Задание 12 ЕГЭ профиль: уравнения с отбором корней

Задание 12 — 4 балла за тригонометрическое уравнение с отбором корней по промежутку. Это то же уравнение из задания 13, но с дополнительным условием на промежуток. Разбираем все методы отбора.

Что проверяет задание 12

В задании 12 ЕГЭ нужно:

Решить тригонометрическое уравнение (общая серия корней)
Отобрать корни, принадлежащие заданному промежутку

Промежуток обычно задаётся явно: $[a\pi; b\pi]$ или $[-5; 5]$ и т.д.

Баллы: 4 (2 за метод + запись общего решения, 2 за правильный отбор).

Общая серия корней: быстрое повторение

Стандартные решения:

$\sin x = a$ ( $|a| \leq 1$ ): $x = (-1)^n \arcsin a + \pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$
$\cos x = a$ ( $|a| \leq 1$ ): $x = \pm \arccos a + 2\pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$
$\tan x = a$ : $x = \arctan a + \pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$

Для «красивых» значений ( $0, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{\sqrt{2}}{2}, \pm\frac{\sqrt{3}}{2}, \pm 1$ ) — выписывать через $\pi/6$ , $\pi/4$ , $\pi/3$ , $\pi/2$ .

Метод 1: Числовая прямая (подбор n)

Самый надёжный. Берёшь серию корней, подставляешь разные целые $n$ и проверяешь, попадает ли значение в промежуток.

Пример. Решить уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и найти корни на $[0; 3\pi]$ .

Общее решение: $x_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x_2 = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

Отбор: Серия $x_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ :

$n = 0$ : $x = \frac{\pi}{3} \approx 1{,}05$ — входит в $[0; 3\pi]$
$n = 1$ : $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} \approx 7{,}3$ — входит
$n = 2$ : $x = \frac{13\pi}{3} \approx 13{,}6 > 3\pi \approx 9{,}4$ — не входит

Серия $x_2 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$ :

$n = 0$ : $x = \frac{2\pi}{3}$ — входит
$n = 1$ : $x = \frac{8\pi}{3} \approx 8{,}4$ — входит
$n = 2$ : не входит

Ответ: $x = \frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}; \frac{7\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}$ .

Метод 2: Неравенство для n

Подходит, когда нужно найти все $n$ сразу. Подставляешь серию в неравенство промежутка и решаешь.

Пример. Та же задача. Серия $x_1 = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ должна попасть в $[0; 3\pi]$ :

$0 \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq 3\pi$

$-\frac{\pi}{3} \leq 2\pi n \leq \frac{8\pi}{3}$

$-\frac{1}{6} \leq n \leq \frac{4}{3}$

Целые $n$ : $n = 0$ и $n = 1$ . Аналогично для $x_2$ .

Метод 3: Единичная окружность (графический)

Для сложных задач, когда промежуток — это дуга окружности.

Метод удобен для промежутков типа $[-\pi; \pi]$ : рисуешь окружность, отмечаешь угол промежутка и смотришь, какие точки (корни) попадают на дугу.

Сложные уравнения перед отбором

Задание 12 может начинаться не с простого уравнения, а с более сложного:

Замена переменной: $\cos^2 x - \cos x - 2 = 0$ → $t = \cos x$ : $t^2 - t - 2 = 0$ , $t = 2$ (нет решений) или $t = -1$ , т.е. $\cos x = -1$ , $x = \pi + 2\pi n$ .

Разложение на множители: $\sin x \cdot \cos x = 0$ → $\sin x = 0$ или $\cos x = 0$ → $x = \pi n$ или $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ .

Типичные ошибки в задании 12

Ошибка 1. Найти общее решение правильно, но при отборе перепутать знак неравенства (строгое/нестрогое для открытого/закрытого промежутка).

Ошибка 2. Забыть одну серию корней (напр., из $\cos x = a$ две серии: $+\arccos a$ и $-\arccos a$ ).

Ошибка 3. При подстановке в неравенство ошибиться в делении: делить на $2\pi$ нужно обе части.

Ошибка 4. Принять $n$ не целым — $n$ всегда $\in \mathbb{Z}$ .

Ошибка 5. Не проверить граничные значения промежутка (входят или нет).

Чек-лист по заданию 12

Знаю общие формулы для $\sin x = a$ , $\cos x = a$ , $\tan x = a$
Умею составлять неравенство для отбора $n$
Помню: у $\cos x = a$ две серии корней
Проверяю граничные точки (входят ли $a$ и $b$ )
Записываю ответ перечислением корней

Связанные темы

Соты тренируют отбор корней как отдельный навык — не просто «реши уравнение», а «найди конкретные корни на промежутке». После нескольких сессий отбор перестаёт быть слабым местом.