Функция y=|x|: график-уголок

Функция модуля — самая простая нелинейная функция, у которой график не гладкий. Один излом в начале координат, симметрия относительно оси $Oy$, и легко преобразуется. Понимание этой функции помогает в задачах с параметром и при работе с кусочными функциями.

Почему модулю уделяют столько внимания? Потому что это первая встреча школьника с идеей «функция, заданная по-разному на разных кусках». До модуля все функции были одной формулой на всей области. А модуль вынуждает рассуждать так: «если число положительное — делаю одно, если отрицательное — другое». Эта привычка раздваивать рассуждение по знаку — фундамент для уравнений и неравенств с модулем, для задач с параметром, а позже и для кусочно-заданных функций в целом.

Есть два взгляда на модуль, и оба полезны. Алгебраический: модуль — это «число без знака», результат всегда неотрицательный. Геометрический: модуль — это расстояние до нуля на числовой прямой, а расстояние не бывает отрицательным. Геометрический взгляд особенно выручает в задачах на сумму модулей: вместо громоздкого раскрытия по интервалам можно просто рассуждать про расстояния между точками. Держи в голове обе картинки — на экзамене они переключаются в зависимости от задачи.

Определение

Функция модуля (или функция абсолютной величины) — функция вида:

$y=|x|$

По определению, модуль числа задаётся кусочно:

$|x|=\{\begin{array}{ll}x,& \text{если }x\ge 0\\ -x,& \text{если }x<0\end{array}$

Это значит, что для неотрицательных $x$ модуль совпадает с самим числом, а для отрицательных — берёт его без знака.

Геометрически $|x|$ — расстояние от точки $x$ на числовой прямой до нуля. Расстояние всегда неотрицательно, поэтому $|x|\ge 0$ для любого $x$.

График функции y = |x|

График — уголок (буква V) с вершиной в начале координат:

• При $x\ge 0$: прямая $y=x$ (биссектриса I и III квадрантов).
• При $x<0$: прямая $y=-x$ (биссектриса II и IV квадрантов).

Вершина уголка — точка $(0;0)$. Угол при вершине прямой ($90°$).

Свойства

Преобразования графика

Сдвиг вправо/влево. $y=|x-a|$ — график $y=|x|$, сдвинутый на $a$ единиц вправо (если $a>0$). Вершина теперь в точке $(a;0)$.

Сдвиг вверх/вниз. $y=|x|+b$ — график $y=|x|$, сдвинутый на $b$ единиц вверх (если $b>0$). Вершина в $(0;b)$.

Растяжение. $y=a|x|$ — растяжение по вертикали в $|a|$ раз. При $a<0$ — отражение относительно $Ox$, получается «перевёрнутый» уголок (вершина — максимум).

Свойства модуля

Минимальный набор для уравнений и неравенств:

$|a|=\{\begin{array}{ll}a,& a\ge 0\\ -a,& a<0\end{array}$

$|a|\ge 0|a|=|-a|$

$|a\cdot b|=|a|\cdot |b|\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|},b\ne 0$

$|a+b|\le |a|+|b|\text{(неравенство треугольника)}$

$\sqrt{a^2}=|a|$

Подробный разбор — на странице Свойства модуля.

Кусочное определение

Многие выражения с модулем легко раскрыть, разбив числовую прямую на интервалы. Для $y=|x-3|+|x+1|$:

• При $x<-1$: $|x-3|=-(x-3)$, $|x+1|=-(x+1)$. Получается $-2x+2$.
• При $-1\le x<3$: $|x-3|=-(x-3)$, $|x+1|=x+1$. Получается $4$.
• При $x\ge 3$: $|x-3|=x-3$, $|x+1|=x+1$. Получается $2x-2$.

Это кусочно-линейная функция. На промежутке $[-1;3]$ она постоянна и равна $4$. Минимум функции — $4$, достигается на всём этом отрезке.

Разберём, откуда берётся метод интервалов для модулей, потому что понимание тут важнее заучивания. Каждый модуль «переключается» в одной точке — там, где выражение под ним обращается в ноль. Для $|x-3|$ переключение в точке $x=3$, для $|x+1|$ — в точке $x=-1$. Эти точки разбивают числовую прямую на участки, и на каждом участке знаки всех подмодульных выражений уже определены и не меняются. Значит, на каждом участке можно раскрыть все модули по их знаку и получить обычную линейную формулу без модулей.

