Обратная функция и её график

Обратная функция — концепция, которая «разворачивает» действие исходной функции. Понимание этого нужно для работы с показательной/логарифмической, со степенными и квадратными корнями. На ЕГЭ концепция используется неявно во многих задачах.

Самая простая аналогия — отмена действия. Если функция умножает на $2$, обратная делит на $2$. Если прибавляет $5$, обратная вычитает $5$. Если возводит в куб, обратная извлекает кубический корень. Сделал шаг вперёд, сделал шаг назад, вернулся в исходную точку. Именно поэтому композиция функции и её обратной всегда даёт то, с чего ты начал.

Эта пара отмены лежит в основе целого пласта школьной математики. Логарифм придуман, чтобы отменять показательную функцию. Корень отменяет степень. Арксинус отменяет синус на нужном промежутке. Когда ты решаешь уравнение, ты по сути применяешь обратную функцию к обеим частям, чтобы «снять» лишнюю операцию с неизвестного. Поэтому, разобравшись с обратными один раз, ты увидишь общую логику за десятком разных приёмов.

Определение

Пусть функция $f$ переводит каждое $x$ из $D(f)$ в единственное $y$ из $E(f)$, и при этом разные $x$ дают разные $y$ (то есть $f$ взаимно однозначна).

Тогда обратная функция $f^{-1}$ — это функция, которая каждому $y\in E(f)$ ставит в соответствие то самое $x\in D(f)$, для которого $f(x)=y$.

Свойства:

$f(f^{-1}(x))=x,f^{-1}(f(x))=x$

То есть композиция $f$ и $f^{-1}$ даёт тождество.

$D(f^{-1})=E(f),E(f^{-1})=D(f)$

Области определения и значений «меняются местами». Логика простая: то, что у исходной функции было выходом (множество значений), у обратной становится входом, и наоборот. Если прямая функция принимала на вход $x$ из одного множества и выдавала $y$ из другого, то обратная принимает эти $y$ и возвращает прежние $x$. Поэтому вход и выход у пары просто обмениваются ролями, а сами множества остаются теми же.

Условие существования

Обратная функция существует, если $f$ взаимно однозначна: разные $x$ дают разные значения $f(x)$. Это эквивалентно тому, что у уравнения $f(x)=c$ не более одного решения для любого $c$.

Достаточное условие: функция строго монотонна (возрастает или убывает) на $D(f)$. Тогда обратная гарантированно существует.

Почему монотонности достаточно. Если функция всё время растёт, то каждому новому $x$ соответствует строго большее значение, и два разных $x$ не могут дать одинаковый $y$. Значит, по любому $y$ можно однозначно восстановить тот единственный $x$, который его породил. Это и есть обратная функция. То же самое работает для убывающей функции, только значения идут в обратную сторону.

Пример. $y=x^2$ на $\mathbb{R}$ не имеет обратной: $f(2)=f(-2)=4$. Но если ограничить $D(f)=[0;+\infty )$, функция становится возрастающей и обратная существует — $y=\sqrt{x}$.

Этот трюк с ограничением области определения встречается постоянно. Парабола, синус, косинус по отдельности обратных не имеют, потому что одно значение они принимают много раз. Но стоит отрезать «лишний» кусок и оставить промежуток, где функция строго монотонна, как обратная появляется. Именно так из синуса на отрезке $[-\pi /2;\pi /2]$ рождается арксинус, а из правой ветви параболы — квадратный корень.

Графическое свойство

Графики $f$ и $f^{-1}$ симметричны относительно прямой $y=x$.

Доказательство интуитивное: если $(a;b)$ — точка графика $f$ (то есть $f(a)=b$), то $f^{-1}(b)=a$, и $(b;a)$ — точка графика $f^{-1}$. А точки $(a;b)$ и $(b;a)$ симметричны относительно прямой $y=x$.

Эта симметрия — самый узнаваемый признак обратных функций на графике. Прямая $y=x$ работает как зеркало: складываешь лист по этой биссектрисе, и график исходной функции точно ложится на график обратной. Поэтому, если на рисунке видно две кривые, симметричные относительно $y=x$, можно сразу сказать, что они задают взаимно обратные функции, даже не зная формул. Этот визуальный факт иногда и есть ключ к задаче на чтение графика.

Из симметрии вытекает удобное следствие. Точки, где график пересекает биссектрису $y=x$, у функции и её обратной общие: на самой линии зеркала отражение совпадает с оригиналом. Поэтому уравнение $f(x)=f^{-1}(x)$ для монотонно возрастающих функций часто сводится к более простому $f(x)=x$.

Алгоритм нахождения обратной

Чтобы найти обратную к функции $y=f(x)$:

1. Записать уравнение $y=f(x)$.
2. Выразить $x$ через $y$: получить $x=g(y)$.
3. Записать обратную как $y=g(x)$ (просто переобозначить переменную, потому что у функции аргумент принято обозначать $x$).

