Уравнение ctg x = a

Уравнение $\ctg x = a$ — пара к $\tg x = a$. Логика та же, но другой обратной функции (арккотангенс) область значений.

Общая формула

$\boxed{x = \arcctg a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}}$

где $\arcctg a$ — арккотангенс числа $a$, угол $\varphi \in (0;\,\pi)$ такой, что $\ctg \varphi = a$.

В отличие от $\arctg$, у $\arcctg$ область значений — открытый интервал $(0;\,\pi)$, не $(-\pi/2;\,\pi/2)$.

Геометрическая интерпретация

Котангенс $\ctg x$ можно представить как отношение «$x$-координаты к $y$-координате» точки на единичной окружности под углом $x$:

$\ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$

Не определён там, где $\sin x = 0$ (то есть при $x = \pi n$).

Значения арккотангенса (must know)

Свойство: $\arcctg(-a) = \pi - \arcctg(a)$.

Разобранный пример 1

Условие. Решить $\ctg x = \sqrt{3}$.

Решение. $\arcctg \sqrt{3} = \pi/6$.

$x = \frac{\pi}{6} + \pi n$

Ответ. $x = \dfrac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Разобранный пример 2

Условие. Решить $\ctg x = -1$.

Решение. $\arcctg(-1) = \pi - \arcctg(1) = \pi - \pi/4 = 3\pi/4$.

$x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$

Ответ. $x = \dfrac{3\pi}{4} + \pi n$.

Уравнения вида ctg(kx + b) = a

Аналогично тангенсу:

1. Замена $y = kx + b$.
2. $\ctg y = a$ → $y = \arcctg a + \pi n$.
3. $kx + b = \arcctg a + \pi n$ → выразить $x$.

Связь с тангенсом

$\ctg x = \dfrac{1}{\tg x}$ (где $\tg x \neq 0$).

Поэтому $\ctg x = a$ при $a \neq 0$ эквивалентно $\tg x = 1/a$. Это даёт альтернативный путь решения через тангенс:

Пример. $\ctg x = 1/2 \Leftrightarrow \tg x = 2 \Rightarrow x = \arctg 2 + \pi n$.

Здесь $\arctg 2$ — нестандартное значение, его обычно оставляют в ответе как есть.

ОДЗ

$\ctg x$ не определён при $x = \pi n$ ($\sin x = 0$). В формуле решения $x = \arcctg a + \pi n$ — все корни автоматически в ОДЗ, потому что $\arcctg a \in (0;\,\pi)$ — строго внутри интервала, никогда не равен $0$ или $\pi$.

Применение в задаче 13 ЕГЭ

Задание 13 — тригонометрическое уравнение с отбором. Уравнения с котангенсом встречаются реже тангенса, но методика идентична.

Пример. «Решите $\ctg x = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$. Найдите корни на $[0;\,2\pi]$.»

$\arcctg(-1/\sqrt{3}) = \pi - \arcctg(1/\sqrt{3}) = \pi - \pi/3 = 2\pi/3$.

Общее решение: $x = 2\pi/3 + \pi n$.

Отбор на $[0;\,2\pi]$:

• $n = 0$: $x = 2\pi/3 \approx 2{,}09$. ✓
• $n = 1$: $x = 2\pi/3 + \pi = 5\pi/3 \approx 5{,}24$. ✓
• $n = -1$: $x = 2\pi/3 - \pi = -\pi/3$. Не на отрезке.
• $n = 2$: $x = 2\pi/3 + 2\pi = 8\pi/3 \approx 8{,}38$. Не на $[0;\,2\pi] \approx [0;\,6{,}28]$.

Ответ. $x_1 = 2\pi/3$, $x_2 = 5\pi/3$.

Распространённые ошибки

1. Писать $\arcctg(-a) = -\arcctg(a)$. Правильно: $\arcctg(-a) = \pi - \arcctg(a)$. Арккотангенс не нечётный (в отличие от арктангенса).

2. Использовать формулу для $\arctg$ когда работаешь с $\ctg$. Хотя период один и тот же ($\pi$), значения $\arctg$ лежат в $(-\pi/2;\,\pi/2)$, а $\arcctg$ — в $(0;\,\pi)$. Разные ответы.

3. Перепутать котангенс и обратное к тангенсу. $\ctg x = \cos x / \sin x$, а $\arctg^{-1}$ (если бы такая была) — обратная функция к арктангенсу. Это разные понятия.

4. Делить на ноль при переходе к $\tg$. $\ctg x = 0$ означает $\cos x = 0$, то есть $x = \pi/2 + \pi n$. Не «$\tg x = 1/0$» — это бессмыслица.

Что запомнить

• Формула: $x = \arcctg a + \pi n$.
• Период $\pi$.
• $\arcctg a \in (0;\,\pi)$.
• $\arcctg(-a) = \pi - \arcctg(a)$ (не «минус»).
• $\arcctg 0 = \pi/2$, $\arcctg 1 = \pi/4$, $\arcctg \sqrt{3} = \pi/6$.
• Альтернатива: при $a \neq 0$ через $\tg x = 1/a$.

Связь с другими темами

• Уравнение tg x = a — пара к данному.
• Тригонометрические уравнения — общий метод.
• Арксинус, арккосинус, арктангенс — теория обратных функций.