Уравнение ctg x = a

Уравнение $\ctg x = a$ — близкий родственник $\tg x = a$. Логика решения та же самая, но есть один важный нюанс: у обратной функции арккотангенса другая область значений, и из-за этого иначе записываются отрицательные значения. Разберём, где именно прячется отличие.

Общая формула

$\boxed{x = \arcctg a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}}$

где $\arcctg a$ — арккотангенс числа $a$, угол $\varphi \in (0;\,\pi)$ такой, что $\ctg \varphi = a$. Иными словами, из всех углов с котангенсом $a$ арккотангенс выбирает один-единственный, лежащий в интервале $(0;\,\pi)$. Этот угол называют главным значением, и от него отсчитывается серия корней. Сначала находишь главное значение $\arcctg a$, потом добавляешь все периоды $\pi n$ — и получаешь полный набор решений.

В отличие от $\arctg$, у $\arcctg$ область значений — открытый интервал $(0;\,\pi)$, не $\left(-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right)$. Это ключевое отличие, из которого следует всё остальное. Поскольку арккотангенс всегда лежит в $(0;\,\pi)$, он не бывает отрицательным. А значит, формула для отрицательных значений у него другая, не такая, как у нечётного арктангенса.

Геометрическая интерпретация

Котангенс $\ctg x$ можно представить как отношение «$x$-координаты к $y$-координате» точки на единичной окружности под углом $x$:

$\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$

Не определён там, где $\sin x = 0$ (то есть при $x = \pi n$). В этих точках знаменатель обращается в ноль, и отношение теряет смысл. На единичной окружности это крайняя правая точка $(1;\,0)$ и крайняя левая $(-1;\,0)$, где синус равен нулю. Геометрически котангенс удобно представлять на горизонтальной касательной к окружности в верхней точке $(0;\,1)$: значение котангенса — это координата $x$ точки пересечения этой касательной с лучом из центра под углом. Чем ближе угол к $0$ или $\pi$, тем дальше точка пересечения уходит вдоль касательной, поэтому котангенс там стремится к бесконечности.

Значения арккотангенса (must know)

Свойство: $\arcctg(-a) = \pi - \arcctg(a)$.

Сравни эту таблицу с таблицей арктангенса. У арктангенса отрицательные значения симметричны положительным: $\arctg(-1) = -\dfrac{\pi}{4}$. У арккотангенса всё иначе: отрицательный аргумент даёт угол во второй части интервала, ближе к $\pi$. Например, $\arcctg(-1) = \dfrac{3\pi}{4}$, а не $-\dfrac{\pi}{4}$. Причина — область значений: арккотангенс обязан укладываться в $(0;\,\pi)$, где отрицательных углов нет вообще. Поэтому для отрицательного $a$ значение «отражается» от середины $\dfrac{\pi}{2}$ в верхнюю половину интервала. Запомнив этот механизм, ты больше не перепутаешь формулы двух обратных функций.

Почему период котангенса равен π

Котангенс, как и тангенс, повторяется через полоборота, а не через полный оборот. Причину видно из формулы $\ctg x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$. У двух диаметрально противоположных точек окружности и синус, и косинус меняют знак одновременно, а их отношение знак сохраняет. Диаметрально противоположная точка достигается за угол $\pi$, поэтому котангенс возвращается к тому же значению уже через $\pi$. Это и есть период. Отсюда в формуле решения стоит $\pi n$, а не $2\pi n$, и забывать про это нельзя — иначе потеряешь половину корней.

Разбор примеров

Три примера с нарастающей самостоятельностью: первый разбираем целиком, во втором ты дописываешь шаг, в третьем — почти весь ход.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Реши уравнение $\ctg x = \sqrt{3}$.

Решение. Правая часть положительна, поэтому арккотангенс берётся прямо из таблицы: $\arcctg\sqrt{3} = \dfrac{\pi}{6}$. Подставляем в формулу:

$x = \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Типичная ошибка. Пишут период $2\pi n$. У котангенса, как и у тангенса, период $\pi$.

Ответ. $x = \dfrac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Пример 2 (уровень Б, один шаг свёрнут). Реши уравнение $\ctg x = -1$.

Решение. Правая часть отрицательна, поэтому нужна формула для отрицательного аргумента. Попробуй сам применить $\arcctg(-a) = \pi - \arcctg a$.

Раскрытие: $\arcctg(-1) = \pi - \arcctg 1 = \pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}$. Подставляем:

$x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Типичная ошибка. Берут $\arcctg(-1) = -\dfrac{\pi}{4}$ по аналогии с арктангенсом. Это неверно: арккотангенс не нечётный, его значения лежат в $(0;\,\pi)$.

Ответ. $x = \dfrac{3\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Пример 3 (уровень В, skeleton с self-explanation). Реши уравнение $\ctg x = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ и найди корни на $[0;\ 2\pi]$.

Решение.