Порядок шагов важен. Главная работа — во втором шаге, где нужно алгебраически развернуть зависимость и выразить $x$. Третий шаг чисто косметический: ты меняешь буквы местами, потому что принято писать функцию через аргумент $x$. Если перепрыгнуть сразу к перестановке букв, минуя выражение $x$, получится бессмыслица. Сначала разворачиваешь формулу, потом переименовываешь.

Пример. Найти обратную к $y=2x+3$.

Шаг 2: $x=(y-3)/2$.

Шаг 3: $y=(x-3)/2$, или $f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}$.

Проверка: $f(f^{-1}(x))=2\cdot \frac{x-3}{2}+3=(x-3)+3=x$. Получили тождество, обратная найдена правильно.

Примеры взаимно обратных функций

Свойства взаимно обратных функций

1. Если $f$ возрастает, то $f^{-1}$ тоже возрастает.
2. Если $f$ убывает, то $f^{-1}$ тоже убывает.
3. Графики $f$ и $f^{-1}$ симметричны относительно $y=x$.
4. $D(f^{-1})=E(f)$, $E(f^{-1})=D(f)$.

Когда обратной нет

Если $f$ не монотонна. $y=x^2$ на $\mathbb{R}$ не взаимно однозначна. Чтобы получить обратную, нужно ограничить $D(f)$ так, чтобы функция стала монотонной (например, только $x\ge 0$).

Если $f$ — постоянная функция. $y=5$ — все $x$ дают одно и то же значение. Обратной нет (несколько $x$ переходят в одно $y$, обратное соответствие неоднозначно).

Если $f$ — периодическая. $y=\sin x$ на всей $\mathbb{R}$ обратной не имеет. Но на $[-\pi /2;\pi /2]$ синус возрастает, и тогда обратная — $\arcsin x$.

Общая причина у всех трёх случаев одна: функция принимает одно значение в нескольких точках, и по этому значению нельзя однозначно понять, откуда оно пришло. Парабола даёт один и тот же $y$ для $x$ и $-x$. Постоянная функция вообще все $x$ переводит в одно число. Периодическая повторяет свои значения через каждый период. Везде нарушена взаимная однозначность, поэтому обратное соответствие получается неоднозначным, а значит, не является функцией. Лечится это всегда одинаково: сужаем область определения до промежутка, где функция строго монотонна.

Применение в задаче 11 ЕГЭ

Знание про взаимно обратность $a^x$ и ${\log }_{a}x$ часто помогает упростить уравнения и неравенства.

Свойство: $a^{{\log }_{a}x}=x$ (при $x>0$). ${\log }_a(a^x)=x$ (при любом $x$).

Применение: уравнение $5^{{\log }_5(x+3)}=7$. Левая часть равна $x+3$ (при $x+3>0$). Уравнение: $x+3=7$, $x=4$. ОДЗ: $4+3=7>0$, подходит.

Заметь разницу в условиях у двух формул. В $a^{{\log }_{a}x}=x$ обязательно $x>0$, потому что под логарифмом не может стоять неположительное число. А в ${\log }_a(a^x)=x$ ограничений нет: показательная функция $a^x$ всегда положительна, поэтому логарифм от неё определён при любом $x$. Эту асимметрию полезно держать в голове: первая формула требует проверки ОДЗ, вторая нет.

Распространённые ошибки

1. Считать $f^{-1}(x)=1/f(x)$. Это неверно. $f^{-1}$ — обратная функция, не обратное число. Например, ${\sin }^{-1}(x)=\arcsin x$, не $1/\sin x$.

2. Искать обратную для не-взаимно-однозначной функции. Если $f(x)=x^2$ без ограничения области, обратной нет. Если просто написать «$y=\pm \sqrt{x}$», это не функция (одному $x$ соответствуют два $y$).

3. Забыть про область определения. $f^{-1}$ определена только на $E(f)$. Если $f(x)=e^x$ имеет $E(f)=(0;+\infty )$, то $f^{-1}(x)=\ln x$ определена только при $x>0$.

4. Поменять переменные сразу, не выражая. Чтобы найти обратную, сначала выражаешь $x$ через $y$, потом обмениваешь местами обозначения. Если сразу написать «поменяю $x$ и $y$», без выражения это бессмысленно.

5. Считать графики f и f⁻¹ симметричными относительно осей или O. Симметрия — относительно прямой $y=x$ (биссектрисы I и III квадрантов).

Разобранный пример

Условие. Найди функцию, обратную к $f(x)=\frac{1}{x-2}$. Укажи $D(f^{-1})$.

Решение.

Шаг 1. Уравнение: $y=\frac{1}{x-2}$.

Шаг 2. Выражаем $x$ через $y$: $y(x-2)=1$, $x-2=\frac{1}{y}$, $x=\frac{1}{y}+2$.

Шаг 3. Обмениваем обозначения: $f^{-1}(x)=\frac{1}{x}+2$.

Область определения исходной: $D(f)=\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Область значений исходной: $E(f)=\mathbb{R}\setminus \{0\}$.

