Задание 18 ЕГЭ профильной математики — задача с параметром по шагам

Разбор задания 18 ЕГЭ — задачи с параметром. Аналитический и графический методы, типовые сценарии, стратегия частичных баллов из 4.

Что такое «параметр» и зачем он в ЕГЭ

В задаче с параметром неизвестных сразу два: привычный $x$ и параметр $a$ (иногда $k$ или $\lambda$). Цель — не найти одно число, а описать все значения $x$ в зависимости от $a$. Ответ выглядит не как «$x = 3$», а как «при $a > 2$ решений нет, при $a = 2$ решение одно, при $a < 2$ два решения».

Именно это сбивает с толку: нужно удержать в голове целое семейство уравнений или неравенств и описать поведение каждого случая. При этом логика задания строгая: ФИПИ проверяет, умеет ли ученик систематически разбивать область значений параметра на случаи и не терять ни одного.

Задание 18 завершает профильный ЕГЭ по математике. Его решают последним, времени обычно мало. Поэтому важно заходить в него со стратегией, а не вслепую.

Сколько баллов даёт задание 18 и как устроены критерии

За задание 18 можно получить 4 первичных балла — больше, чем за любое другое задание части 2, кроме задания 19.

Критерии оценивания делятся на пункты: «а» и «б» либо три отдельных шага. Типичная разбивка такая:

• полностью верное решение с обоснованием всех случаев — 4 балла;
• верное решение с пропуском одного пограничного случая — 3 балла;
• верный метод, верная основная часть, но ошибка в описании ответа — 2 балла;
• правильный ход, но ответ неверный или неполный — 1 балл;
• неверное начало или отсутствие решения — 0.

Это значит: задание 18 можно сдать частично. Даже 1–2 балла — это уже вклад в итоговый результат. Именно поэтому не стоит пропускать задачу с параметром насовсем: правильно выбранная стратегия позволяет зарабатывать баллы без полного решения.

Аналитический метод — когда подходит

Аналитический метод — классика: работаешь с уравнением или неравенством алгебраически, выражаешь $a$ через $x$ или наоборот, разбиваешь на случаи в зависимости от значений параметра.

Он хорошо работает, когда:

• уравнение линейное или квадратное относительно $x$;
• функция под параметром монотонная (показательная, степенная с фиксированным знаком);
• нужно найти количество решений уравнения, а не их конкретные значения.

Пример задачи. Найдите все значения $a$, при которых уравнение

$2x^2 - 4x + a = 0$

имеет два различных корня.

Шаг 1. Смотришь на уравнение как на квадратное относительно $x$. Два различных корня — значит, дискриминант строго положителен:

$D = 16 - 8a > 0$

Шаг 2. Решаешь неравенство:

$a < 2$

Ответ: при $a < 2$ уравнение имеет два различных корня.

Аналитика удобна своей строгостью: каждый шаг выводится из предыдущего без рисунков. Но она требует аккуратной работы со знаками и случаями — именно здесь чаще всего теряют баллы.

Графический метод — «плоскость (x; a)»

Графический метод работает иначе: ты строишь не график функции от $x$, а кривую на плоскости $(x;\, a)$, где по горизонтали откладывается $x$, а по вертикали — $a$.

Идея метода: перепиши уравнение так, чтобы $a$ стояло в левой части. Получится $a = f(x)$. Нарисуй этот график. Теперь вопрос «при каком $a$ уравнение имеет ровно одно решение» превращается в вопрос «при каком значении $a$ горизонтальная прямая $y = a$ пересекает кривую $a = f(x)$ ровно в одной точке».

Пример. Найдите все значения $a$, при которых уравнение

$|x^2 - 2x| = a$

имеет ровно три решения.

Шаг 1. Перепиши: $a = |x^2 - 2x|$.

Шаг 2. Разберись с внутренней функцией. $x^2 - 2x = x(x - 2)$. Это парабола с корнями $x = 0$ и $x = 2$, вершина в точке $(1;\, -1)$. После взятия модуля: $a = |x^2 - 2x|$.

Шаг 3. Нарисуй график $a = |x^2 - 2x|$ на плоскости $(x;\, a)$. Парабола отражается вверх: часть, которая была ниже нуля (отрезок $[0;\, 2]$), переворачивается.

Шаг 4. Проведи горизонтальную прямую $a = c$ и посчитай точки пересечения. Ровно три пересечения возникают тогда, когда прямая проходит через локальный максимум отражённой части при $x \in (0;\, 2)$, то есть через точку $(1;\, 1)$.

Шаг 5. Ответ: $a = 1$.

Плоскость $(x;\, a)$ — это полноценный инструмент, а не «лайфхак». На ней хорошо видно поведение семейства уравнений сразу для всех значений параметра.