Шаг 1. Найди арккотангенс. Спроси себя: правая часть отрицательна, какую формулу применить? Через $\arcctg(-a) = \pi - \arcctg a$: $\arcctg\!\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) = \pi - \arcctg\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}$. Общее решение $x = \dfrac{2\pi}{3} + \pi n$.

Шаг 2. Отбери корни на $[0;\ 2\pi]$. Спроси себя: какие $n$ дают корень в отрезке? При $n = 0$: $x = \dfrac{2\pi}{3} \approx 2{,}09$ — входит. При $n = 1$: $x = \dfrac{2\pi}{3} + \pi = \dfrac{5\pi}{3} \approx 5{,}24$ — входит. При $n = -1$: $x = -\dfrac{\pi}{3}$ — отрицательное, не входит. При $n = 2$: $x \approx 8{,}38 > 2\pi$ — не входит.

Типичная ошибка. Применяют для отрицательного $a$ формулу арктангенса и получают $-\dfrac{\pi}{6}$ вместо $\dfrac{2\pi}{3}$. Это смещает все корни и даёт неверный ответ при отборе на отрезке.

Ответ. на отрезке $[0;\ 2\pi]$ корни $x = \dfrac{2\pi}{3}$ и $x = \dfrac{5\pi}{3}$.

Заметь, как естественно легли корни на отрезок: первый в начале, второй ровно через период $\pi$. Это типичная картина для уравнения с тангенсом или котангенсом на отрезке длиной $2\pi$ — обычно ровно два корня, отстоящих друг от друга на $\pi$. Если у тебя получилось иначе, например три корня или один, это повод перепроверить вычисления и период серии.

График котангенса и решение уравнения

Полезно держать в голове график $y = \ctg x$. Он состоит из отдельных ветвей, каждая на промежутке $(\pi k;\ \pi + \pi k)$. На каждой ветви котангенс монотонно убывает от $+\infty$ до $-\infty$, а между ветвями стоят вертикальные асимптоты в точках $x = \pi k$, где $\sin x = 0$ и котангенс не определён.

Это важное отличие от тангенса: тангенс на своих ветвях растёт, а котангенс убывает. Решение уравнения $\ctg x = a$ — это точки пересечения с горизонтальной прямой $y = a$. Каждая ветвь пробегает все значения от $+\infty$ до $-\infty$, поэтому прямая $y = a$ пересекает ровно одну точку на каждой ветви. Точки повторяются через период $\pi$ и складываются в одну серию $\arcctg a + \pi n$. Как и у тангенса, серия одна, и решение существует при любом $a$.

Уравнения вида ctg(kx + b) = a

Действуем по той же схеме, что и с тангенсом:

1. Замена $y = kx + b$.
2. Решаем $\ctg y = a$, получаем $y = \arcctg a + \pi n$.
3. Возвращаемся: $kx + b = \arcctg a + \pi n$ и выражаем $x$.

При делении на коэффициент $k$ период серии тоже делится на $k$, превращаясь из $\pi n$ в $\dfrac{\pi n}{k}$. Это то же правило, что и у тангенса: коэффициент при $x$ сжимает период серии. Забыть про это деление — частая ошибка, которая стоит половины корней.

Пример. Реши $\ctg\!\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right) = 1$.

Замена $y = 2x + \dfrac{\pi}{6}$, уравнение $\ctg y = 1$, откуда $y = \dfrac{\pi}{4} + \pi n$. Возвращаемся:

$2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} + \pi n \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{12} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}$

Период серии стал $\dfrac{\pi n}{2}$, потому что мы делили на $k = 2$.

Связь с тангенсом

Котангенс — это обратное число к тангенсу: $\ctg x = \dfrac{1}{\tg x}$ при $\tg x \neq 0$. Из этой связи следует альтернативный способ решения.

Уравнение $\ctg x = a$ при $a \neq 0$ эквивалентно $\tg x = \dfrac{1}{a}$. То есть можно перевернуть правую часть и решить через тангенс, которым многие владеют увереннее.

Пример. $\ctg x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \tg x = 2 \Rightarrow x = \arctg 2 + \pi n$.

Здесь $\arctg 2$ — нестандартное значение, его оставляют в ответе как есть. Это законная форма записи.

Важная оговорка: способ через тангенс работает только при $a \neq 0$. Если $a = 0$, переходить к $\tg x = \dfrac{1}{0}$ нельзя — это бессмыслица. Уравнение $\ctg x = 0$ означает $\cos x = 0$, то есть $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$. В этом частном случае решай напрямую, без перехода к тангенсу.

ОДЗ котангенса

$\ctg x$ не определён там, где $\sin x = 0$, то есть при $x = \pi n$. Это запрещённые точки, асимптоты на графике. Если котангенс появился в результате преобразований, эти точки нужно держать в уме и при необходимости исключать.

