Уравнение ctg x = a

Уравнение $\mathrm{ctg}x=a$ — близкий родственник $\mathrm{tg}x=a$. Логика решения та же самая, но есть один важный нюанс: у обратной функции арккотангенса другая область значений, и из-за этого иначе записываются отрицательные значения. Разберём, где именно прячется отличие.

Общая формула

$\boxed{x=\mathrm{arcctg}a+\pi n,n\in \mathbb{Z}}$

где $\mathrm{arcctg}a$ — арккотангенс числа $a$, угол $\phi \in (0;\pi )$ такой, что $\mathrm{ctg}\phi =a$. Иными словами, из всех углов с котангенсом $a$ арккотангенс выбирает один-единственный, лежащий в интервале $(0;\pi )$. Этот угол называют главным значением, и от него отсчитывается серия корней. Сначала находишь главное значение $\mathrm{arcctg}a$, потом добавляешь все периоды $\pi n$ — и получаешь полный набор решений.

В отличие от $\mathrm{arctg}$, у $\mathrm{arcctg}$ область значений — открытый интервал $(0;\pi )$, не $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$. Это ключевое отличие, из которого следует всё остальное. Поскольку арккотангенс всегда лежит в $(0;\pi )$, он не бывает отрицательным. А значит, формула для отрицательных значений у него другая, не такая, как у нечётного арктангенса.

Геометрическая интерпретация

Котангенс $\mathrm{ctg}x$ можно представить как отношение «$x$-координаты к $y$-координате» точки на единичной окружности под углом $x$:

$\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$

Не определён там, где $\sin x=0$ (то есть при $x=\pi n$). В этих точках знаменатель обращается в ноль, и отношение теряет смысл. На единичной окружности это крайняя правая точка $(1;0)$ и крайняя левая $(-1;0)$, где синус равен нулю. Геометрически котангенс удобно представлять на горизонтальной касательной к окружности в верхней точке $(0;1)$: значение котангенса — это координата $x$ точки пересечения этой касательной с лучом из центра под углом. Чем ближе угол к $0$ или $\pi$, тем дальше точка пересечения уходит вдоль касательной, поэтому котангенс там стремится к бесконечности.

Значения арккотангенса (must know)

Свойство: $\mathrm{arcctg}(-a)=\pi -\mathrm{arcctg}(a)$.

Сравни эту таблицу с таблицей арктангенса. У арктангенса отрицательные значения симметричны положительным: $\mathrm{arctg}(-1)=-\frac{\pi }{4}$. У арккотангенса всё иначе: отрицательный аргумент даёт угол во второй части интервала, ближе к $\pi$. Например, $\mathrm{arcctg}(-1)=\frac{3\pi }{4}$, а не $-\frac{\pi }{4}$. Причина — область значений: арккотангенс обязан укладываться в $(0;\pi )$, где отрицательных углов нет вообще. Поэтому для отрицательного $a$ значение «отражается» от середины $\frac{\pi }{2}$ в верхнюю половину интервала. Запомнив этот механизм, ты больше не перепутаешь формулы двух обратных функций.

Почему период котангенса равен π

Котангенс, как и тангенс, повторяется через полоборота, а не через полный оборот. Причину видно из формулы $\mathrm{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$. У двух диаметрально противоположных точек окружности и синус, и косинус меняют знак одновременно, а их отношение знак сохраняет. Диаметрально противоположная точка достигается за угол $\pi$, поэтому котангенс возвращается к тому же значению уже через $\pi$. Это и есть период. Отсюда в формуле решения стоит $\pi n$, а не $2\pi n$, и забывать про это нельзя — иначе потеряешь половину корней.

Разбор примеров

Три примера с нарастающей самостоятельностью: первый разбираем целиком, во втором ты дописываешь шаг, в третьем — почти весь ход.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Реши уравнение $\mathrm{ctg}x=\sqrt{3}$.

Решение. Правая часть положительна, поэтому арккотангенс берётся прямо из таблицы: $\mathrm{arcctg}\sqrt{3}=\frac{\pi }{6}$. Подставляем в формулу:

$x=\frac{\pi }{6}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Типичная ошибка. Пишут период $2\pi n$. У котангенса, как и у тангенса, период $\pi$.

