Задание 1 ЕГЭ профильной математики — базовая планиметрия по шагам

Разбор задания 1 ЕГЭ: треугольники, четырёхугольники, окружности и углы. Алгоритм решения, частые ловушки и 2 полных примера с ответами.

Что проверяет задание 1 ЕГЭ и сколько баллов

Задание 1 ЕГЭ профильной математики — первое в части 1 и единственное, где баллы стоят буквально дороже затраченного времени. За верный ответ ты получаешь 1 первичный балл. Времени уходит, как правило, 3–5 минут: нужно нарисовать или мысленно представить фигуру и применить одно-два базовых свойства.

Тема всегда одна: планиметрия. Плоские фигуры: треугольники, четырёхугольники, окружности, углы при секущих и вписанных многоугольниках. Никакой стереометрии, никакой тригонометрии с отбором корней — только плоские конфигурации и свойства, которые проходят в 8–9 классе.

Почему это задание важно? Потому что теряют на нём многие. Не из-за незнания формул, а из-за арифметических ошибок, невнимательного чтения условия и классических ловушек с «очевидными» фигурами. Разберём всё по порядку.

Типовые конфигурации: треугольники, четырёхугольники, окружности

В задании 1 встречается три основных класса задач. Понимание того, к какому классу относится твоя задача, уже даёт половину решения.

Треугольники. Чаще всего тебе дают стороны или углы и просят найти что-то одно: угол при основании равнобедренного треугольника, длину высоты прямоугольного треугольника, медиану. Реже — радиус вписанной или описанной окружности. Ключевые инструменты: теорема Пифагора, свойства равнобедренного треугольника, формула площади.

Четырёхугольники. Здесь чаще встречаются параллелограммы, прямоугольники, ромбы и трапеции. Типичная задача: дана трапеция со средней линией, найди сторону или площадь. Или: в прямоугольнике проведена диагональ, найди угол. Основные инструменты: свойства параллельных сторон, средняя линия, диагонали.

Окружности и углы. Здесь самые интересные ловушки. Вписанные и центральные углы, хорды, касательные, два круга. Ключевой факт: вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Его забывают или путают направление.

Отдельная подкатегория: углы при параллельных прямых и секущей. Накрест лежащие, соответственные, односторонние. Здесь ошибки реже, если ты помнишь три базовых факта.

Ключевые свойства, которые обязаны быть в голове

Не нужно знать всю школьную планиметрию. Нужен компактный набор фактов, которые покрывают 90% вариантов задания 1.

Треугольники:

• Сумма углов треугольника: $180°$.
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• Теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$ для прямоугольного треугольника.
• Медиана к гипотенузе прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы.

Четырёхугольники:

• Сумма углов любого четырёхугольника: $360°$.
• В параллелограмме противолежащие углы равны, смежные — в сумме дают $180°$.
• Диагонали прямоугольника равны. Диагонали ромба перпендикулярны.
• Средняя линия трапеции: $m = \dfrac{a + b}{2}$.

Окружности:

• Центральный угол равен градусной мере дуги.
• Вписанный угол равен половине центрального угла на той же дуге.
• Угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую эта хорда стягивает.
• Диаметр, опирающийся на вписанный угол, даёт угол $90°$.

Эти 12 фактов — твой минимум. Знай их наизусть, и задание 1 превратится в технический прогон.

Два полных примера с решением

Пример 1. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ угол при вершине $B$ равен $40°$. Найди угол $BAC$.

Решение.

Обозначим угол при вершине $B$ как $\angle B = 40°$.

Поскольку треугольник равнобедренный с основанием $AC$, стороны $AB = BC$. Значит, углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

Сумма углов треугольника:

$\angle BAC + \angle BCA + \angle B = 180°$

$2 \cdot \angle BAC + 40° = 180°$

$\angle BAC = \dfrac{180° - 40°}{2} = 70°$

Ответ: $70°$.

Пример 2. Точка $O$ — центр окружности. Хорда $AB$ стягивает дугу $AB$, не содержащую точки $C$. Вписанный угол $\angle ACB = 35°$. Найди центральный угол $\angle AOB$.

Решение.

По теореме о вписанном и центральном углах: центральный угол вдвое больше вписанного, если оба опираются на одну дугу.

$\angle AOB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 35° = 70°$

Ответ: $70°$.

Частые ловушки и как их обходить

Задание 1 кажется простым — и именно это делает его опасным. Вот три ловушки, на которые попадаются чаще всего.

Ловушка 1: неявный равнобедренный треугольник. На чертеже треугольник выглядит произвольным, но в условии сказано, что две стороны равны. Или наоборот: треугольник нарисован как равнобедренный, но по условию это не так. Всегда читай условие, а не смотри на рисунок. Рисунок в ЕГЭ схематичный, опираться на него как на точный нельзя.

Ловушка 2: «почти вписанный» угол. Тебе дают угол, который выглядит как вписанный, но вершина лежит не на окружности, а внутри неё или снаружи. Для вписанного угла вершина обязана быть строго на окружности. Если вершина внутри — угол вычисляется по другой формуле: он равен полусумме двух дуг. Если снаружи — полуразность.

Ловушка 3: радиус против диаметра. В задаче написано «радиус равен 6», а ты подставляешь в формулу диаметр. Или наоборот. Особенно часто это происходит в задачах на длину хорды и на вписанный угол, опирающийся на диаметр. Каждый раз, когда видишь слово «диаметр» или «радиус», зафиксируй это явно в черновике.

Ловушка 4: углы при параллельных прямых. Если в задаче две параллельные прямые и секущая, углы делятся на три пары: накрест лежащие (равны), соответственные (равны) и односторонние (в сумме $180°$). Ошибка в том, что ученики путают пары и прибавляют угол к $180°$, когда нужно просто скопировать его, и наоборот.

Как тренировать это задание до автоматизма

Задание 1 не требует глубокого понимания. Оно требует скорости и точности — а это навык, который строится только повторением.

Шаг 1: зафиксируй 12 ключевых фактов. Выпиши их на один лист. Не заучивай механически — разбери каждый с одним примером. На это уйдёт один вечер.

Шаг 2: решай по одному заданию каждый день. Не пять сразу в выходные, а одно ежедневно. Регулярность важнее объёма. За 20 дней ты прокатаешь 20 задач и разберёшь все типовые конфигурации.

Шаг 3: разбирай ошибки сразу. Если ответ не совпал, не переходи к следующей задаче. Найди, где именно сломалось: неверный факт, арифметика, ошибка в чтении условия. Каждый разбор добавляет устойчивость.

Шаг 4: тренируй без чертежа. Когда конфигурация стала знакомой, попробуй решить без рисунка — только по тексту. Это ускоряет решение на экзамене и снижает зависимость от качества чертежа в КИМ.

Что дальше. Планиметрия в задании 1 — это фундамент. Когда разберёшься с ней, переходи к более объёмным темам: задание 1 ЕГЭ соседствует в части 1 с алгеброй и тригонометрией. Сверься с полным справочником формул для профильного ЕГЭ, чтобы проверить, что ничего не пропустил. А если хочешь понять, как устроено решение задач с уравнениями дальше в билете, — читай разбор задания 13 по тригонометрии.

Все разборы заданий ЕГЭ по математике

Это разбор одного из 19 заданий профильного ЕГЭ. Посмотри полный гид по всем заданиям с темами и баллами — удобно использовать как карту подготовки.

Соседние задания по порядку в работе:

• → Задание 2: простая вероятность

Пригодится для подготовки к части 1:

• Все формулы профильной математики
• Типичные ошибки на ЕГЭ по математике

FAQ