В уравнениях вида $\ctg x = a$ всё складывается само собой: $\arcctg a$ лежит строго внутри интервала $(0;\,\pi)$, никогда не равен $0$ или $\pi$. Поэтому серия $\arcctg a + \pi n$ никогда не попадает в запрещённые точки $\pi n$. Корни автоматически в ОДЗ, дополнительной проверки не требуется. Но если котангенс получился из деления (например, на $\sin x$ при решении однородного уравнения), проверка ОДЗ становится обязательной: там можно случайно поделить на ноль и потерять или приобрести корни.

Применение в задаче 13 ЕГЭ

Задание 13 — тригонометрическое уравнение с отбором корней на отрезке. Уравнения с котангенсом встречаются реже тангенса, но методика их решения полностью совпадает: находишь арккотангенс, записываешь серию с периодом $\pi$, отбираешь корни. Главное отличие от тангенса — аккуратная работа с отрицательными значениями через формулу $\arcctg(-a) = \pi - \arcctg a$, как показано в Примере 3 выше. Именно на этом шаге чаще всего теряют балл, перепутав свойство арккотангенса со свойством арктангенса.

Котангенс также возникает как результат преобразований: например, при делении однородного уравнения на $\sin^2 x$ вместо $\cos^2 x$. Тогда уравнение сводится к виду $\ctg x = a$, и дальше работает формула этой темы.

Распространённые ошибки

1. Писать $\arcctg(-a) = -\arcctg(a)$. Правильно: $\arcctg(-a) = \pi - \arcctg(a)$. Арккотангенс не нечётный (в отличие от арктангенса).

2. Использовать формулу для $\arctg$ когда работаешь с $\ctg$. Хотя период один и тот же ($\pi$), значения $\arctg$ лежат в $(-\pi/2;\,\pi/2)$, а $\arcctg$ — в $(0;\,\pi)$. Разные ответы.

3. Перепутать котангенс и обратное к тангенсу. $\ctg x = \cos x / \sin x$ — это отдельная функция, отношение косинуса к синусу. Не путай её с обратной функцией к тангенсу: это совершенно разные понятия с разными свойствами.

4. Делить на ноль при переходе к $\tg$. $\ctg x = 0$ означает $\cos x = 0$, то есть $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$. Не «$\tg x = \dfrac{1}{0}$» — это бессмыслица.

5. Забыть разделить период при коэффициенте $k$. В уравнении $\ctg(kx + b) = a$ период серии равен $\dfrac{\pi n}{k}$, а не $\pi n$.

Большинство этих ошибок растут из одного корня: ученик путает свойства котангенса со свойствами тангенса. Функции похожи, формулы решения структурно одинаковы, период один и тот же. Но область значений обратных функций разная, и поведение на отрицательных значениях разное. Держи в голове одно главное отличие — $\arcctg \in (0;\,\pi)$ против $\arctg \in \left(-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right)$ — и почти все ошибки отпадут.

Когда котангенс встречается на экзамене

В чистом виде уравнение $\ctg x = a$ в задании 13 встречается реже, чем тангенс. Но котангенс регулярно появляется как промежуточный результат. Самый частый случай — однородные тригонометрические уравнения, которые решают делением. Если делить на $\sin^2 x$ вместо $\cos^2 x$, уравнение сводится к котангенсу. Также котангенс возникает в задачах, где по условию удобнее работать с отношением косинуса к синусу, а не наоборот. Поэтому, даже если котангенс кажется второстепенной темой, владеть им нужно уверенно: пробел здесь всплывёт в самый неподходящий момент посреди сложной задачи.

Что запомнить

Уравнение $\ctg x = a$ решается формулой $x = \arcctg a + \pi n$ и имеет решение для любого $a$. Период серии $\pi$, как и у тангенса, серия одна. Главное отличие от тангенса — область значений арккотангенса $(0;\,\pi)$, из-за которой отрицательные значения записываются через $\arcctg(-a) = \pi - \arcctg a$, а не через минус. При $a \neq 0$ есть альтернатива через переход к тангенсу: $\ctg x = a \Leftrightarrow \tg x = \dfrac{1}{a}$. Краткий список:

• Формула: $x = \arcctg a + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
• Период $\pi$.
• $\arcctg a \in (0;\,\pi)$.
• $\arcctg(-a) = \pi - \arcctg(a)$ (не «минус»).
• $\arcctg 0 = \dfrac{\pi}{2}$, $\arcctg 1 = \dfrac{\pi}{4}$, $\arcctg \sqrt{3} = \dfrac{\pi}{6}$.
• Альтернатива: при $a \neq 0$ через $\tg x = \dfrac{1}{a}$.

Связь с другими темами

Уравнение с котангенсом стоит рядом с уравнением с тангенсом и опирается на теорию обратных тригонометрических функций. Без понимания области значений арккотангенса легко перепутать формулы, поэтому стоит держать эти темы вместе.

• Уравнение tg x = a — пара к данному, симметричная по структуре, но с другой обратной функцией.
• Тригонометрические уравнения — общий метод и классификация типов.
• Однородные тригонометрические уравнения — где котангенс возникает при делении на $\sin^2 x$.
• Арксинус, арккосинус, арктангенс — теория обратных функций, в которую входит и арккотангенс.