь: увидел логарифм — сразу записал условие на его аргумент. Такая дисциплина закрывает большинство ошибок в задании 14.

Применение в задании 7 ЕГЭ профиль

Задание 7 (производная по графику). Часто встречаются графики, похожие на $y={\log }_{a}x$ или содержащие логарифмическую часть.

Производная: $({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$. В частности, $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$.

Применение в задании 11 ЕГЭ профиль

Задача типа: «найти наибольшее значение функции $y={\log }_3(4-x^2)$.»

Логарифм по основанию $a>1$ возрастает. Чтобы $y$ был наибольшим, нужно максимизировать аргумент $4-x^2$. Это парабола ветвями вниз, максимум в вершине $x_0=0$. Значение: $4-0=4$. Тогда $y={\log }_{3}4$.

ОДЗ: $4-x^2>0$, то есть $-2<x<2$. $x_0=0$ входит.

Почему монотонность решает всё

В логарифмических неравенствах главную роль играет монотонность, и понимать её механику важнее, чем заучивать «когда менять знак». Логарифмическая функция либо целиком возрастает (при основании больше единицы), либо целиком убывает (при основании между нулём и единицей). Когда ты «снимаешь» логарифм с обеих частей неравенства, ты фактически применяешь к ним обратное преобразование — и поведение неравенства зависит от того, возрастает функция или убывает.

Если функция возрастающая, она сохраняет порядок: большему логарифму соответствует больший аргумент, и знак неравенства не меняется. Если функция убывающая, порядок переворачивается: больший логарифм означает меньший аргумент, и знак неравенства разворачивается. Вот и весь секрет «смены знака» — это не отдельное правило, а прямое следствие монотонности.

Поэтому первым делом в любом логарифмическом неравенстве посмотри на основание. Больше единицы — работаешь спокойно, знак на месте. Между нулём и единицей — будь начеку, знак развернётся. И всегда, в обоих случаях, не забывай про область определения: аргументы логарифмов должны быть положительны, и это ограничение добавляется к итоговой системе.

Разбор примеров

Три примера: первый полный, во втором шаг сам, в третьем — костяк за тобой.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Реши уравнение ${\log }_2(x+5)=3$.

Решение. Сначала область определения: аргумент положителен, $x+5>0$, то есть $x>-5$.

По определению логарифма равенство ${\log }_2(x+5)=3$ означает $x+5=2^3=8$. Отсюда $x=3$.

Проверяем ОДЗ: $3>-5$ — подходит. Ответ: $x=3$.

Типичная ошибка. Перепутать, что во что возводится: записать $x+5=3^2$ вместо $x+5=2^3$. Основание логарифма становится основанием степени.

Пример 2 (уровень Б, один шаг — сам). Реши неравенство ${\log }_3(x-1)<2$.

Решение. Область определения: $x-1>0$, то есть $x>1$. Основание $3>1$ — функция возрастает, знак неравенства сохраняется.

Преврати правую часть в логарифм по основанию 3 и сними логарифмы сам.

Типичная ошибка. Забыть про ОДЗ и записать ответ $(-\infty ;10)$, включив недопустимые значения.

Пример 3 (уровень В, костяк — сам). Реши уравнение ${\log }_2(x)+{\log }_2(x-2)=3$.

Решение (skeleton).

Шаг 1. Выпиши ОДЗ: оба аргумента положительны, $x>0$ и $x-2>0$. Объедини сам.

Шаг 2. Сверни сумму логарифмов в логарифм произведения по соответствующему свойству.

Шаг 3. Перейди к степени и реши получившееся квадратное уравнение, потом отбери корни по ОДЗ.

Типичная ошибка. Включить корень $x=-2$ в ответ, не проверив область определения.

Типовые задачи ЕГЭ

Тип 1 (задание 14). Логарифмическое уравнение. Стандартный путь: ОДЗ, сворачивание логарифмов по свойствам, переход к степени, решение, отбор корней. Главный риск — потерять ОДЗ и протащить посторонний корень.

Тип 2 (задание 14). Логарифмическое неравенство. Здесь критична монотонность: при основании меньше единицы знак неравенства разворачивается. Это самая частая причина неверного ответа в задании.

Тип 3 (задание 11). Наибольшее значение с логарифмом. Логарифм по основанию больше единицы возрастает, поэтому наибольшее значение всей функции совпадает с тем местом, где максимален аргумент логарифма. Достаточно найти максимум аргумента — например, вершину параболы под логарифмом.

Распространённые ошибки

1. Забыть про ОДЗ. Под логарифмом всегда строго положительное выражение. Например, ${\log }_2(x-3)$ определён только при $x>3$. Если решаешь ${\log }_2(x-3)=4$ и получаешь $x=19$ — проверь, что $19>3$. Если решение даст $x=1$ — отбросить, так как $1-3=-2<0$.

2. Не учитывать монотонность при решении неравенства. При $0<a<1$ знак меняется. Та же ошибка, что и в показательной функции.

3. Путать ${\log }_{a}x$ с $\log x$ или $\ln x$. В разных источниках обозначения разные. На ЕГЭ обычно ${\log }_a$ — общий, $\lg$ — десятичный, $\ln$ — натуральный. Смотри индекс внизу.

4. Считать, что ${\log }_{a}x$ может быть отрицательным «не при тех» $x$. Логарифм отрицателен при $0<x<1$ (если $a>1$). При $x=0$ функция не определена, при $x<0$ тоже.

5. Использовать свойство «логарифм произведения» когда не имеешь права. ${\log }_a(x+y)\ne {\log }_{a}x+{\log }_{a}y$. Свойство ${\log }_a(xy)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$ работает только для произведения, не для суммы.

Разобранный пример (задание 14 ЕГЭ)

Условие. Реши уравнение ${\log }_5(x-1)+{\log }_5(x+3)=1$.

Решение. ОДЗ: $x-1>0$ и $x+3>0$, то есть $x>1$.

Применим свойство суммы логарифмов:

${\log }_5((x-1)(x+3))=1$

По определению логарифма: $(x-1)(x+3)=5^1=5$.

Раскроем скобки:

$x^2+2x-3=5$ $x^2+2x-8=0$ $D=4+32=36,x_{1,2}=\frac{-2\pm 6}{2}$

$x_1=2$, $x_2=-4$. Проверим ОДЗ ($x>1$): $x_1=2$ подходит, $x_2=-4$ — нет.

Ответ. $x=2$.

Что запомнить

• Формула: $y={\log }_{a}x$, $a>0$, $a\ne 1$, $x>0$.
• $D(f)=(0;+\infty )$, $E(f)=\mathbb{R}$.
• Проходит через $(1;0)$.
• Асимптота $x=0$.
• $a>1$ — возрастает, $0<a<1$ — убывает.
• Обратная к $y=a^x$, графики симметричны относительно $y=x$.
• При решении уравнений и неравенств — всегда ОДЗ.

Связь с другими темами

• Показательная функция y=aˣ — обратная функция.
• Свойства логарифмов — техника работы с логарифмами.
• Логарифмические уравнения — задание 14 ЕГЭ.
• Обратная функция — общая теория обратных функций.