Ответ. $x=\frac{\pi }{6}+\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$.

Пример 2 (уровень Б, один шаг свёрнут). Реши уравнение $\mathrm{ctg}x=-1$.

Решение. Правая часть отрицательна, поэтому нужна формула для отрицательного аргумента. Попробуй сам применить $\mathrm{arcctg}(-a)=\pi -\mathrm{arcctg}a$.

Раскрытие: $\mathrm{arcctg}(-1)=\pi -\mathrm{arcctg}1=\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$. Подставляем:

$x=\frac{3\pi }{4}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Типичная ошибка. Берут $\mathrm{arcctg}(-1)=-\frac{\pi }{4}$ по аналогии с арктангенсом. Это неверно: арккотангенс не нечётный, его значения лежат в $(0;\pi )$.

Ответ. $x=\frac{3\pi }{4}+\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$.

Пример 3 (уровень В, skeleton с self-explanation). Реши уравнение $\mathrm{ctg}x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ и найди корни на $[0;2\pi ]$.

Решение.

Шаг 1. Найди арккотангенс. Спроси себя: правая часть отрицательна, какую формулу применить? Через $\mathrm{arcctg}(-a)=\pi -\mathrm{arcctg}a$: $\mathrm{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\pi -\mathrm{arcctg}\frac{1}{\sqrt{3}}=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$. Общее решение $x=\frac{2\pi }{3}+\pi n$.

Шаг 2. Отбери корни на $[0;2\pi ]$. Спроси себя: какие $n$ дают корень в отрезке? При $n=0$: $x=\frac{2\pi }{3}\approx 2,09$ — входит. При $n=1$: $x=\frac{2\pi }{3}+\pi =\frac{5\pi }{3}\approx 5,24$ — входит. При $n=-1$: $x=-\frac{\pi }{3}$ — отрицательное, не входит. При $n=2$: $x\approx 8,38>2\pi$ — не входит.

Типичная ошибка. Применяют для отрицательного $a$ формулу арктангенса и получают $-\frac{\pi }{6}$ вместо $\frac{2\pi }{3}$. Это смещает все корни и даёт неверный ответ при отборе на отрезке.

Ответ. на отрезке $[0;2\pi ]$ корни $x=\frac{2\pi }{3}$ и $x=\frac{5\pi }{3}$.

Заметь, как естественно легли корни на отрезок: первый в начале, второй ровно через период $\pi$. Это типичная картина для уравнения с тангенсом или котангенсом на отрезке длиной $2\pi$ — обычно ровно два корня, отстоящих друг от друга на $\pi$. Если у тебя получилось иначе, например три корня или один, это повод перепроверить вычисления и период серии.

График котангенса и решение уравнения

Полезно держать в голове график $y=\mathrm{ctg}x$. Он состоит из отдельных ветвей, каждая на промежутке $(\pi k;\pi +\pi k)$. На каждой ветви котангенс монотонно убывает от $+\infty$ до $-\infty$, а между ветвями стоят вертикальные асимптоты в точках $x=\pi k$, где $\sin x=0$ и котангенс не определён.

Это важное отличие от тангенса: тангенс на своих ветвях растёт, а котангенс убывает. Решение уравнения $\mathrm{ctg}x=a$ — это точки пересечения с горизонтальной прямой $y=a$. Каждая ветвь пробегает все значения от $+\infty$ до $-\infty$, поэтому прямая $y=a$ пересекает ровно одну точку на каждой ветви. Точки повторяются через период $\pi$ и складываются в одну серию $\mathrm{arcctg}a+\pi n$. Как и у тангенса, серия одна, и решение существует при любом $a$.

Уравнения вида ctg(kx + b) = a

Действуем по той же схеме, что и с тангенсом:

1. Замена $y=kx+b$.
2. Решаем $\mathrm{ctg}y=a$, получаем $y=\mathrm{arcctg}a+\pi n$.
3. Возвращаемся: $kx+b=\mathrm{arcctg}a+\pi n$ и выражаем $x$.