Пример полного решения

Разберём задачу, где работают оба метода, и сравним скорость.

Задача. Найдите все значения $a$, при которых система

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ y = ax - 2 \end{cases}$

имеет хотя бы одно решение.

Аналитический путь. Подставляем $y = ax - 2$ в первое уравнение:

$x^2 + (ax - 2)^2 = 1$

$x^2 + a^2x^2 - 4ax + 4 = 1$

$(1 + a^2)x^2 - 4ax + 3 = 0$

Поскольку $1 + a^2 > 0$ при любом $a$, это всегда квадратное уравнение. Система имеет решение, когда дискриминант неотрицателен:

$D = 16a^2 - 12(1 + a^2) \geq 0$

$16a^2 - 12 - 12a^2 \geq 0$

$4a^2 \geq 12$

$a^2 \geq 3$

$a \leq -\sqrt{3} \quad \text{или} \quad a \geq \sqrt{3}$

Ответ: $a \in \left(-\infty;\, -\sqrt{3}\right] \cup \left[\sqrt{3};\, +\infty\right)$.

Графический взгляд для самопроверки. Геометрически задача — прямая $y = ax - 2$ касается или пересекает единичную окружность. Прямая проходит через точку $(0;\, -2)$, которая лежит вне окружности. Касание происходит, когда расстояние от центра $(0;\, 0)$ до прямой равно радиусу. Расстояние от $(0;\, 0)$ до прямой $ax - y - 2 = 0$ равно $\frac{2}{\sqrt{a^2 + 1}}$. Это должно быть не больше 1:

$\frac{2}{\sqrt{a^2 + 1}} \leq 1 \Rightarrow a^2 + 1 \geq 4 \Rightarrow a^2 \geq 3$

Совпадает — значит, решение верное.

Стратегия частичных баллов

Задание 18 — одно из тех, где разумная стратегия важнее попытки решить «до конца любой ценой».

Что даёт 1–2 балла без полного решения:

• Верно переформулировал условие: записал, что задача сводится к дискриминанту, расстоянию до прямой или числу пересечений графиков.
• Правильно нарисовал график $a = f(x)$ на плоскости $(x;\, a)$ с точными ключевыми точками (нули, экстремумы, поведение на бесконечности).
• Нашёл решение для одного из двух пунктов задачи (если задание разбито на «а» и «б»).
• Верно разобрал основной случай, но пропустил один граничный.

Что точно не даёт баллов:

• Хаотичная подстановка частных значений $a$ без вывода общего ответа.
• Неверное начало: например, взял дискриминант там, где нужна система.

Если на экзамене у тебя осталось 10 минут до конца, а задание 18 нетронуто: открой его, запиши условие в виде $a = f(x)$, набросай эскиз графика, сформулируй ответ для очевидного случая. Даже 1 балл лучше нуля.

Типичные ошибки

Делят на $a$ без проверки $a = 0$. Если ты делишь обе части на $a$, обязательно рассмотри случай $a = 0$ отдельно. Иначе теряешь целый класс решений.

Неправильно берут модуль. При $|x| = a$ ответ существует только при $a \geq 0$. Случай $a < 0$ нужно отдельно прописать как «решений нет».

Строят не ту плоскость. Классика: рисуют привычный график $y = f(x)$, а не $a = f(x)$. Метод работает только если по вертикали откладывается именно параметр.

Не проверяют граничные значения. «$a > 2$» и «$a \geq 2$» — разные ответы. Подставь граничное $a$ обратно в условие и убедись, что знак неравенства правильный.

Останавливаются после нахождения $D \geq 0$. Дискриминант — это только часть пути. После него нужно решить полученное неравенство относительно $a$ и записать ответ явно.

Задача с параметром сложная, но структурируемая — и задание 18 ЕГЭ берётся алгоритмом, а не интуицией. Это не магия и не олимпийский уровень: у неё есть алгоритм, и его можно освоить за несколько недель регулярной практики.

Изучи смежные задания, чтобы укрепить фундамент: Задание 19 — теория чисел и Все формулы ЕГЭ профильная математика помогут закрыть пробелы, которые мешают взять полные баллы в части 2.

Все разборы заданий ЕГЭ по математике

Это разбор одного из 19 заданий профильного ЕГЭ. Посмотри полный гид по всем заданиям с темами и баллами — удобно использовать как карту подготовки.

Соседние задания по порядку в работе:

• ← Задание 17: экономическая задача
• → Задание 19: теория чисел

Пригодится для подготовки к части 2:

• Все формулы профильной математики
• Типичные ошибки на ЕГЭ по математике