Дальше всё механически: выписываешь границы (нули подмодульных выражений), упорядочиваешь их на прямой, и на каждом из получившихся промежутков подставляешь правильный знак. Получается «склейка» из прямых отрезков — отсюда и название кусочно-линейная. График такой функции — ломаная линия, и её изломы стоят как раз в точках переключения модулей. Этот метод универсален: он работает с любым числом модулей, надо лишь аккуратно разметить прямую.

Почему у графика именно излом, а не плавный поворот? Потому что слева и справа от точки переключения функция — это две разные прямые с разными наклонами. В точке стыка они встречаются, но «гладко перетечь» одна в другую не могут — наклон меняется скачком. Из-за этого скачка наклона в точке излома не существует производной: касательную нельзя провести однозначно, ведь слева и справа она была бы разной.

Применение в задании 11 ЕГЭ

Задача типа: «найти наименьшее значение функции $y=|x-1|+|x+4|$.»

Геометрически $|x-1|$ — расстояние от $x$ до $1$, $|x+4|$ — расстояние от $x$ до $-4$. Сумма расстояний от $x$ до двух точек минимальна, когда $x$ лежит между ними. Тогда сумма равна расстоянию между точками: $|1-(-4)|=5$.

Ответ: $5$.

Это типичный геометрический приём для задач с суммой модулей.

Уравнения и неравенства с модулем

Уравнение $|f(x)|=a$. Если $a<0$ — нет решений. Если $a=0$ — $f(x)=0$. Если $a>0$ — два уравнения: $f(x)=a$ или $f(x)=-a$.

Неравенство $|f(x)|<a$. Если $a\le 0$ — нет решений. Если $a>0$ — двойное неравенство $-a<f(x)<a$.

Неравенство $|f(x)|>a$. Если $a<0$ — выполнено всегда (модуль неотрицателен). Если $a=0$ — выполнено при $f(x)\ne 0$. Если $a>0$ — $f(x)>a$ или $f(x)<-a$.

Как строить графики с модулем

Два преобразования с модулем встречаются на ЕГЭ постоянно, и их легко перепутать. Разберём словами, чем они отличаются, — это снимает большинство ошибок при построении.

Первое — внешний модуль, $y=|f(x)|$. Здесь модуль «надет» поверх всей функции. Правило построения наглядное: ту часть графика, что была выше оси $Ox$, оставляем как есть, а ту, что была ниже, отражаем вверх относительно оси $Ox$. Логика проста: модуль делает все значения неотрицательными, поэтому ничего ниже оси остаться не может — всё отрицательное «отскакивает» вверх.

Второе — внутренний модуль, $y=f(|x|)$. Здесь модуль стоит внутри, на аргументе. Правило другое: берём правую часть графика (где $x\ge 0$) и зеркалим её влево относительно оси $Oy$, а старую левую часть выбрасываем. Логика: $f(|x|)$ при отрицательном $x$ ведёт себя так же, как при положительном $-x$ — функция становится чётной, симметричной относительно $Oy$.

Чтобы не путать, держи мнемонику: внешний модуль работает с вертикалью (отражение вверх по $Ox$), внутренний — с горизонталью (зеркало по $Oy$). Внешний «поднимает», внутренний «удваивает правую половину». Когда в задаче встречаются оба сразу, например $y=|f(|x|)|$, преобразования делают по очереди, изнутри наружу: сначала разбираешься с внутренним модулем, потом надеваешь внешний.

Разбор примеров

Три примера: первый разобран полностью, во втором шаг за тобой, в третьем — основной костяк сам.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Реши уравнение $|2x-6|=4$.

Решение. Модуль равен положительному числу, значит раскрываем в два случая:

$2x-6=4$ или $2x-6=-4$.

Из первого: $2x=10$, $x=5$. Из второго: $2x=2$, $x=1$.

Оба корня подходят (модуль ничего не запрещает). Ответ: $x=1$ и $x=5$.

Типичная ошибка. Раскрыть только один случай, забыв про отрицательную ветвь, и потерять половину корней.

Пример 2 (уровень Б, один шаг — сам). Реши неравенство $|x+2|<5$.

Решение. Неравенство вида $|выражение|<a$ при положительном $a$ равносильно двойному неравенству $-a<выражение<a$.

