Когда теорема Виета работает быстрее дискриминанта?

Когда коэффициенты целые и корни тоже целые (или простые рациональные). Если за 5 секунд видишь пару чисел с нужной суммой и произведением — Виета экономит время на вычисление дискриминанта и корня из него. В остальных случаях работает обычная формула.

Можно ли применять Виета к уравнению с нецелыми коэффициентами?

Да, теорема верна для любых действительных коэффициентов. Но техника подбора теряет смысл — если коэффициенты дробные или иррациональные, корни почти наверняка тоже такие, и перебирать пары уже не получится.

Что такое обратная теорема Виета?

Если два числа $x_1$ и $x_2$ в сумме дают $-p$, а в произведении $q$, то они являются корнями приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$. Это и есть принцип подбора корней — ищешь два числа с нужной суммой и произведением.

Как использовать Виета в задании 18?

В задачах с параметром теорема Виета позволяет сформулировать условия на корни, не решая уравнение явно. Например, «оба корня положительные» равносильно системе «дискриминант больше нуля, сумма корней положительна, произведение положительно».

Работает ли Виета для уравнений 3-й степени?

Да, но формулы сложнее. Для $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ сумма корней равна $-b/a$, сумма попарных произведений равна $c/a$, произведение всех трёх — $-d/a$. На школьном ЕГЭ этого не требуется — пригодится в вузовской математике и на олимпиадах.

Что такое приведённое квадратное уравнение?

Уравнение вида $x^2 + px + q = 0$, где коэффициент при $x^2$ равен 1. В приведённом виде теорема Виета звучит максимально просто: сумма корней $= -p$, произведение $= q$. Неприведённое уравнение всегда можно привести, разделив обе части на $a$.

Как быстро проверить решение через Виета?

Сложи найденные корни и сравни с $-b/a$. Перемножь и сравни с $c/a$. Если оба числа сходятся — решение верное. Проверка занимает 5 секунд и ловит 90% арифметических ошибок в дискриминанте.

Почему знак суммы корней — минус $p$?

Следствие раскрытия скобок $(x - x_1)(x - x_2) = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2$. Сравнивая с $x^2 + px + q$, получаем $-(x_1 + x_2) = p$, откуда $x_1 + x_2 = -p$.

Обязательно ли корни целые, чтобы применить Виета?

Сама теорема верна всегда, но техника подбора работает только для целых или простых дробных корней. Если пара чисел не подбирается за 10 секунд — переключайся на дискриминант.

Какую ошибку чаще всего делают на ЕГЭ с теоремой Виета?

Ищут корни с суммой $+p$ вместо $-p$. В формуле сумма корней равна $-p$, значит для $x^2 - 5x + 6 = 0$ сумма корней равна $+5$, а не $-5$. Будь внимателен к знакам.

Теорема Виета — формулы, подбор корней и задачи ЕГЭ

Теорема Виета — это зеркало дискриминанта. Она не заменяет формулу корней, но даёт альтернативу: подставил — проверил; подобрал — сразу нашёл. На ЕГЭ экономит 40–60 секунд на одну задачу, и в задании 18 без неё часто не обойтись.

Что такое теорема Виета

Теорема Виета — утверждение о связи коэффициентов квадратного уравнения и его корней. Сформулировал её французский математик Франсуа Виет в конце XVI века.

Формулировка. Если $x_{1}$ и $x_{2}$ — корни квадратного уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$ (при $a \neq = 0$ ), то:

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$

Сумма корней равна коэффициенту при $x$ , делённому на старший коэффициент, с противоположным знаком. Произведение корней равно свободному члену, делённому на старший коэффициент.

Формулы для приведённого уравнения

Приведённое квадратное уравнение — это уравнение, в котором старший коэффициент равен 1:

$x^{2} + p x + q = 0$

Для такого уравнения теорема Виета выглядит максимально просто:

$x_{1} + x_{2} = - p, x_{1} \cdot x_{2} = q$

Знак минус — ключевой момент. В приведённом уравнении коэффициент перед $x$ и есть $p$ , но в формуле суммы стоит $- p$ . Если в уравнении $+ 5 x$ , то сумма корней равна $- 5$ . Если $- 7 x$ , то сумма равна $+ 7$ .

Формулы для общего вида

Если уравнение не приведённое ( $a \neq = 1$ ), формулы теоремы Виета такие:

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$

Можно всегда привести уравнение к стандартному виду, разделив обе части на $a$ . Тогда $p = \frac{b}{a}$ , $q = \frac{c}{a}$ , и формулы работают в знакомой форме.

Обратная теорема Виета

Обратная теорема формулируется так: если числа $x_{1}$ и $x_{2}$ удовлетворяют системе

$x_{1} + x_{2} = - p, x_{1} x_{2} = q$

то они являются корнями уравнения $x^{2} + p x + q = 0$ .

Именно обратная теорема лежит в основе техники подбора. Если коэффициенты $p$ и $q$ целые, ты ищешь два числа с нужной суммой и произведением — и это и будут корни.

Техника подбора корней

Алгоритм подбора для уравнения $x^{2} + p x + q = 0$ с целыми коэффициентами:

Запиши, чему должны быть равны сумма и произведение корней. Сумма $= - p$ , произведение $= q$ .
Разложи $q$ на пары целых множителей. Если $q$ положительно — оба корня одного знака (определяется знаком суммы). Если $q$ отрицательно — корни разных знаков.
Проверь каждую пару: подходит ли сумма.
Как только нашёл пару — записываешь корни.

