Задание 19 ЕГЭ профильной математики — теория чисел

Задание 19 ЕГЭ — самое дорогое в профильной математике. Разбираем приёмы теории чисел, последовательностей и оценок. Как брать хотя бы 1–2 балла из 4.

Что проверяет задание 19 и почему оно стоит 4 балла

Задание 19 — единственное в ЕГЭ по профильной математике, которое оценивается в 4 первичных балла. Для сравнения: задания 13–18 дают по 2 балла каждое. Это значит, что одно хорошо решённое 19 заменяет по весу два средних задания второй части.

Структура задания: три пункта — «а», «б», «в». Они оцениваются отдельно. Баллы выставляются по критериям: 1 балл за пункт «а», 1 балл за «б», 2 балла за «в». Итого 4. Пункты связаны по смыслу, но проверяются независимо. Это ключевая особенность: можно решить «а» и «б», получить 2 балла и при этом не тронуть «в» — и это уже хороший результат для большинства участников.

Тематика 19-го — дискретная математика в широком смысле. Чаще всего встречаются четыре типа задач:

• Делимость и остатки. Доказать, что выражение делится на заданное число; найти остаток от деления; исследовать делители.
• Числовые последовательности. Рекуррентные соотношения, суммы, свойства членов.
• Оценки числовых выражений. Доказать неравенство, найти наименьшее или наибольшее значение на множестве натуральных чисел.
• Математическая индукция и обобщения. Проверить формулу, доказать закономерность для всех натуральных $n$.

Олимпиадная математика здесь присутствует в виде стиля мышления, но не в виде конкретных олимпиадных тем. Большинство задач решается стандартными приёмами, которые можно выучить.

Три типовых сценария: делимость, последовательности, суммы

Делимость

Классический пример пункта «а»: доказать, что выражение $a_n = n^3 - n$ делится на 6 при любом натуральном $n$.

Решение. Разложим: $n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1) = (n-1) \cdot n \cdot (n+1)$.

Произведение трёх последовательных натуральных чисел всегда делится на $3! = 6$, потому что среди любых трёх последовательных чисел ровно одно кратно 3 и хотя бы одно кратно 2. Делимость доказана.

Алгоритм для таких задач: разложить выражение на множители, найти в них последовательные числа или другую структуру, гарантирующую делимость.

Последовательности

Пункт «б» часто просит найти все $n$, при которых член последовательности делится на заданное число, или доказать, что некий член всегда чётный.

Например: последовательность $b_1 = 1$, $b_{n+1} = b_n + 2n$. Найти $b_n$ в явном виде.

Выпишем первые члены: $b_1 = 1$, $b_2 = 1 + 2 = 3$, $b_3 = 3 + 4 = 7$, $b_4 = 7 + 6 = 13$. Разность $b_n - n^2$: $1 - 1 = 0$, $3 - 4 = -1$, $7 - 9 = -2$, $13 - 16 = -3$. Видно закономерность: $b_n = n^2 - (n - 1) = n^2 - n + 1$.

Проверка: $b_1 = 1 - 1 + 1 = 1$. $b_{n+1} = (n+1)^2 - (n+1) + 1 = n^2 + 2n + 1 - n - 1 + 1 = n^2 + n + 1$. С другой стороны, $b_n + 2n = n^2 - n + 1 + 2n = n^2 + n + 1$. Совпадает. Формула верна.

Суммы

Задачи на суммы требуют знания формул: сумма первых $n$ натуральных чисел, арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия. Часто просят оценить, при каком $n$ сумма превысит заданное значение.

Приёмы: оценка сверху и снизу

Оценка сверху и снизу — ключевой приём для пункта «в» и части пунктов «б». Смысл прост: если нужно доказать, что $f(n) \geq C$ при всех натуральных $n$, ищешь нижнюю оценку для каждого слагаемого или множителя.

Типичная схема. Предположим, задача: доказать, что $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)} < 1$ для всех натуральных $n$.

Используем разложение $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$.

Сумма телескопически сворачивается: $\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 1 - \frac{1}{n+1} < 1$.

Утверждение доказано. Пример, подтверждающий нестрогость оценки: при $n = 1$ сумма равна $\frac{1}{2}$, что меньше 1.

Запомни три инструмента оценок:

1. Телескопические суммы: $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$
2. Мажоранта/миноранта: заменить каждое слагаемое на большее или меньшее с известной суммой
3. Индукция: предположить, что оценка верна для $n$, и доказать для $n+1$

Приёмы: пример и контрпример

Некоторые пункты просят «доказать или опровергнуть» утверждение. Если оно неверное, достаточно одного контрпримера. Один конкретный $n$, при котором утверждение нарушается, закрывает вопрос полностью.

Если утверждение верное, контрпример не поможет — нужно доказательство для всех $n$. Именно здесь многие теряют баллы: приводят несколько «проверяющих» примеров вместо доказательства и рассчитывают на балл. Это не работает.