При делении на коэффициент $k$ период серии тоже делится на $k$, превращаясь из $\pi n$ в $\frac{\pi n}{k}$. Это то же правило, что и у тангенса: коэффициент при $x$ сжимает период серии. Забыть про это деление — частая ошибка, которая стоит половины корней.

Пример. Реши $\mathrm{ctg}\left(2x+\frac{\pi }{6}\right)=1$.

Замена $y=2x+\frac{\pi }{6}$, уравнение $\mathrm{ctg}y=1$, откуда $y=\frac{\pi }{4}+\pi n$. Возвращаемся:

$2x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{4}+\pi n\Rightarrow 2x=\frac{\pi }{12}+\pi n\Rightarrow x=\frac{\pi }{24}+\frac{\pi n}{2}$

Период серии стал $\frac{\pi n}{2}$, потому что мы делили на $k=2$.

Связь с тангенсом

Котангенс — это обратное число к тангенсу: $\mathrm{ctg}x=\frac{1}{\mathrm{tg}x}$ при $\mathrm{tg}x\ne 0$. Из этой связи следует альтернативный способ решения.

Уравнение $\mathrm{ctg}x=a$ при $a\ne 0$ эквивалентно $\mathrm{tg}x=\frac{1}{a}$. То есть можно перевернуть правую часть и решить через тангенс, которым многие владеют увереннее.

Пример. $\mathrm{ctg}x=\frac{1}{2}\iff \mathrm{tg}x=2\Rightarrow x=\mathrm{arctg}2+\pi n$.

Здесь $\mathrm{arctg}2$ — нестандартное значение, его оставляют в ответе как есть. Это законная форма записи.

Важная оговорка: способ через тангенс работает только при $a\ne 0$. Если $a=0$, переходить к $\mathrm{tg}x=\frac{1}{0}$ нельзя — это бессмыслица. Уравнение $\mathrm{ctg}x=0$ означает $\cos x=0$, то есть $x=\frac{\pi }{2}+\pi n$. В этом частном случае решай напрямую, без перехода к тангенсу.

ОДЗ котангенса

$\mathrm{ctg}x$ не определён там, где $\sin x=0$, то есть при $x=\pi n$. Это запрещённые точки, асимптоты на графике. Если котангенс появился в результате преобразований, эти точки нужно держать в уме и при необходимости исключать.

В уравнениях вида $\mathrm{ctg}x=a$ всё складывается само собой: $\mathrm{arcctg}a$ лежит строго внутри интервала $(0;\pi )$, никогда не равен $0$ или $\pi$. Поэтому серия $\mathrm{arcctg}a+\pi n$ никогда не попадает в запрещённые точки $\pi n$. Корни автоматически в ОДЗ, дополнительной проверки не требуется. Но если котангенс получился из деления (например, на $\sin x$ при решении однородного уравнения), проверка ОДЗ становится обязательной: там можно случайно поделить на ноль и потерять или приобрести корни.

Применение в задаче 13 ЕГЭ

Задание 13 — тригонометрическое уравнение с отбором корней на отрезке. Уравнения с котангенсом встречаются реже тангенса, но методика их решения полностью совпадает: находишь арккотангенс, записываешь серию с периодом $\pi$, отбираешь корни. Главное отличие от тангенса — аккуратная работа с отрицательными значениями через формулу $\mathrm{arcctg}(-a)=\pi -\mathrm{arcctg}a$, как показано в Примере 3 выше. Именно на этом шаге чаще всего теряют балл, перепутав свойство арккотангенса со свойством арктангенса.

Котангенс также возникает как результат преобразований: например, при делении однородного уравнения на ${\sin }^{2}x$ вместо ${\cos }^{2}x$. Тогда уравнение сводится к виду $\mathrm{ctg}x=a$, и дальше работает формула этой темы.

Распространённые ошибки

1. Писать $\mathrm{arcctg}(-a)=-\mathrm{arcctg}(a)$. Правильно: $\mathrm{arcctg}(-a)=\pi -\mathrm{arcctg}(a)$. Арккотангенс не нечётный (в отличие от арктангенса).

