Уравнение касательной к графику: пошаговый алгоритм

Уравнение касательной — один из самых часто встречающихся инструментов в заданиях 7 и 11. Алгоритм чёткий и воспроизводимый — важно выполнять шаги в правильном порядке.

Формула уравнения касательной

$y = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x - x_0)$

Здесь:

• $x_0$ — точка касания (абсцисса точки на графике).
• $f(x_0)$ — ордината точки касания (значение функции).
• $f'(x_0)$ — угловой коэффициент (производная в точке касания).

Геометрический смысл: касательная в точке $(x_0,\,f(x_0))$ — прямая, которая «касается» графика в этой точке и имеет тот же наклон (ту же производную).

Пошаговый алгоритм (4 шага)

Дано: $y = f(x)$, точка касания $x = x_0$.

Шаг 1. Найди $f(x_0)$ — значение функции в точке касания.

Шаг 2. Найди $f'(x)$ — производную функции.

Шаг 3. Найди $f'(x_0)$ — значение производной в точке касания (угловой коэффициент).

Шаг 4. Подставь в формулу: $y = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x - x_0)$. Упрости.

Примеры

Пример 1 (уровень А). Найти уравнение касательной к $y = x^2 - 3x + 2$ в точке $x_0 = 2$.

Шаг 1: $f(2) = 4 - 6 + 2 = 0$.

Шаг 2: $f'(x) = 2x - 3$.

Шаг 3: $f'(2) = 4 - 3 = 1$.

Шаг 4: $y = 0 + 1 \cdot (x - 2) = x - 2$.

Ответ: $y = x - 2$.

Пример 2 (уровень А). Найти уравнение касательной к $y = x^3$ в точке $(1,\,1)$.

Шаг 1: $f(1) = 1$.

Шаг 2: $f'(x) = 3x^2$.

Шаг 3: $f'(1) = 3$.

Шаг 4: $y = 1 + 3(x - 1) = 3x - 2$.

Ответ: $y = 3x - 2$.

Пример 3 (уровень Б). Найти уравнение касательной к $y = \sin x$ параллельной прямой $y = \dfrac{1}{2}x + 3$.

Параллельность: угловой коэффициент касательной $= \dfrac{1}{2}$.

$f'(x) = \cos x$. Нужно $\cos x_0 = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x_0 = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Для $x_0 = \dfrac{\pi}{3}$: $f\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

$y = \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}\!\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{x}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\pi}{6}$.

Аналогично для $x_0 = -\dfrac{\pi}{3}$: $y = \dfrac{x}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\pi}{6}$.

Ответ: Бесконечно много касательных вида $y = \dfrac{x}{2} + C$ при подходящих $x_0$.

Пример 4 (уровень Б — касательная через внешнюю точку). Найти уравнение касательной к $y = x^2$ проходящей через точку $(0,\,-3)$.

Пусть точка касания $(x_0,\,x_0^2)$.

$f'(x_0) = 2x_0$ — угловой коэффициент.

Уравнение касательной: $y = x_0^2 + 2x_0(x - x_0) = 2x_0 x - x_0^2$.

Точка $(0,\,-3)$ лежит на касательной: $-3 = 2x_0 \cdot 0 - x_0^2 \Rightarrow x_0^2 = 3 \Rightarrow x_0 = \pm\sqrt{3}$.

Два ответа:

• $x_0 = \sqrt{3}$: $y = 2\sqrt{3}\,x - 3$.
• $x_0 = -\sqrt{3}$: $y = -2\sqrt{3}\,x - 3$.

Пример 5 (задание 7, горизонтальная касательная). Найти все точки, в которых касательная к $y = x^3 - 3x + 1$ горизонтальна.

Горизонтальная касательная: $f'(x_0) = 0$.

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_0 = 1$ или $x_0 = -1$.

$f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$ → точка $(1,\,-1)$, касательная $y = -1$.

$f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$ → точка $(-1,\,3)$, касательная $y = 3$.

Ответ: $(1,\,-1)$ и $(-1,\,3)$.

Нормаль к графику

Нормаль — прямая, перпендикулярная касательной в точке касания.

Угловой коэффициент нормали: $k_n = -\dfrac{1}{f'(x_0)}$ (при $f'(x_0) \neq 0$).

Уравнение нормали: $y = f(x_0) - \dfrac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)$.

Особые случаи

Частые ошибки

1. Перепутать $f(x_0)$ и $f'(x_0)$. $f(x_0)$ — просто значение функции (y-координата). $f'(x_0)$ — производная в точке (наклон).
2. Забыть вычесть $x_0$ в формуле. Часто пишут $y = f(x_0) + f'(x_0) \cdot x$ вместо $y = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x - x_0)$.
3. При внешней точке — не составить уравнение. Нужно условие: внешняя точка лежит на касательной. Это даёт уравнение относительно $x_0$.
4. Не упрощать ответ. После подстановки раскрой скобки и запиши в форме $y = kx + b$.

Связь с другими темами

• Уравнение касательной (базовый) — кратко о формуле.
• Производная — как вычислять производную.
• Таблица производных — таблица стандартных производных.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 7 — касательная к графику по данным чертежа.
• Задание 11 — применение производной при исследовании функции.