Функция y=|x|: график-уголок

Функция модуля — самая простая нелинейная функция, у которой график не гладкий. Один излом в начале координат, симметрия относительно оси $Oy$, и легко преобразуется. Понимание этой функции помогает в задачах с параметром и при работе с кусочными функциями.

Определение

Функция модуля (или функция абсолютной величины) — функция вида:

$y = |x|$

По определению, модуль числа задаётся кусочно:

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \geq 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Это значит, что для неотрицательных $x$ модуль совпадает с самим числом, а для отрицательных — берёт его без знака.

Геометрически $|x|$ — расстояние от точки $x$ на числовой прямой до нуля. Расстояние всегда неотрицательно, поэтому $|x| \geq 0$ для любого $x$.

График функции y = |x|

График — уголок (буква V) с вершиной в начале координат:

• При $x \geq 0$: прямая $y = x$ (биссектриса I и III квадрантов).
• При $x < 0$: прямая $y = -x$ (биссектриса II и IV квадрантов).

Вершина уголка — точка $(0;\,0)$. Угол при вершине прямой ($90°$).

Свойства

Преобразования графика

Сдвиг вправо/влево. $y = |x - a|$ — график $y = |x|$, сдвинутый на $a$ единиц вправо (если $a > 0$). Вершина теперь в точке $(a;\,0)$.

Сдвиг вверх/вниз. $y = |x| + b$ — график $y = |x|$, сдвинутый на $b$ единиц вверх (если $b > 0$). Вершина в $(0;\,b)$.

Растяжение. $y = a|x|$ — растяжение по вертикали в $|a|$ раз. При $a < 0$ — отражение относительно $Ox$, получается «перевёрнутый» уголок (вершина — максимум).

Свойства модуля

Минимальный набор для уравнений и неравенств:

$|a| = \begin{cases} a, & a \geq 0 \\ -a, & a < 0 \end{cases}$

$|a| \geq 0 \qquad |a| = |-a|$

$|a \cdot b| = |a| \cdot |b| \qquad \left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}, \; b \neq 0$

$|a + b| \leq |a| + |b| \quad \text{(неравенство треугольника)}$

$\sqrt{a^2} = |a|$

Подробный разбор — на странице Свойства модуля.

Кусочное определение

Многие выражения с модулем легко раскрыть, разбив числовую прямую на интервалы. Для $y = |x - 3| + |x + 1|$:

• При $x < -1$: $|x - 3| = -(x - 3)$, $|x + 1| = -(x + 1)$. Получается $-2x + 2$.
• При $-1 \leq x < 3$: $|x - 3| = -(x - 3)$, $|x + 1| = x + 1$. Получается $4$.
• При $x \geq 3$: $|x - 3| = x - 3$, $|x + 1| = x + 1$. Получается $2x - 2$.

Это кусочно-линейная функция. На промежутке $[-1;\,3]$ она постоянна и равна $4$. Минимум функции — $4$, достигается на всём этом отрезке.

Применение в задании 11 ЕГЭ

Задача типа: «найти наименьшее значение функции $y = |x - 1| + |x + 4|$.»

Геометрически $|x - 1|$ — расстояние от $x$ до $1$, $|x + 4|$ — расстояние от $x$ до $-4$. Сумма расстояний от $x$ до двух точек минимальна, когда $x$ лежит между ними. Тогда сумма равна расстоянию между точками: $|1 - (-4)| = 5$.

Ответ: $5$.

Это типичный геометрический приём для задач с суммой модулей.

Уравнения и неравенства с модулем

Уравнение $|f(x)| = a$. Если $a < 0$ — нет решений. Если $a = 0$ — $f(x) = 0$. Если $a > 0$ — два уравнения: $f(x) = a$ или $f(x) = -a$.

Неравенство $|f(x)| < a$. Если $a \leq 0$ — нет решений. Если $a > 0$ — двойное неравенство $-a < f(x) < a$.

Неравенство $|f(x)| > a$. Если $a < 0$ — выполнено всегда (модуль неотрицателен). Если $a = 0$ — выполнено при $f(x) \neq 0$. Если $a > 0$ — $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.

Распространённые ошибки

1. Раскрывать модуль без условия. $|x - 3| = x - 3$ только при $x \geq 3$. При $x < 3$ это $-(x - 3) = 3 - x$. Без проверки знака получается ошибка.

2. Считать, что $|a + b| = |a| + |b|$. Это неравенство треугольника, не равенство. Равенство только при одинаковых знаках $a$ и $b$.

3. Брать $\sqrt{x^2} = x$. Правильно: $\sqrt{x^2} = |x|$. См. Функция корня.

4. Делить на $|x|$ забыв про $x = 0$. На ноль делить нельзя; на $|x|$ — тоже, если $x = 0$.

5. Думать, что $y = |x|$ имеет производную в нуле. Не имеет. В точке $x = 0$ излом, касательная не определена.

Разобранный пример

Условие. Реши уравнение $|x - 2| = 5$.

Решение. Раскрываем модуль:

$x - 2 = 5 \quad \text{или} \quad x - 2 = -5$ $x = 7 \quad \text{или} \quad x = -3$

Ответ. $x_1 = -3$, $x_2 = 7$.

Что запомнить

• $|x| \geq 0$ всегда.
• График — уголок V с вершиной в $(0;\,0)$.
• $D(f) = \mathbb{R}$, $E(f) = [0;\,+\infty)$.
• Чётная функция, симметрия относительно $Oy$.
• $\sqrt{x^2} = |x|$, не $x$.
• $|a + b| \leq |a| + |b|$ — неравенство треугольника.
• При раскрытии модуля — всегда условие на знак.

Связь с другими темами

• Линейная функция y=kx+b — функция модуля кусочно-линейна.
• Чётная и нечётная функция — $|x|$ — типичная чётная.
• Свойства модуля — техника работы.
• Преобразования графиков: отражение — построение $|f(x)|$ и $f(|x|)$.