Запиши двойное неравенство для нашего случая и реши его сам.

Типичная ошибка. Перепутать тип неравенства: при «меньше» получается один интервал между числами, а при «больше» — два луча в стороны.

Пример 3 (уровень В, костяк — сам). Найди наименьшее значение функции $y=|x-3|+|x+5|$.

Решение (skeleton).

Шаг 1. Переведи на язык расстояний: первое слагаемое — расстояние от $x$ до точки $3$, второе — до точки $-5$.

Шаг 2. Подумай, когда сумма расстояний минимальна: когда точка $x$ лежит между двумя данными точками.

Шаг 3. Посчитай минимум: он равен расстоянию между точками $3$ и $-5$.

Типичная ошибка. Кинуться раскрывать модули по интервалам и запутаться в знаках, хотя геометрический приём даёт ответ в одну строчку.

Типовые задачи ЕГЭ

Тип 1 (задание 7). Чтение графика с изломом. Если на графике виден характерный уголок, это сигнал про модуль и про то, что в точке излома производной нет. В задачах на касательную и производную такие точки нужно исключать.

Тип 2 (задание 11). Наименьшее значение суммы модулей. Почти всегда решается геометрически через сумму расстояний. Минимум достигается, когда переменная попадает в «коридор» между опорными точками, и равен расстоянию между крайними из них.

Тип 3 (задачи с параметром). Уравнение $|f(x)|=a$. Здесь важно перебрать случаи по знаку $a$: при отрицательном решений нет, при нуле — одно условие, при положительном — два. На этом строятся задачи, где спрашивают, при каких значениях параметра уравнение имеет заданное число корней.

Распространённые ошибки

1. Раскрывать модуль без условия. $|x-3|=x-3$ только при $x\ge 3$. При $x<3$ это $-(x-3)=3-x$. Без проверки знака получается ошибка.

2. Считать, что $|a+b|=|a|+|b|$. Это неравенство треугольника, не равенство. Равенство только при одинаковых знаках $a$ и $b$.

3. Брать $\sqrt{x^2}=x$. Правильно: $\sqrt{x^2}=|x|$. См. Функция корня.

4. Делить на $|x|$ забыв про $x=0$. На ноль делить нельзя; на $|x|$ — тоже, если $x=0$.

5. Думать, что $y=|x|$ имеет производную в нуле. Не имеет. В точке $x=0$ излом, касательная не определена.

Разобранный пример

Условие. Реши уравнение $|x-2|=5$.

Решение. Раскрываем модуль:

$x-2=5\text{или}x-2=-5$ $x=7\text{или}x=-3$

Ответ. $x_1=-3$, $x_2=7$.

Зачем модуль нужен дальше по программе

Может показаться, что функция-уголок — мелкая тема, которую можно проскочить. На деле модуль прорастает в самые дорогие задачи второй части ЕГЭ. В задании с параметром именно модуль чаще всего создаёт ту самую «вилку случаев», когда число корней уравнения меняется в зависимости от параметра. Графически это выглядит так: уголок $y=|x-a|$ движется по плоскости вместе с параметром, и количество его пересечений с другой линией скачет — а именно это и спрашивают в задаче.

Кроме того, модуль — это маленькая модель более общей идеи: непрерывная функция, у которой не везде есть производная. Когда в старших темах ты дойдёшь до исследования функций, точки излома придётся отлавливать наравне с нулями производной. Привычка, выработанная на простом уголке $y=|x|$, переносится туда без изменений. Поэтому потраченное здесь время окупается дважды: сначала на простых уравнениях с модулем, потом на сложных задачах с параметром и исследованием.

Что запомнить

• $|x|\ge 0$ всегда.
• График — уголок V с вершиной в $(0;0)$.
• $D(f)=\mathbb{R}$, $E(f)=[0;+\infty )$.
• Чётная функция, симметрия относительно $Oy$.
• $\sqrt{x^2}=|x|$, не $x$.
• $|a+b|\le |a|+|b|$ — неравенство треугольника.
• При раскрытии модуля — всегда условие на знак.

Связь с другими темами

• Линейная функция y=kx+b — функция модуля кусочно-линейна.
• Чётная и нечётная функция — $|x|$ — типичная чётная.
• Свойства модуля — техника работы.
• Преобразования графиков: отражение — построение $|f(x)|$ и $f(|x|)$.