Квадратичная функция и её график — парабола, вершина, ветви

Парабола — один из самых узнаваемых графиков в школьной математике. Квадратичная функция встречается в ЕГЭ профиля в заданиях 6, 15 и 18: прямо или скрыто, через замену переменной или параметрические конструкции. Разберём всё, что нужно знать, — от формулы вершины до канонической записи.

Стандартная запись и её смысл

Квадратичная функция:

$y = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0$

Здесь $a$, $b$, $c$ — числа (коэффициенты). Условие $a \neq 0$ обязательно: если $a = 0$, функция становится линейной.

График — парабола. Парабола симметрична, у неё есть одна особая точка — вершина.

Направление ветвей

Знак коэффициента $a$ определяет, куда «смотрят» ветви параболы:

• $a > 0$: ветви направлены вверх ↑, у функции есть минимум.
• $a < 0$: ветви направлены вниз ↓, у функции есть максимум.

Вершина параболы

Вершина — это точка перегиба, где функция принимает экстремальное значение. Координаты вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a}, \quad y_0 = c - \frac{b^2}{4a}$

Или проще: сначала найди $x_0$, потом подставь в функцию и вычисли $y_0 = f(x_0)$.

Ось симметрии — вертикальная прямая $x = x_0$. Парабола симметрична относительно неё: $f(x_0 + t) = f(x_0 - t)$ для любого $t$.

Каноническая форма

Любую квадратичную функцию можно записать через вершину:

$y = a(x - x_0)^2 + y_0$

Это каноническая форма. По ней сразу видно:

• Вершина: $(x_0, y_0)$.
• Направление ветвей: знак $a$.
• Сдвиг: парабола $y = ax^2$ сдвинута на $x_0$ по горизонтали и $y_0$ по вертикали.

Переход от стандартной записи к канонической — выделение полного квадрата:

$y = a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c$

Пересечение с осями

С осью $Oy$ (при $x = 0$)

$y = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c$

Точка пересечения с осью $Oy$: $(0, c)$.

С осью $Ox$ (нули функции)

Решаем уравнение $ax^2 + bx + c = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

• $D > 0$: две точки пересечения $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
• $D = 0$: одна точка (вершина на оси $Ox$), $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$.
• $D < 0$: пересечений нет (парабола целиком выше или ниже оси $Ox$).

Алгоритм построения параболы

1. Определи направление ветвей (знак $a$).
2. Найди вершину $(x_0, y_0)$.
3. Найди точку пересечения с $Oy$: $(0, c)$.
4. Найди пересечения с $Ox$ (при необходимости).
5. Нарисуй симметричную кривую через найденные точки.

Квадратичная функция на ЕГЭ

Задание 18 — параметрические задачи

Часто спрашивают: «При каком $k$ уравнение $ax^2 + bx + c = k$ имеет ровно одно решение?». Графический смысл: прямая $y = k$ касается параболы — значит $k$ равно значению в вершине. При $a > 0$: ровно одно решение при $k = y_0$.

Задание 15 — неравенства

Для $ax^2 + bx + c > 0$: строишь параболу, определяешь знак функции на каждом промежутке (метод интервалов).

Разбор примера

Задача. При каких значениях $k$ уравнение $x^2 - 4x + 3 = k$ имеет два различных решения?

Решение. Уравнение равносильно пересечению параболы $y = x^2 - 4x + 3$ с прямой $y = k$.

Вершина: $x_0 = 2$, $y_0 = 4 - 8 + 3 = -1$.

Ветви вверх ($a = 1 > 0$). Парабола имеет минимум $y_0 = -1$.

Два пересечения с прямой $y = k$ — при $k > -1$.

Ответ: $k > -1$.

Типичные ошибки

Неправильно определить знак вершины. Формула $y_0 = c - \dfrac{b^2}{4a}$ — не $c + \ldots$, а именно минус. Или просто подставляй $x_0$ в функцию.

Перепутать ось симметрии. Ось симметрии $x = x_0$ — это вертикальная прямая, не горизонтальная.

Забыть проверить $a \neq 0$. В задачах с параметром — проверяй отдельно случай $a = 0$.