Задание 12 ЕГЭ профиль: уравнения с отбором корней

Задание 12 — 4 балла за тригонометрическое уравнение с отбором корней по промежутку. Это то же уравнение из задания 13, но с дополнительным условием на промежуток. Разбираем все методы отбора.

Что проверяет задание 12

В задании 12 ЕГЭ нужно:

1. Решить тригонометрическое уравнение (общая серия корней)
2. Отобрать корни, принадлежащие заданному промежутку

Промежуток обычно задаётся явно: $[a\pi ;b\pi ]$ или $[-5;5]$ и т.д.

Баллы: 4 (2 за метод + запись общего решения, 2 за правильный отбор).

Общая серия корней: быстрое повторение

Стандартные решения:

• $\sin x=a$ ($|a|\le 1$): $x=(-1{)}^n\arcsin a+\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$
• $\cos x=a$ ($|a|\le 1$): $x=\pm \arccos a+2\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$
• $\tan x=a$: $x=\arctan a+\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$

Для «красивых» значений ($0,\pm \frac{1}{2},\pm \frac{\sqrt{2}}{2},\pm \frac{\sqrt{3}}{2},\pm 1$) — выписывать через $\pi /6$, $\pi /4$, $\pi /3$, $\pi /2$.

Метод 1: Числовая прямая (подбор n)

Самый надёжный. Берёшь серию корней, подставляешь разные целые $n$ и проверяешь, попадает ли значение в промежуток.

Пример. Решить уравнение $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ и найти корни на $[0;3\pi ]$.

Общее решение: $x_1=\frac{\pi }{3}+2\pi n,x_2=\pi -\frac{\pi }{3}+2\pi n=\frac{2\pi }{3}+2\pi n$

Отбор: Серия $x_1=\frac{\pi }{3}+2\pi n$:

• $n=0$: $x=\frac{\pi }{3}\approx 1,05$ — входит в $[0;3\pi ]$
• $n=1$: $x=\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{7\pi }{3}\approx 7,3$ — входит
• $n=2$: $x=\frac{13\pi }{3}\approx 13,6>3\pi \approx 9,4$ — не входит

Серия $x_2=\frac{2\pi }{3}+2\pi n$:

• $n=0$: $x=\frac{2\pi }{3}$ — входит
• $n=1$: $x=\frac{8\pi }{3}\approx 8,4$ — входит
• $n=2$: не входит

Ответ: $x=\frac{\pi }{3};\frac{2\pi }{3};\frac{7\pi }{3};\frac{8\pi }{3}$.

Метод 2: Неравенство для n

Подходит, когда нужно найти все $n$ сразу. Подставляешь серию в неравенство промежутка и решаешь.

Пример. Та же задача. Серия $x_1=\frac{\pi }{3}+2\pi n$ должна попасть в $[0;3\pi ]$:

$0\le \frac{\pi }{3}+2\pi n\le 3\pi$

$-\frac{\pi }{3}\le 2\pi n\le \frac{8\pi }{3}$

$-\frac{1}{6}\le n\le \frac{4}{3}$

Целые $n$: $n=0$ и $n=1$. Аналогично для $x_2$.

Метод 3: Единичная окружность (графический)

Для сложных задач, когда промежуток — это дуга окружности.

Метод удобен для промежутков типа $[-\pi ;\pi ]$: рисуешь окружность, отмечаешь угол промежутка и смотришь, какие точки (корни) попадают на дугу.

Сложные уравнения перед отбором

Задание 12 может начинаться не с простого уравнения, а с более сложного:

Замена переменной: ${\cos }^{2}x-\cos x-2=0$ → $t=\cos x$: $t^2-t-2=0$, $t=2$ (нет решений) или $t=-1$, т.е. $\cos x=-1$, $x=\pi +2\pi n$.

Разложение на множители: $\sin x\cdot \cos x=0$ → $\sin x=0$ или $\cos x=0$ → $x=\pi n$ или $x=\frac{\pi }{2}+\pi n$.

Типичные ошибки в задании 12

Ошибка 1. Найти общее решение правильно, но при отборе перепутать знак неравенства (строгое/нестрогое для открытого/закрытого промежутка).

Ошибка 2. Забыть одну серию корней (напр., из $\cos x=a$ две серии: $+\arccos a$ и $-\arccos a$).

Ошибка 3. При подстановке в неравенство ошибиться в делении: делить на $2\pi$ нужно обе части.

Ошибка 4. Принять $n$ не целым — $n$ всегда $\in \mathbb{Z}$.

Ошибка 5. Не проверить граничные значения промежутка (входят или нет).

Чек-лист по заданию 12

• Знаю общие формулы для $\sin x=a$, $\cos x=a$, $\tan x=a$
• Умею составлять неравенство для отбора $n$
• Помню: у $\cos x=a$ две серии корней
• Проверяю граничные точки (входят ли $a$ и $b$)
• Записываю ответ перечислением корней

Связанные темы

• Задание 13 ЕГЭ: полный гайд по тригонометрии
• Отбор корней на единичной окружности
• Тригонометрические уравнения
• Уравнения вида a·sin x + b·cos x = c
• Стандартные замены в уравнениях

Соты тренируют отбор корней как отдельный навык — не просто «реши уравнение», а «найди конкретные корни на промежутке». После нескольких сессий отбор перестаёт быть слабым местом.