Тригонометрические неравенства — методы решения

Что такое тригонометрическое неравенство

Тригонометрическое неравенство — это неравенство вида $\sin x > a$, $\cos x \leq a$, $\tg x < a$ и аналогичные. Решение — множество значений $x$, при которых неравенство выполняется.

Метод единой окружности: откладываем $a$ на ось ординат (для синуса) или на ось абсцисс (для косинуса), находим дуги, где функция «выше» или «ниже» нужного уровня, и записываем ответ как объединение промежутков.

Неравенства с синусом

sin x > a

На единичной окружности находим точки, где $\sin x = a$ — это $x = \arcsin a$ и $x = \pi - \arcsin a$.

Синус больше $a$ на дуге от $\arcsin a$ до $\pi - \arcsin a$ (верхняя полуокружность, если $a > 0$; большая дуга, если $a < 0$).

Решение при $-1 < a < 1$:

$\arcsin a + 2\pi k < x < \pi - \arcsin a + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Решение при $a \geq 1$: нет решений (синус не превышает 1).

Решение при $a \leq -1$: вся числовая ось, то есть $x \in \mathbb{R}$.

sin x ≥ a

Отличие от строгого неравенства — граничные точки включаются:

$\arcsin a + 2\pi k \leq x \leq \pi - \arcsin a + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

sin x < a и sin x ≤ a

Решение — дополнение до всей числовой оси:

$\pi - \arcsin a + 2\pi k < x < 2\pi + \arcsin a + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Это нижняя дуга единичной окружности.

Неравенства с косинусом

cos x > a

На окружности синус принимает значение $a$ при $x = \pm \arccos a$.

Косинус больше $a$ на дуге от $-\arccos a$ до $\arccos a$ (правая часть окружности).

Решение при $-1 < a < 1$:

$-\arccos a + 2\pi k < x < \arccos a + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

cos x < a

Косинус меньше $a$ вне указанной дуги:

$\arccos a + 2\pi k < x < 2\pi - \arccos a + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Пример. Решить $\cos x < -\frac{1}{2}$.

$\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Неравенства с тангенсом

Тангенс определён на $\left(-\dfrac{\pi}{2} + \pi n,\ \dfrac{\pi}{2} + \pi n\right)$, монотонно возрастает на каждом промежутке.

tg x > a

$\arctg a + \pi k < x < \dfrac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

tg x < a

$-\dfrac{\pi}{2} + \pi k < x < \arctg a + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Пример. Решить $\tg x < 1$.

$\arctg 1 = \dfrac{\pi}{4}$.

Ответ: $-\dfrac{\pi}{2} + \pi k < x < \dfrac{\pi}{4} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Как рисовать окружность для неравенств

Алгоритм для $\sin x > a$ (действия за 2 минуты):

1. Нарисуй единичную окружность, отметь оси.
2. На оси $Oy$ отметь точку $a$.
3. Проведи горизонталь $y = a$ — она пересечёт окружность в двух точках.
4. Левая точка — $x_1 = \arcsin a$, правая — $x_2 = \pi - \arcsin a$.
5. Дуга выше горизонтали — это область, где $\sin x > a$.
6. Запиши промежуток с периодом $2\pi k$.

Пример ЕГЭ: задание 12

Задача. Решить неравенство $\sin x > \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Решение:

$\arcsin \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\pi}{3}$.

Ответ: $\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \pi - \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

То есть $\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$.

Ошибка. Часто путают: пишут $\pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}$, но ставят знак «≤» вместо «<». Неравенство строгое — границы не включаются.

Пример ЕГЭ: задание 15

Задача. Найти наибольшее целое решение неравенства $\cos x > \dfrac{1}{2}$ на отрезке $[-2\pi;\ 0]$.

Решение:

$\arccos \dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi}{3}$.

Общее решение: $-\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k < x < \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$.

При $k = 0$: $-\dfrac{\pi}{3} < x < \dfrac{\pi}{3}$.

При $k = -1$: $-\dfrac{\pi}{3} - 2\pi < x < \dfrac{\pi}{3} - 2\pi$, то есть $-\dfrac{7\pi}{3} < x < -\dfrac{5\pi}{3}$.

На $[-2\pi;\ 0]$ попадает:

• Из $k = 0$: $x \in (-\frac{\pi}{3},\ \frac{\pi}{3})$ → пересечение с $[-2\pi, 0]$ даёт $(-\frac{\pi}{3},\ 0]$.
• Из $k = -1$: $x \in (-\frac{7\pi}{3},\ -\frac{5\pi}{3})$ → пересечение с $[-2\pi, 0]$ даёт $(-\frac{7\pi}{3},\ -\frac{5\pi}{3})$.

Наибольшее целое решение — из первого промежутка: $x < 0$, ближайшее целое $x = -1$ (так как $\frac{\pi}{3} \approx 1.047$, значит $-\frac{\pi}{3} \approx -1.047$, и $-1 > -1.047$ — входит).

Ответ: $x = -1$.

Типичные ошибки

Что запомнить

1. Синус: $\sin x > a$ — дуга сверху горизонтали $y = a$. Левая точка $\arcsin a$, правая $\pi - \arcsin a$.
2. Косинус: $\cos x > a$ — дуга справа от вертикали $x = a$. Границы $\pm \arccos a$.
3. Тангенс: монотонен на каждой полуволне, неравенство решается как обычное числовое на одном промежутке, потом добавляем $\pi k$.

Для подробных упражнений по отбору корней — Отбор корней тригонометрических уравнений.