Правило: примеры проверяют, доказательство — доказывает. Три числа, которые подошли под формулу, не означают, что формула верна для всех натуральных $n$.

Как заработать частичные баллы — пункт «а», «б», «в»

Стратегия частичного зачёта работает так. Пункты нарастают по сложности: «а» обычно требует конкретного вычисления или одной проверки; «б» — обобщения или доказательства для частного случая; «в» — полного доказательства в общем виде.

Практически: если видишь задание 19 и не понимаешь «в», не паникуй. Разбери «а» и «б» полностью. Запиши решение аккуратно с пояснениями. Попробуй написать начало решения «в» — иногда эксперт даёт 1 балл за верное направление рассуждений, даже если оно не завершено.

Для ориентира: медианный результат по заданию 19 на реальном ЕГЭ — 1–2 балла, не 4. Это значит, что большинство участников берут ровно «а» или «а» и «б». Если ты стабильно решаешь оба — ты уже выше среднего.

Что нужно для пункта «а»:

• Знать определение кратности, остатка, признаков делимости
• Уметь раскладывать выражение на множители
• Проверить на числовом примере (обязательно подтвердить утверждение)

Что нужно для пункта «б»:

• Знать формулы сумм и рекуррентных последовательностей
• Уметь работать с индукцией или прямым преобразованием
• Грамотно оформить ход рассуждений

Что нужно для пункта «в»:

• Сильное владение одним из методов доказательства (индукция, оценка, комбинаторика)
• Умение работать с оценками сверху и снизу
• Опыт с аналогичными задачами из банка ФИПИ

Подборку всех формул, которые пригодятся в задании 19, найдёшь в статье «Все формулы ЕГЭ: профильная математика».

Типичные ошибки и критерии

Первая ошибка: проверка вместо доказательства. «Проверил для $n = 1, 2, 3, 4$ — всё делится, значит, делится всегда» — это 0 баллов за доказательство. Эксперт смотрит на общий аргумент, а не на набор чисел.

Вторая ошибка: оценка без примера или пример без оценки. Как уже сказано выше — обе части нужны одновременно.

Третья ошибка: оформление. Задание 19 оценивается по критериям ЕГЭ, где важно логическое связывание шагов. «Из этого следует», «так как», «по условию» — эти переходы нужны. Цепочка неравенств без пояснений часто засчитывается как неполное решение.

Четвёртая ошибка: незавершённый пункт «в». Многие пишут начало доказательства по индукции, формулируют шаг индукции, но не доводят его до конца. Эксперт не домысливает за тебя. Либо доводи до конца, либо останавливайся на «б».

Критерии оценивания по пунктам:

Итого 4. За половину «в» (верный ход, но незавершённое доказательство) иногда дают 1 из 2 баллов — зависит от критериев конкретного года. Этот момент описан подробнее в материале «Как сдать ЕГЭ на 87+ без репетитора».

Все разборы заданий ЕГЭ по математике

Это разбор одного из 19 заданий профильного ЕГЭ. Посмотри полный гид по всем заданиям с темами и баллами — удобно использовать как карту подготовки.

Соседние задания по порядку в работе:

• ← Задание 18: задача с параметром

Пригодится для подготовки к части 2:

• Все формулы профильной математики
• Типичные ошибки на ЕГЭ по математике

FAQ

Сколько баллов даёт задание 19?

4 первичных балла. Это максимум среди всех заданий профильной математики. Три пункта — «а», «б», «в» — с распределением 1 + 1 + 2.

Реально ли решить задание 19 без олимпиадной подготовки?

Пункты «а» и «б» — реально. Они требуют знания конкретных приёмов: разложение на множители, телескопические суммы, рекуррентные соотношения. Это материал, который учат. Пункт «в» сложнее: там нужна более высокая гибкость мышления, но при системной подготовке большинство типов «в» тоже разбираются за несколько недель.

Что такое «оценка + пример» и зачем это нужно?

Многие пункты «б» и «в» требуют доказать неравенство (оценку) и привести конкретное значение $n$, подтверждающее, что оценка точна или достигается. Оценка без примера показывает только половину картины. Пример без доказательства — это не доказательство. Оба элемента обязательны одновременно.

Можно ли получить 1 балл только за пункт «а»?

Да. Пункты оцениваются независимо. Если ты полностью и верно решил «а», а «б» и «в» не решал, — получишь 1 балл. Это лучше, чем 0, и в схеме набора баллов имеет значение.

Что писать, если не знаешь пункт «в»?

Оформи «а» и «б» полностью. Затем напиши начало пункта «в»: зафикси, что именно нужно доказать, какой метод планируешь использовать (например, математическая индукция), запиши базу индукции. Даже незавершённое рассуждение с верным направлением иногда даёт 1 балл. Пустое место не даёт ничего.