Задание 9 ЕГЭ профильной математики — физический смысл производной

Разбор задания 9 ЕГЭ: скорость, ускорение, касательная к графику. Алгоритм решения и 3 полных примера.

Что проверяет задание 9 ЕГЭ

Задание 9 — это 1 первичный балл. Звучит скромно, но теряют его часто: либо путают производную с функцией, либо неправильно читают условие про касательную. При этом тема хорошо алгоритмизируется — разобраться один раз и больше не ошибаться вполне реально.

В задании 9 ЕГЭ бывает два устойчивых сюжета.

Сюжет 1. Тебе дают уравнение движения тела: $s(t)$ — путь в метрах, $t$ — время в секундах. Нужно найти скорость или ускорение в заданный момент времени.

Сюжет 2. Тебе дают график функции и просят найти что-то про касательную к нему в конкретной точке: угловой коэффициент, уравнение, значение наклона.

Оба сюжета решаются через производную. Разница только в том, как именно производная интерпретируется в условии.

Производная как скорость изменения

Производная $f'(x)$ в точке $x_0$ показывает, насколько быстро меняется функция в этот момент. Это главный физический смысл производной, и задание 9 ЕГЭ строится именно на нём.

Если $s(t)$ — координата тела в момент $t$, то:

$v(t) = s'(t)$

Скорость — производная пути по времени. Ускорение — производная скорости, то есть вторая производная пути:

$a(t) = v'(t) = s''(t)$

Алгоритм решения задач первого сюжета прямолинейный.

1. Запиши функцию $s(t)$ из условия.
2. Найди $s'(t)$ по стандартным правилам дифференцирования.
3. Подставь нужное значение $t$.
4. Запиши ответ с правильной единицей (м/с для скорости, м/с² для ускорения).

Задача на касательную к графику

Второй сюжет — касательная. Здесь нужно вспомнить одно определение и применить его механически.

Касательная к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ — прямая, которая проходит через точку $(x_0,\ f(x_0))$ и имеет угловой коэффициент $k = f'(x_0)$.

Уравнение касательной:

$y = f'(x_0)\cdot(x - x_0) + f(x_0)$

Всё задание сводится к этой формуле. Нужно найти $f'(x_0)$ и $f(x_0)$, подставить в шаблон.

Алгоритм:

1. Найди $f'(x)$.
2. Вычисли $f'(x_0)$ — это угловой коэффициент касательной.
3. Вычисли $f(x_0)$ — это ордината точки касания.
4. Подставь в уравнение.

Если в задании просят только угловой коэффициент — достаточно шага 2. Если просят уравнение — выполни все четыре шага.

Три примера

Пример 1. Скорость тела в момент времени

Условие. Тело движется по закону $s(t) = 3t^2 - 6t + 1$, где $s$ — метры, $t$ — секунды. Найди скорость тела в момент $t = 4$.

Решение.

Находим производную:

$s'(t) = 6t - 6$

Подставляем $t = 4$:

$v(4) = 6 \cdot 4 - 6 = 24 - 6 = 18$

Ответ: скорость в момент $t = 4$ равна $18$ м/с.

Пример 2. Угловой коэффициент касательной

Условие. Найди угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x) = x^3 - 2x + 5$ в точке $x_0 = 2$.

Решение.

Находим производную:

$f'(x) = 3x^2 - 2$

Подставляем $x_0 = 2$:

$f'(2) = 3 \cdot 4 - 2 = 12 - 2 = 10$

Ответ: угловой коэффициент касательной равен $10$.

Пример 3. Уравнение касательной

Условие. Составь уравнение касательной к графику $f(x) = \sqrt{x}$ в точке $x_0 = 4$.

Решение.

Находим производную:

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Вычисляем угловой коэффициент в точке $x_0 = 4$:

$f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}$

Вычисляем ординату точки касания:

$f(4) = \sqrt{4} = 2$

Подставляем в формулу касательной:

$y = \frac{1}{4}(x - 4) + 2 = \frac{1}{4}x - 1 + 2 = \frac{1}{4}x + 1$

Ответ: $y = \dfrac{1}{4}x + 1$.

Частые ошибки

Путают $f(x_0)$ и $f'(x_0)$. В уравнении касательной нужны оба: значение функции в точке касания и значение производной. Пропустить одно из них — значит получить неверное уравнение или вовсе бессмысленное выражение.

Неправильно дифференцируют. Формулы для корня, степени, тригонометрии надо знать наизусть. Ошибка при дифференцировании перечёркивает правильный алгоритм.

Подставляют $t$ не туда. При нахождении скорости $v = s'(t)$ нужно подставить $t$ в производную, а не в исходную функцию $s(t)$. Типовая ошибка: вычислил $s'(t)$, потом взял и посчитал $s(t_0)$.

Забывают знак ускорения. Если в задаче спрашивают ускорение, берут вторую производную. Если та оказывается отрицательной — тело тормозит. Минус важен, не отбрасывай его.

Не читают, что именно спрашивают. Иногда задание 9 ЕГЭ просит «в какой момент скорость равна нулю» вместо конкретного значения. Тогда нужно решить уравнение $s'(t) = 0$, а не подставлять $t$.

Задание 9 ЕГЭ профильной математики — это 1 первичный балл, который берётся алгоритмически. Два сюжета (физический процесс и касательная), одна формула уравнения касательной, три шага дифференцирования — и задача решена. Отработай оба сюжета по 5–7 раз, чтобы действия дошли до автоматизма.

Все разборы заданий ЕГЭ по математике

Это разбор одного из 19 заданий профильного ЕГЭ. Посмотри полный гид по всем заданиям с темами и баллами — удобно использовать как карту подготовки.

Соседние задания по порядку в работе:

• ← Задание 8: текстовая задача
• → Задание 10: вероятность сложных событий

Пригодится для подготовки к части 1:

• Все формулы профильной математики
• Типичные ошибки на ЕГЭ по математике

Частые вопросы