2. Использовать формулу для $\mathrm{arctg}$ когда работаешь с $\mathrm{ctg}$. Хотя период один и тот же ($\pi$), значения $\mathrm{arctg}$ лежат в $(-\pi /2;\pi /2)$, а $\mathrm{arcctg}$ — в $(0;\pi )$. Разные ответы.

3. Перепутать котангенс и обратное к тангенсу. $\mathrm{ctg}x=\cos x/\sin x$ — это отдельная функция, отношение косинуса к синусу. Не путай её с обратной функцией к тангенсу: это совершенно разные понятия с разными свойствами.

4. Делить на ноль при переходе к $\mathrm{tg}$. $\mathrm{ctg}x=0$ означает $\cos x=0$, то есть $x=\frac{\pi }{2}+\pi n$. Не «$\mathrm{tg}x=\frac{1}{0}$» — это бессмыслица.

5. Забыть разделить период при коэффициенте $k$. В уравнении $\mathrm{ctg}(kx+b)=a$ период серии равен $\frac{\pi n}{k}$, а не $\pi n$.

Большинство этих ошибок растут из одного корня: ученик путает свойства котангенса со свойствами тангенса. Функции похожи, формулы решения структурно одинаковы, период один и тот же. Но область значений обратных функций разная, и поведение на отрицательных значениях разное. Держи в голове одно главное отличие — $\mathrm{arcctg}\in (0;\pi )$ против $\mathrm{arctg}\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ — и почти все ошибки отпадут.

Когда котангенс встречается на экзамене

В чистом виде уравнение $\mathrm{ctg}x=a$ в задании 13 встречается реже, чем тангенс. Но котангенс регулярно появляется как промежуточный результат. Самый частый случай — однородные тригонометрические уравнения, которые решают делением. Если делить на ${\sin }^{2}x$ вместо ${\cos }^{2}x$, уравнение сводится к котангенсу. Также котангенс возникает в задачах, где по условию удобнее работать с отношением косинуса к синусу, а не наоборот. Поэтому, даже если котангенс кажется второстепенной темой, владеть им нужно уверенно: пробел здесь всплывёт в самый неподходящий момент посреди сложной задачи.

Что запомнить

Уравнение $\mathrm{ctg}x=a$ решается формулой $x=\mathrm{arcctg}a+\pi n$ и имеет решение для любого $a$. Период серии $\pi$, как и у тангенса, серия одна. Главное отличие от тангенса — область значений арккотангенса $(0;\pi )$, из-за которой отрицательные значения записываются через $\mathrm{arcctg}(-a)=\pi -\mathrm{arcctg}a$, а не через минус. При $a\ne 0$ есть альтернатива через переход к тангенсу: $\mathrm{ctg}x=a\iff \mathrm{tg}x=\frac{1}{a}$. Краткий список:

• Формула: $x=\mathrm{arcctg}a+\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$.
• Период $\pi$.
• $\mathrm{arcctg}a\in (0;\pi )$.
• $\mathrm{arcctg}(-a)=\pi -\mathrm{arcctg}(a)$ (не «минус»).
• $\mathrm{arcctg}0=\frac{\pi }{2}$, $\mathrm{arcctg}1=\frac{\pi }{4}$, $\mathrm{arcctg}\sqrt{3}=\frac{\pi }{6}$.
• Альтернатива: при $a\ne 0$ через $\mathrm{tg}x=\frac{1}{a}$.

Связь с другими темами

Уравнение с котангенсом стоит рядом с уравнением с тангенсом и опирается на теорию обратных тригонометрических функций. Без понимания области значений арккотангенса легко перепутать формулы, поэтому стоит держать эти темы вместе.

• Уравнение tg x = a — пара к данному, симметричная по структуре, но с другой обратной функцией.
• Тригонометрические уравнения — общий метод и классификация типов.
• Однородные тригонометрические уравнения — где котангенс возникает при делении на ${\sin }^{2}x$.
• Арксинус, арккосинус, арктангенс — теория обратных функций, в которую входит и арккотангенс.