Тогда $D(f^{-1})=E(f)=\mathbb{R}\setminus \{0\}$.

Ответ. $f^{-1}(x)=\frac{1}{x}+2$, $D(f^{-1})=\mathbb{R}\setminus \{0\}$.

Разбор примеров

Три примера с нарастающей сложностью. Первый разобран целиком, во втором один шаг ты делаешь сам, в третьем за тобой основной костяк. Сначала смотришь, потом пробуешь.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Найди функцию, обратную к $y=3x-6$, и проверь результат композицией.

Решение. Алгоритм всегда один: выразить $x$ через $y$, потом переобозначить переменные.

Выражаем $x$: из $y=3x-6$ получаем $3x=y+6$, значит $x=\frac{y+6}{3}$.

Меняем обозначения (у обратной функции аргумент тоже принято звать $x$): $f^{-1}(x)=\frac{x+6}{3}$.

Проверяем композицией. Подставим обратную внутрь прямой:

$f(f^{-1}(x))=3\cdot \frac{x+6}{3}-6=(x+6)-6=x$

Получили тождество, значит обратная найдена верно.

Типичная ошибка. Сразу «поменять местами $x$ и $y$», не выразив $x$. Перестановка букв без алгебры ничего не даёт: сначала разворачиваешь зависимость, и только потом переименовываешь. Проверка композицией спасает от ошибок: если она дала $x$, обратная найдена точно.

Пример 2 (уровень Б, один шаг — сам). Найди обратную к $y=\frac{1}{x+1}$ и укажи $D(f^{-1})$.

Решение. Выражаем $x$ через $y$: умножаем обе части на $x+1$, получаем $y(x+1)=1$, тогда $x+1=\frac{1}{y}$, и $x=\frac{1}{y}-1$. Меняем обозначения: $f^{-1}(x)=\frac{1}{x}-1$.

Осталось найти область определения обратной. Вспомни ключевое правило про связь $D(f^{-1})$ и $E(f)$, и попробуй определить её сам.

Типичная ошибка. Взять $D(f^{-1})$ равной $D(f)$. Эти множества при обращении меняются местами: область определения обратной равна области значений исходной, а не её области определения.

Пример 3 (уровень В, костяк — сам). Реши уравнение $2^{{\log }_2(2x-1)}=5$.

Решение (skeleton).

Шаг 1. Узнай приём. Показательная и логарифмическая функции взаимно обратны, поэтому $a^{{\log }_{a}t}=t$ при $t>0$. Левая часть упростится, если основание степени и основание логарифма совпадают.

Шаг 2. Упрости левую часть и реши получившееся линейное уравнение.

Шаг 3. Проверь ОДЗ. Логарифм существует только при положительном аргументе, найди это условие и сверь с ответом.

Типичная ошибка. Применить свойство $a^{{\log }_{a}t}=t$, забыв проверить ОДЗ. Если бы корень оказался меньше $\frac{1}{2}$, его пришлось бы отбросить, потому что под логарифмом стояло бы неположительное число. ОДЗ выписывай до упрощения, а не после, тогда лишний корень не проскочит в ответ.

Типовые задачи ЕГЭ

Понятие обратной функции редко спрашивают «в лоб», но оно стоит за многими задачами 11 и 12. Разберём три частых формата.

Тип 1. Найти обратную к линейной или дробно-линейной. Для $y=5x+2$ выражаем $x$: $x=\frac{y-2}{5}$, значит $f^{-1}(x)=\frac{x-2}{5}$. Алгоритм одинаков для любой линейной функции с ненулевым $k$.

Тип 2. Упрощение через $a^{{\log }_{a}x}=x$ (задание 11). Это свойство сворачивает громоздкие выражения мгновенно. Например, $3^{{\log }_{3}7}=7$ напрямую, потому что аргумент логарифма положителен. Тот же приём раскручивает показательно-логарифмические уравнения.

Тип 3. Область определения обратной $D(f^{-1})=E(f)$. Если $f(x)=e^x$, то $E(f)=(0;+\infty )$, поэтому обратная $f^{-1}(x)=\ln x$ определена только при $x>0$. Область значений исходной диктует область определения обратной.

Что запомнить

• Обратная функция «отменяет» исходную: $f(f^{-1}(x))=x$.
• Существует только для взаимно однозначных (часто — монотонных) функций.
• Графики симметричны относительно $y=x$.
• $D$ и $E$ меняются местами.
• $a^x$ ↔ ${\log }_{a}x$, $x^2$ (на $[0;+\infty )$) ↔ $\sqrt{x}$, $\sin x$ (на $[-\pi /2;\pi /2]$) ↔ $\arcsin x$.

Связь с другими темами

• Показательная функция y=aˣ — обратная к логарифму.
• Логарифмическая функция y=log_a(x) — обратная к показательной.
• Функция корня y=√x — обратная к правой ветви $y=x^2$.
• Монотонность функции — условие существования обратной.