Обратная функция и её график

Обратная функция — концепция, которая «разворачивает» действие исходной функции. Понимание этого нужно для работы с показательной/логарифмической, со степенными и квадратными корнями. На ЕГЭ концепция используется неявно во многих задачах.

Определение

Пусть функция $f$ переводит каждое $x$ из $D(f)$ в единственное $y$ из $E(f)$, и при этом разные $x$ дают разные $y$ (то есть $f$ взаимно однозначна).

Тогда обратная функция $f^{-1}$ — это функция, которая каждому $y \in E(f)$ ставит в соответствие то самое $x \in D(f)$, для которого $f(x) = y$.

Свойства:

$f(f^{-1}(x)) = x, \quad f^{-1}(f(x)) = x$

То есть композиция $f$ и $f^{-1}$ даёт тождество.

$D(f^{-1}) = E(f), \quad E(f^{-1}) = D(f)$

Области определения и значений «меняются местами».

Условие существования

Обратная функция существует, если $f$ взаимно однозначна: разные $x$ дают разные значения $f(x)$. Это эквивалентно тому, что у уравнения $f(x) = c$ не более одного решения для любого $c$.

Достаточное условие: функция строго монотонна (возрастает или убывает) на $D(f)$. Тогда обратная гарантированно существует.

Пример. $y = x^2$ на $\mathbb{R}$ не имеет обратной: $f(2) = f(-2) = 4$. Но если ограничить $D(f) = [0;\,+\infty)$, функция становится возрастающей и обратная существует — $y = \sqrt{x}$.

Графическое свойство

Графики $f$ и $f^{-1}$ симметричны относительно прямой $y = x$.

Доказательство интуитивное: если $(a;\,b)$ — точка графика $f$ (то есть $f(a) = b$), то $f^{-1}(b) = a$, и $(b;\,a)$ — точка графика $f^{-1}$. А точки $(a;\,b)$ и $(b;\,a)$ симметричны относительно прямой $y = x$.

Алгоритм нахождения обратной

Чтобы найти обратную к функции $y = f(x)$:

1. Записать уравнение $y = f(x)$.
2. Выразить $x$ через $y$: получить $x = g(y)$.
3. Записать обратную как $y = g(x)$ (просто переобозначить переменную, потому что у функции аргумент принято обозначать $x$).

Пример. Найти обратную к $y = 2x + 3$.

Шаг 2: $x = (y - 3)/2$.

Шаг 3: $y = (x - 3)/2$, или $f^{-1}(x) = \dfrac{x - 3}{2}$.

Проверка: $f(f^{-1}(x)) = 2 \cdot \dfrac{x - 3}{2} + 3 = (x - 3) + 3 = x$. Получили тождество, обратная найдена правильно.

Примеры взаимно обратных функций

Свойства взаимно обратных функций

1. Если $f$ возрастает, то $f^{-1}$ тоже возрастает.
2. Если $f$ убывает, то $f^{-1}$ тоже убывает.
3. Графики $f$ и $f^{-1}$ симметричны относительно $y = x$.
4. $D(f^{-1}) = E(f)$, $E(f^{-1}) = D(f)$.

Когда обратной нет

Если $f$ не монотонна. $y = x^2$ на $\mathbb{R}$ не взаимно однозначна. Чтобы получить обратную, нужно ограничить $D(f)$ так, чтобы функция стала монотонной (например, только $x \geq 0$).

Если $f$ — постоянная функция. $y = 5$ — все $x$ дают одно и то же значение. Обратной нет (несколько $x$ переходят в одно $y$, обратное соответствие неоднозначно).

Если $f$ — периодическая. $y = \sin x$ на всей $\mathbb{R}$ имеет обратной нет. Но на $[-\pi/2;\,\pi/2]$ синус возрастает, и тогда обратная — $\arcsin x$.

Применение в задаче 11 ЕГЭ

Знание про взаимно обратность $a^x$ и $\log_a x$ часто помогает упростить уравнения и неравенства.

Свойство: $a^{\log_a x} = x$ (при $x > 0$). $\log_a (a^x) = x$ (при любом $x$).

Применение: уравнение $5^{\log_5 (x + 3)} = 7$. Левая часть равна $x + 3$ (при $x + 3 > 0$). Уравнение: $x + 3 = 7$, $x = 4$. ОДЗ: $4 + 3 = 7 > 0$, подходит.

Распространённые ошибки

1. Считать $f^{-1}(x) = 1/f(x)$. Это неверно. $f^{-1}$ — обратная функция, не обратное число. Например, $\sin^{-1}(x) = \arcsin x$, не $1/\sin x$.

2. Искать обратную для не-взаимно-однозначной функции. Если $f(x) = x^2$ без ограничения области, обратной нет. Если просто написать «$y = \pm \sqrt{x}$», это не функция (одному $x$ соответствуют два $y$).

3. Забыть про область определения. $f^{-1}$ определена только на $E(f)$. Если $f(x) = e^x$ имеет $E(f) = (0;\,+\infty)$, то $f^{-1}(x) = \ln x$ определена только при $x > 0$.

4. Поменять переменные сразу, не выражая. Чтобы найти обратную, сначала выражаешь $x$ через $y$, потом обмениваешь местами обозначения. Если сразу написать «поменяю $x$ и $y$», без выражения это бессмысленно.

5. Считать графики f и f⁻¹ симметричными относительно осей или O. Симметрия — относительно прямой $y = x$ (биссектрисы I и III квадрантов).

Разобранный пример

Условие. Найди функцию, обратную к $f(x) = \dfrac{1}{x - 2}$. Укажи $D(f^{-1})$.

Решение.

Шаг 1. Уравнение: $y = \dfrac{1}{x - 2}$.

Шаг 2. Выражаем $x$ через $y$: $y(x - 2) = 1$, $x - 2 = \dfrac{1}{y}$, $x = \dfrac{1}{y} + 2$.

Шаг 3. Обмениваем обозначения: $f^{-1}(x) = \dfrac{1}{x} + 2$.

Область определения исходной: $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{2\}$. Область значений исходной: $E(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.

Тогда $D(f^{-1}) = E(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.

Ответ. $f^{-1}(x) = \dfrac{1}{x} + 2$, $D(f^{-1}) = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.

Что запомнить

• Обратная функция «отменяет» исходную: $f(f^{-1}(x)) = x$.
• Существует только для взаимно однозначных (часто — монотонных) функций.
• Графики симметричны относительно $y = x$.
• $D$ и $E$ меняются местами.
• $a^x$ ↔ $\log_a x$, $x^2$ (на $[0;+\infty)$) ↔ $\sqrt{x}$, $\sin x$ (на $[-\pi/2;\pi/2]$) ↔ $\arcsin x$.

Связь с другими темами

• Показательная функция y=aˣ — обратная к логарифму.
• Логарифмическая функция y=log_a(x) — обратная к показательной.
• Функция корня y=√x — обратная к правой ветви $y = x^2$.
• Монотонность функции — условие существования обратной.