Показательная функция y=aˣ

Показательная функция — одна из ключевых для второй части ЕГЭ. На ней строятся показательные уравнения (задание 14) и многие текстовые задачи на проценты и сложный процент. Важно с ней разобраться плотно, потому что путаница в свойствах ведёт к неверным знакам и потерянным баллам.

Определение

Показательная функция — функция вида:

$y = a^x$

где $a > 0$ и $a \neq 1$, $x$ — переменная (показатель степени).

Условия на $a$:

• $a > 0$ — иначе $a^x$ не определена при некоторых дробных $x$ (например, $(-2)^{1/2} = \sqrt{-2}$ — нет в действительных).
• $a \neq 1$ — иначе $1^x = 1$, получается константа, а не показательная функция.

График показательной функции

График зависит от значения основания $a$:

Случай 1: $a > 1$. График идёт «вверх», круто растёт. Проходит через точки $(-1;\,1/a)$, $(0;\,1)$, $(1;\,a)$. При $x \to -\infty$ график подходит к оси $Ox$ снизу не пересекая её. При $x \to +\infty$ значения уходят в бесконечность.

Случай 2: $0 < a < 1$. График идёт «вниз», убывает. Проходит через те же точки $(-1;\,1/a)$, $(0;\,1)$, $(1;\,a)$. При $x \to -\infty$ значения уходят в бесконечность. При $x \to +\infty$ график подходит к оси $Ox$.

В обоих случаях:

• График всегда выше оси $Ox$.
• Проходит через точку $(0;\,1)$.
• Имеет горизонтальную асимптоту $y = 0$.

Свойства показательной функции

Свойства степеней (что нужно помнить)

Показательная функция использует свойства степеней. Минимальный набор для ЕГЭ:

$a^x \cdot a^y = a^{x+y} \qquad \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$

$(a^x)^y = a^{xy} \qquad (a \cdot b)^x = a^x \cdot b^x$

$a^0 = 1 \qquad a^{-x} = \frac{1}{a^x} \qquad a^{x/n} = \sqrt[n]{a^x}$

Подробный разбор — на странице Свойства степеней.

Применение в задании 14 ЕГЭ профиль

Задание 14 — показательное уравнение или неравенство. Базовый принцип:

Показательное уравнение. $a^{f(x)} = a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) = g(x)$ (потому что показательная функция взаимно однозначна — каждое значение принимается ровно при одном $x$).

Показательное неравенство. Здесь монотонность критична:

• Если $a > 1$: $a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) > g(x)$ (знак сохраняется, потому что функция возрастает).
• Если $0 < a < 1$: $a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) < g(x)$ (знак меняется, потому что функция убывает).

Это самая частая ошибка в задаче 14: забыть поменять знак при $0 < a < 1$.

Сравнение с логарифмической функцией

Показательная и логарифмическая функции — взаимно обратные:

$y = a^x \quad \Leftrightarrow \quad x = \log_a y$

Графики $y = a^x$ и $y = \log_a x$ симметричны относительно прямой $y = x$.

Подробнее на странице Логарифмическая функция.

Применение в задаче 11 ЕГЭ профиль

Задача 11 — на наибольшее/наименьшее значение. Если в функции есть слагаемое типа $a^x$ или $a^{f(x)}$, важно помнить:

• $a^x > 0$ всегда. Поэтому если ищем минимум функции, содержащей $a^x$, минимум обычно достигается в точке, где показатель минимальный (для $a > 1$) или максимальный (для $0 < a < 1$).

Пример. «Найти наименьшее значение функции $y = 3^{x^2 - 4x + 5} + 1$.»

Вся функция — возрастающая показательная от выражения $x^2 - 4x + 5$. Чтобы $y$ был минимален, нужно минимизировать показатель $x^2 - 4x + 5$. Это парабола ветвями вверх, минимум в вершине $x_0 = 2$. Значение в вершине: $4 - 8 + 5 = 1$. Тогда $y = 3^1 + 1 = 4$.

Натуральный логарифм и e

Особо важный случай — основание $a = e \approx 2{,}718$. Соответствующая функция $y = e^x$ называется экспонентой. Часто встречается в задачах на производную.

Производная экспоненты: $(e^x)' = e^x$ (единственная функция, которая равна своей производной).

Производная общего показательной функции: $(a^x)' = a^x \ln a$.

Распространённые ошибки

1. Не учитывать монотонность при решении неравенства. При $0 < a < 1$ знак меняется. Это самая частая ошибка в задаче 14: $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x > \dfrac{1}{8}$ → если просто опустить основание, получится $x > 3$, что неверно. Правильно: $x < 3$, потому что функция убывает.

2. Думать, что показательная функция может быть равна нулю или отрицательной. Никогда. $a^x > 0$ при любых $a > 0$ и любых $x$. Это сильное свойство, оно часто используется при решении уравнений: если в уравнении есть множитель $a^x$, его смело можно сокращать, корней не потеряем.

3. Путать $a^x$ и $x^a$. $a^x$ — показательная функция (переменная в показателе). $x^a$ — степенная функция (переменная в основании). Это разные функции с разными графиками и свойствами.

4. Считать, что $0^0 = 1$ или $0^0 = 0$. В школьной математике это неопределённость. Случай $a = 0$ не входит в показательную функцию, поэтому проблема не возникает.

5. Брать $a$ отрицательным. Например, рассматривать $y = (-2)^x$. Это не показательная функция: при $x = 1/2$ получим $\sqrt{-2}$ — не действительное число. Поэтому ограничение $a > 0$ обязательно.

Разобранный пример (задание 14 ЕГЭ)

Условие. Реши уравнение $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$.

Решение. Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Сделаем замену $t = 2^x$, тогда $t > 0$ (потому что $2^x > 0$).

Уравнение становится квадратным:

$t^2 - 5t + 4 = 0$

$D = 25 - 16 = 9, \quad t_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{2}$

$t_1 = 4$, $t_2 = 1$. Оба положительны, оба подходят.

Возвращаемся к $x$:

• $2^x = 4 \Rightarrow x = 2$;
• $2^x = 1 \Rightarrow x = 0$.

Ответ. $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

Что запомнить

• Формула: $y = a^x$, $a > 0$, $a \neq 1$.
• $D(f) = \mathbb{R}$, $E(f) = (0;\,+\infty)$.
• Проходит через $(0;\,1)$.
• Асимптота $y = 0$.
• $a > 1$ — возрастает, $0 < a < 1$ — убывает.
• При решении неравенств помни про знак: при $0 < a < 1$ знак меняется.
• $a^x > 0$ всегда.

Связь с другими темами

• Логарифмическая функция y=log_a(x) — обратная к показательной.
• Свойства степеней — основа для работы с показательной функцией.
• Показательные уравнения — задание 14 ЕГЭ.
• Монотонность функции — общая теория, частный случай — показательная.