Пример техники. Уравнение $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ . Сумма корней $+ 5$ , произведение $+ 6$ . Разложения $6$ : $1 \cdot 6$ (сумма $7$ ), $2 \cdot 3$ (сумма $5$ ). Пара $2$ и $3$ подходит. Корни: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = 3$ .

Когда применять Виета, а когда дискриминант

Ситуация	Что выбрать
Приведённое уравнение, целые маленькие коэффициенты	Виета
Целые коэффициенты, но $∥ q ∥$ большое — трудно разложить	Дискриминант
Дробные, иррациональные коэффициенты	Дискриминант
Задача с параметром (анализ корней без решения)	Виета
Нужно проверить решение, найденное через дискриминант	Виета (как проверка)
Уравнение не приведено, целые коэффициенты кратны $a$	Разделить на $a$ , применить Виету

На ЕГЭ Виета особенно выручает в заданиях 13 и 18, где после замены переменной часто получается приведённое уравнение с простыми корнями.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). Реши уравнение $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ подбором.

Решение. Уравнение приведённое. Сумма корней $= 5$ , произведение $= 6$ . Ищем два числа: в произведении $6$ (оба положительные, так как сумма $+ 5$ ), в сумме $5$ . Это $2$ и $3$ .

Ответ: $x_{1} = 2$ , $x_{2} = 3$ .

Проверка. Сумма $2 + 3 = 5$ — совпадает с $- p$ . Произведение $2 \cdot 3 = 6$ — совпадает с $q$ . Верно.

Пример 2 (уровень Б). Реши уравнение $x^{2} + 7 x + 12 = 0$ подбором.

Решение. Приведённое. Сумма корней $= - 7$ , произведение $= 12$ . Оба корня отрицательны (иначе сумма не будет $- 7$ , а произведение — положительно). Разложения $12$ : $1 \cdot 12$ (сумма с минусами $- 13$ ), $2 \cdot 6$ (сумма $- 8$ ), $3 \cdot 4$ (сумма $- 7$ ). Пара $- 3$ и $- 4$ подходит.

Ответ: $x_{1} = - 3$ , $x_{2} = - 4$ .

Типичная ошибка. Искать пару с суммой $+ 7$ и получить «корни» $3$ и $4$ . Надо не забывать знак минус в формуле суммы.

Пример 3 (уровень В). Реши уравнение $2 x^{2} + 5 x - 3 = 0$ . Применима ли Виета напрямую?

Решение. Уравнение не приведённое ( $a = 2$ ). Есть два пути:

Путь 1. Привести. Делим на 2: $x^{2} + 2, 5 x - 1, 5 = 0$ . Сумма корней $- 2, 5$ , произведение $- 1, 5$ . Подбор не очевиден — коэффициенты дробные. Переключаемся на дискриминант.

Путь 2. Дискриминант. $D = 25 - 4 \cdot 2 \cdot (- 3) = 25 + 24 = 49$ . Корни: $x = \frac{- 5 \pm 7}{4}$ . Получаем $x_{1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ , $x_{2} = - 3$ .

Проверка через Виета. Сумма $\frac{1}{2} + (- 3) = - \frac{5}{2} = - \frac{b}{a}$ . Произведение $\frac{1}{2} \cdot (- 3) = - \frac{3}{2} = \frac{c}{a}$ . Оба равенства выполнены. Верно.

Типичная ошибка. Пытаться подбирать корни для неприведённого уравнения с дробными корнями. Когда коэффициенты кратны $a$ не целое число раз — дискриминант быстрее.

Типичные ошибки

Забывать знак минус у $p$ . Сумма корней равна $- p$ , а не $p$ . В приведённом $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ имеем $p = - 5$ , значит сумма $= 5$ . Если подумать, что «сумма $= p = - 5$ » — найдёшь неверные корни.
Применять Виета к неприведённому уравнению без деления на $a$ . В $2 x^{2} + 3 x + 1 = 0$ сумма корней $= - \frac{3}{2}$ , а не $- 3$ . Либо делишь на $a$ , либо сразу используешь формулы общего вида.
Не проверять дискриминант на неотрицательность. Если $D < 0$ , корней нет, и «подбор» даст ложный ответ. Прежде чем подбирать — оцени знак дискриминанта: если $q > 0$ и $∣ p ∣$ мало — $D$ может быть отрицательным.
Путать сумму и произведение. Сумма $= - p$ , произведение $= q$ . Если перепутать — получишь совсем не те числа.
Пытаться подбирать слишком долго. Если за 10 секунд пара не нашлась — переходи к дискриминанту. Время ЕГЭ ограничено.

Связь с другими темами

Квадратные уравнения — база, без которой теорема Виета не имеет смысла. Сначала уверенно решай через дискриминант, потом учись применять Виету как ускоритель.
Квадратные неравенства — в задании 15 теорема Виета помогает быстро определить знаки корней квадратного трёхчлена без полного решения.
Формулы сокращённого умножения — полезны при проверке: $(x - x_{1}) (x - x_{2})$ после раскрытия даёт исходный квадратный трёхчлен, если Виета применена корректно.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Задание 6 (уравнения и неравенства простые) — прямое применение для быстрого решения простых квадратных уравнений.
Задание 13 (уравнения с отбором корней) — после замены переменной часто получается приведённое квадратное уравнение, для которого Виета — самый быстрый способ.
Задание 18 (задачи с параметром) — Виета позволяет сформулировать условия на корни (оба положительные, разные знаки, больше данного числа) как систему неравенств, не решая уравнение явно.

Тренируй Виета на реальных задачах ЕГЭ

Сотик подберёт задания под твой уровень и покажет типичные ловушки

Начать бесплатно