Уравнение касательной к графику: формула и шаги

Уравнение касательной — прямое приложение производной к геометрии. В задании 7 ЕГЭ профиля нужно либо найти уравнение касательной в заданной точке, либо найти точку касания по заданному условию.

Геометрический смысл производной

Производная $f^{\prime }(x_0)$ — это угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$. Геометрически: касательная «лежит» на графике в точке касания и показывает мгновенное направление роста или убывания функции.

Если $f^{\prime }(x_0)>0$ — касательная идёт вверх (функция растёт). Если $f^{\prime }(x_0)<0$ — вниз. Если $f^{\prime }(x_0)=0$ — касательная горизонтальна (точка максимума, минимума или перегиба).

Формула уравнения касательной

$y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0)$

Здесь:

• $x_0$ — абсцисса точки касания,
• $f(x_0)$ — ордината точки касания (подставляешь $x_0$ в функцию),
• $f^{\prime }(x_0)$ — значение производной в точке $x_0$ (угловой коэффициент),
• $x$ — переменная уравнения прямой.

Уравнение — это уравнение прямой вида $y=kx+b$, где $k=f^{\prime }(x_0)$.

Алгоритм составления уравнения касательной

1. Найди $f(x_0)$ — подставь $x_0$ в функцию.
2. Найди $f^{\prime }(x)$ — возьми производную функции.
3. Найди $f^{\prime }(x_0)$ — подставь $x_0$ в производную.
4. Запиши уравнение: $y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$.
5. Упрости — раскрой скобки, приведи подобные.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). Найди уравнение касательной к графику $f(x)=x^2-3x+1$ в точке $x_0=2$.

Решение.

Шаг 1: $f(2)=4-6+1=-1$. Точка касания $(2,-1)$.

Шаг 2: $f^{\prime }(x)=2x-3$.

Шаг 3: $f^{\prime }(2)=4-3=1$.

Шаг 4: $y=-1+1\cdot (x-2)=x-3$.

Ответ: $y=x-3$.

Пример 2 (уровень Б). Найди уравнение касательной к графику $f(x)=x^3-x$, параллельной прямой $y=2x-5$.

Решение.

Угловой коэффициент параллельной прямой: $k=2$.

$f^{\prime }(x)=3x^2-1$. Приравниваем к $k$:

$3x^2-1=2\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x_0=\pm 1$

Две точки касания.

При $x_0=1$: $f(1)=1-1=0$. Касательная: $y=0+2(x-1)=2x-2$.

При $x_0=-1$: $f(-1)=-1+1=0$. Касательная: $y=0+2(x+1)=2x+2$.

Ответ: $y=2x-2$ и $y=2x+2$.

Пример 3 (уровень В). Касательная к графику $f(x)=x^2$ проходит через точку $(1,-3)$. Найди уравнение касательной.

Решение.

Пусть точка касания $(x_0,x_0^2)$. Производная: $f^{\prime }(x_0)=2x_0$.

Уравнение касательной в точке $x_0$:

$y=x_0^2+2x_0(x-x_0)=2x_{0}x-x_0^2$

Так как касательная проходит через $(1,-3)$, подставляем:

$-3=2x_0\cdot 1-x_0^2\Rightarrow x_0^2-2x_0-3=0$

По теореме Виета: $x_0=3$ или $x_0=-1$.

При $x_0=3$: $y=6x-9$.

При $x_0=-1$: $y=-2x-1$.

Ответ: $y=6x-9$ и $y=-2x-1$.

Что такое касательная по-настоящему

На школьном языке касательную часто описывают как прямую, которая «касается графика в одной точке». Это полезный, но не совсем точный образ. Прямая может пересекать график в нескольких местах и при этом быть касательной в одной из точек. Строгий смысл другой: касательная — это предельное положение секущей. Если взять две близкие точки на графике и провести через них прямую, получится секущая. Теперь начни сближать эти точки. Секущая будет поворачиваться, и в пределе, когда точки сольются в одну, она займёт положение касательной. Именно поэтому наклон касательной равен производной — ведь производная и определяется как предел наклона секущей.

