Задание 8 ЕГЭ профильной математики — текстовая задача по шагам

Разбор задания 8 ЕГЭ: движение, работа, сплавы и проценты. Шаблон составления уравнения и 3 полных примера.

Что проверяет задание 8 ЕГЭ

Задание 8 — единственная текстовая задача в первой части профильного ЕГЭ по математике. Оно приносит 1 первичный балл, и это делает его обязательным для всех, кто метит выше базового порога. Нет ничего обиднее, чем потерять балл на задаче, у которой есть понятный алгоритм.

Суть проверки проста: умеешь ли ты перевести словесный сюжет в уравнение, решить его и дать ответ в нужных единицах. Математика здесь несложная — в пределах 8–9 класса. Трудность в другом: задача сформулирована так, чтобы запутать. Много чисел, несколько объектов, несколько действий. Без системы в тексте легко утонуть.

Четыре сюжета встречаются в задании 8 чаще всего:

• движение (встречное, вдогонку, по течению/против течения);
• работа и производительность;
• сплавы, растворы, смеси;
• проценты, вклады и скидки.

Каждый сюжет решается через одну и ту же механику: таблица условий — уравнение — ответ.

Универсальный алгоритм: таблица условий

Самая частая ошибка — пытаться «держать всё в голове» или составлять уравнение с первой строки. Это ловушка. Текст специально написан так, чтобы в нём терялись.

Работай по трёхшаговому алгоритму.

Шаг 1. Определи, что за сюжет. Читаешь условие и сразу определяешь тип: движение, работа, сплав или проценты. От типа зависит, какую формулу-основу ты положишь в таблицу.

Шаг 2. Заполни таблицу условий. Это не опциональный шаг — это фундамент. Для каждого объекта (человека, поезда, раствора) пишешь строку. Столбцы зависят от сюжета.

Шаг 3. Поставь переменную и запиши уравнение. Обозначь неизвестное через $x$. Таблица уже показывает, какие ячейки выражаются через $x$. Условие связи между объектами даёт само уравнение.

Движение: встречное, вдогонку, по течению

Задачи на движение строятся вокруг одной формулы: $S = v \cdot t$.

Встречное движение: два объекта движутся навстречу друг другу. Их расстояния складываются и дают полное расстояние между ними.

Вдогонку: один догоняет другого. Разность пройденных расстояний — это фора, которую нужно сократить.

По течению / против течения: скорость лодки по течению — это скорость лодки плюс скорость течения, против — минус скорость течения. Сама скорость течения или скорость лодки и будет переменной.

Типичная схема таблицы для задачи «по течению»:

Расстояния равны, значит $(v + u) \cdot t_1 = (v - u) \cdot t_2$.

Работа и производительность

Здесь основная формула: $A = P \cdot t$, где $A$ — объём работы, $P$ — производительность, $t$ — время.

Ключевой приём: если задание не указывает объём работы явно, принимай его за 1 (целое задание, весь бассейн, весь путь). Тогда производительность — это «доля работы за единицу времени».

Если рабочий делает задание за $n$ дней, его производительность $P = \dfrac{1}{n}$. Если работают вместе два человека с производительностями $P_1$ и $P_2$, суммарная производительность $P_1 + P_2$.

Таблица для задачи «две трубы наполняют бассейн»:

Уравнение: $\dfrac{t}{a} + \dfrac{t}{b} = 1$.

Сплавы и проценты

Задачи на сплавы и смеси пугают больше всего, хотя механика элементарна. Сохраняется масса вещества (не процент, а именно масса): сколько граммов серебра было до смешивания, столько и осталось после.

Столбец «масса вещества» — это произведение общей массы на долю:

$m_{\text{вещества}} = m_{\text{смеси}} \times \frac{p}{100}$

Уравнение связывает массы вещества до и после:

$m_1 \cdot p_1 + m_2 \cdot p_2 = (m_1 + m_2) \cdot p_3$

Задачи на проценты (скидки, вклады, рост цены) решаются через коэффициент изменения. Рост на 20% — умножение на $1{,}2$. Скидка 15% — умножение на $0{,}85$. Два последовательных изменения перемножаются.

Три примера с решением

Пример 1. Движение по течению

Условие. Лодка прошла 36 км по течению и 20 км против течения за одинаковое время. Скорость течения — 2 км/ч. Найди собственную скорость лодки.

Решение.

Пусть собственная скорость лодки — $x$ км/ч. Заполняем таблицу:

Время одинаково:

$\frac{36}{x+2} = \frac{20}{x-2}$

$36(x-2) = 20(x+2)$

$36x - 72 = 20x + 40$

$16x = 112 \implies x = 7$

Ответ: 7 км/ч.