Из этого вытекает важное свойство: касательная показывает мгновенное направление графика в точке. Если в точке функция растёт, касательная наклонена вверх. Если убывает — вниз. Если функция в точке достигла вершины или дна, касательная горизонтальна, её наклон равен нулю. Поэтому по уравнению касательной можно сразу сказать кое-что о поведении функции рядом с точкой касания, просто посмотрев на знак углового коэффициента.

Эта связь работает и в обратную сторону. Когда в задаче спрашивают про наклон, угол, скорость роста или направление графика, речь почти всегда идёт о производной и касательной. А когда спрашивают про высоту графика, про значение функции в точке, речь идёт о самой функции. Умение быстро различать эти два вопроса — половина успеха в задачах на касательную.

Стоит также понимать, что касательная — это локальное приближение функции прямой линией. Вблизи точки касания график функции и касательная почти сливаются, поэтому касательную можно использовать для приближённых вычислений значений функции рядом с точкой. На школьном экзамене такие приближения встречаются редко, но сам факт полезно держать в голове: касательная — это лучшая прямая, которая описывает поведение функции в малой окрестности точки. Чем дальше от точки касания, тем сильнее график отходит от касательной, и приближение перестаёт работать.

Касательная и угол наклона

Угловой коэффициент касательной связан с углом, под которым она наклонена к горизонтали. Если коэффициент положительный, прямая поднимается слева направо, и чем он больше, тем круче подъём. Если коэффициент отрицательный, прямая опускается. Коэффициент, равный нулю, даёт горизонтальную прямую. Эта связь между числом и наклоном помогает проверять ответ на разумность. Например, если по условию касательная явно идёт вниз, а у тебя получился положительный угловой коэффициент, значит где-то закралась ошибка в знаке производной.

Иногда в задачах спрашивают про касательную, параллельную или перпендикулярную данной прямой. Параллельность означает равенство угловых коэффициентов: наклоны совпадают. Перпендикулярность означает, что произведение угловых коэффициентов равно минус единице — это правило для взаимно перпендикулярных прямых. Зная это, можно по условию сразу находить нужный наклон касательной, а затем через производную выходить на точку касания. Поэтому, встретив слова «параллельна» или «перпендикулярна», переводи их на язык угловых коэффициентов — и задача сразу станет понятной.

Откуда берётся формула касательной

Формула касательной выглядит сложно, но за ней стоит простая мысль. Касательная — это прямая, а любая прямая описывается уравнением «игрек равен ка икс плюс бэ». У касательной угловой коэффициент ка — это наклон, и он по определению равен производной функции в точке касания. Значит, первый множитель в формуле, тот самый угловой коэффициент, мы уже знаем: это значение производной в точке.

Осталось понять, почему появляется конструкция «икс минус икс нулевое». Прямая должна проходить ровно через точку касания, у которой абсцисса — икс нулевое, а ордината — значение функции в этой точке. Чтобы прямая с известным наклоном прошла через заданную точку, удобно записать её в форме «через точку с угловым коэффициентом»: от текущего икса отнимаем абсциссу точки касания, умножаем на наклон и прибавляем ординату точки касания. Так и получается формула: значение функции в точке плюс производная в точке, умноженная на разность икса и абсциссы точки. Если ты понимаешь эту логику, формулу не придётся зубрить — её можно восстановить из смысла за несколько секунд.

Главное, что нужно держать в голове: в формуле участвуют два разных числа из одной точки. Первое — значение самой функции, оно задаёт высоту, на которой прямая касается графика. Второе — значение производной, оно задаёт наклон прямой. Эти два числа путают чаще всего, поэтому полезно проговаривать: «функция даёт высоту, производная даёт наклон».

Три типичных сюжета задачи

Задачи на касательную делятся на три узнаваемых типа, и важно научиться различать их по условию.

Первый тип — самый простой: дана функция и дана точка касания, нужно составить уравнение касательной. Здесь работаешь строго по алгоритму: считаешь значение функции в точке, берёшь производную, считаешь её значение в точке, подставляешь оба числа в формулу и упрощаешь. Это базовый навык, и его доводят до автоматизма в первую очередь.

Второй тип сложнее: точка касания не дана, зато известен наклон касательной. Например, говорят, что касательная параллельна некоторой прямой. Параллельные прямые имеют одинаковый наклон, значит угловой коэффициент касательной известен. Приравниваешь производную к этому наклону и решаешь уравнение относительно абсциссы точки касания. Уравнение может дать несколько корней — тогда касательных будет несколько, и нужно записать все. Именно поэтому во втором примере получилось две касательные.

Третий тип — самый каверзный: касательная должна проходить через заданную внешнюю точку, которая сама на графике может не лежать. Здесь точку касания обозначают буквой, записывают общее уравнение касательной через эту неизвестную абсциссу, а затем подставляют координаты внешней точки. Получается уравнение относительно абсциссы точки касания. Его корни дают все возможные точки касания, а значит, и все касательные. Этот тип требует особой аккуратности: легко перепутать переменную прямой с абсциссой точки касания.

Как не перепутать переменную и точку касания

Самая коварная путаница в задачах на касательную — между переменной икс и абсциссой точки касания. В формуле касательной икс — это переменная прямой, она пробегает все значения, а икс нулевое — конкретное число, абсцисса точки, в которой прямая касается графика. Когда касательная задана в конкретной точке, икс нулевое — это просто данное число, и путаницы не возникает. А вот когда точка касания неизвестна и её ищут через внешнюю точку, обе величины присутствуют в уравнении одновременно, и тут легко ошибиться.

Хорошее правило: координаты внешней точки, через которую проходит касательная, подставляют вместо переменных прямой, то есть вместо икса и игрека. А неизвестную абсциссу точки касания оставляют как букву и решают уравнение относительно неё. Если перепутать местами, получится бессмысленное уравнение или потерянные корни. Поэтому, прежде чем подставлять числа, чётко определи для себя: что здесь переменная прямой, а что — искомая точка касания.

Дополнительный разбор для самопроверки

Чтобы закрепить первый, базовый тип, разбери ещё одну задачу самостоятельно.

Составь уравнение касательной к графику $f(x)=x^2+4x$ в точке $x_0=-1$.

Опорные шаги: найди значение функции в точке, возьми производную, найди её значение в точке, подставь оба числа в формулу касательной и упрости.

Частые ошибки

1. Перепутать $f(x_0)$ и $f^{\prime }(x_0)$. В формуле $f(x_0)$ — значение функции (точка на графике), $f^{\prime }(x_0)$ — производная (угловой коэффициент). Это разные вещи.
2. Не упростить уравнение. Ответ $y=-1+1\cdot (x-2)$ неполный — раскрой скобки: $y=x-3$.
3. Забыть взять производную. Уравнение касательной требует $f^{\prime }(x_0)$, а не просто $f(x_0)$.
4. При поиске через внешнюю точку — перепутать $x$ и $x_0$. В формуле $x$ — переменная прямой, $x_0$ — точка касания. Подставлять координаты внешней точки нужно вместо $(x,y)$, а решать — относительно $x_0$.

Что запомнить

Запомни главную формулу и логику работы с ней. Уравнение касательной — это значение функции в точке касания плюс производная в этой точке, умноженная на разность переменной и абсциссы точки касания. В этой формуле два разных числа из одной точки: значение функции задаёт высоту, значение производной задаёт наклон. Их путать нельзя.

Чтобы составить касательную в данной точке, действуй строго по порядку: сначала найди значение функции в точке, затем производную, затем значение производной в точке, потом подставь оба числа в формулу и упрости. Если точка касания не дана, а известен наклон, приравняй производную к этому наклону и найди абсциссу точки касания. Если касательная проходит через внешнюю точку, запиши общее уравнение через неизвестную абсциссу и подставь координаты внешней точки.

Помни про возможность нескольких ответов. Если уравнение для абсциссы точки касания имеет несколько корней, касательных тоже несколько, и записать нужно все. И всегда упрощай итоговое уравнение до вида «игрек равен ка икс плюс бэ» — недоведённое до конца уравнение считается неполным ответом.

Связь с другими темами

• Производная функции — нужна для вычисления $f^{\prime }(x_0)$.
• Правила дифференцирования — как брать производные сложных функций.
• Таблица производных — справочник базовых производных.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 7 — профиль, 1 балл. Составить уравнение касательной или найти точку касания по дополнительному условию.