Пример 2. Работа: два рабочих

Условие. Первый рабочий делает заказ за 12 дней, второй — за 18 дней. За сколько дней они выполнят заказ вместе?

Решение.

Производительность первого: $\dfrac{1}{12}$, второго: $\dfrac{1}{18}$.

Пусть вместе работают $x$ дней:

$\frac{x}{12} + \frac{x}{18} = 1$

Приводим к общему знаменателю (36):

$\frac{3x}{36} + \frac{2x}{36} = 1 \implies \frac{5x}{36} = 1 \implies x = \frac{36}{5} = 7{,}2$

Ответ: 7,2 дня.

Пример 3. Сплавы

Условие. Смешали 300 г сплава с долей серебра 40% и 200 г сплава с долей серебра 10%. Какова доля серебра в получившемся сплаве?

Решение.

Масса серебра в первом сплаве: $300 \times 0{,}4 = 120$ г. Масса серебра во втором: $200 \times 0{,}1 = 20$ г. Итого серебра: $120 + 20 = 140$ г. Итого сплава: $300 + 200 = 500$ г.

$p = \frac{140}{500} = 0{,}28 = 28\%$

Ответ: 28%.

Частые ошибки

Потеря единиц. Скорость в км/ч, время в минутах — и уравнение уже неверное. Всегда проверяй единицы перед тем, как ставить знак равенства.

Переменная не то, о чём спрашивают. Обозначил скорость как $x$, а вопрос про время. Решил уравнение, нашёл $x$ — и забыл вычислить время. Читай финальный вопрос задачи ещё раз после того, как нашёл переменную.

В задачах на сплавы — складывают проценты, а не массы. Ошибка: $40\% + 10\% = 50\%$ и делить на два. Это неверно. Складывай только граммы вещества, а потом дели на общую массу.

Отрицательный или нулевой ответ. Если $x$ вышло отрицательным или нулевым — где-то ошибка в уравнении или знаках. Скорость, время, масса физически не могут быть отрицательными.

Неверная запись скорости лодки. Путаница «по течению» и «против»: по течению скорость выше, против — ниже. Если получилось наоборот — проверь, не перепутал ли строки в таблице.

Закрыть задание 8 без ошибок проще, если ты уже знаком с типичными подводными камнями всего экзамена. О них подробнее в статье Типичные ошибки ЕГЭ по математике. А чтобы не тратить на одно задание 8 слишком много времени на экзамене — читай про распределение времени в стратегии тайм-менеджмента.

Как тренировать задание 8 ЕГЭ

Текстовые задачи — тот случай, когда количество точно переходит в качество. Первые 10 задач по каждому сюжету ты будешь решать медленно и с ошибками. Начиная с 15-й — уже почти на автомате. К 30-й по одному сюжету условие переводится в таблицу за 30 секунд.

План тренировки, который реально работает:

1. Неделя 1 — движение. Разбери 10 задач на встречное движение и 10 — на движение вдогонку. На 20-й задаче уже не должно быть ошибок с направлением и знаками скорости.
2. Неделя 2 — работа. 15 задач на двух рабочих/две трубы и 5 задач на «сколько времени потратит, если…». Главное — закрепить, что производительность суммируется, а время — нет.
3. Неделя 3 — движение по реке. 10 задач на скорость по и против течения. Обрати внимание на задачи с плотом — у плота своя скорость, равная скорости течения.
4. Неделя 4 — сплавы и проценты. 15 задач с разными сюжетами: смеси, сплавы, растворы, банковские проценты. Проверь, что ты уверенно переводишь «увеличилось на X%» в множитель $(1 + X/100)$.

Ещё один рабочий приём: решай задачу дважды — один раз быстро с таблицей, второй раз — молча в уме, проверяя ход мысли. Первый прогон даёт ответ, второй — обнаруживает глупые ошибки в арифметике и учит распознавать тип задачи с первого взгляда. К реальному экзамену ты должен узнавать сюжет за три секунды чтения условия.

Отдельный совет про контрольную проверку. Когда нашёл ответ, подставь его обратно в условие задачи (не в уравнение, а в исходные слова): «если скорость велосипедиста 12 км/ч, то за 4 часа он проедет 48 км — сходится с условием?». Эта проверка занимает 20 секунд и ловит большинство арифметических промахов, особенно в задачах на движение.

Все разборы заданий ЕГЭ по математике

Это разбор одного из 19 заданий профильного ЕГЭ. Посмотри полный гид по всем заданиям с темами и баллами — удобно использовать как карту подготовки.

Соседние задания по порядку в работе:

• ← Задание 7: производная по графику
• → Задание 9: физический смысл производной

Пригодится для подготовки к части 1:

• Все формулы профильной математики
• Типичные ошибки на ЕГЭ по математике