Уравнение касательной к графику: формула и шаги

Уравнение касательной — прямое приложение производной к геометрии. В задании 7 ЕГЭ профиля нужно либо найти уравнение касательной в заданной точке, либо найти точку касания по заданному условию.

Геометрический смысл производной

Производная $f'(x_0)$ — это угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$. Геометрически: касательная «лежит» на графике в точке касания и показывает мгновенное направление роста или убывания функции.

Если $f'(x_0) > 0$ — касательная идёт вверх (функция растёт). Если $f'(x_0) < 0$ — вниз. Если $f'(x_0) = 0$ — касательная горизонтальна (точка максимума, минимума или перегиба).

Формула уравнения касательной

$y = f(x_0) + f'(x_0) \cdot (x - x_0)$

Здесь:

• $x_0$ — абсцисса точки касания,
• $f(x_0)$ — ордината точки касания (подставляешь $x_0$ в функцию),
• $f'(x_0)$ — значение производной в точке $x_0$ (угловой коэффициент),
• $x$ — переменная уравнения прямой.

Уравнение — это уравнение прямой вида $y = kx + b$, где $k = f'(x_0)$.

Алгоритм составления уравнения касательной

1. Найди $f(x_0)$ — подставь $x_0$ в функцию.
2. Найди $f'(x)$ — возьми производную функции.
3. Найди $f'(x_0)$ — подставь $x_0$ в производную.
4. Запиши уравнение: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
5. Упрости — раскрой скобки, приведи подобные.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). Найди уравнение касательной к графику $f(x) = x^2 - 3x + 1$ в точке $x_0 = 2$.

Решение.

Шаг 1: $f(2) = 4 - 6 + 1 = -1$. Точка касания $(2, -1)$.

Шаг 2: $f'(x) = 2x - 3$.

Шаг 3: $f'(2) = 4 - 3 = 1$.

Шаг 4: $y = -1 + 1 \cdot (x - 2) = x - 3$.

Ответ: $y = x - 3$.

Пример 2 (уровень Б). Найди уравнение касательной к графику $f(x) = x^3 - x$, параллельной прямой $y = 2x - 5$.

Решение.

Угловой коэффициент параллельной прямой: $k = 2$.

$f'(x) = 3x^2 - 1$. Приравниваем к $k$:

$3x^2 - 1 = 2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_0 = \pm 1$

Две точки касания.

При $x_0 = 1$: $f(1) = 1 - 1 = 0$. Касательная: $y = 0 + 2(x - 1) = 2x - 2$.

При $x_0 = -1$: $f(-1) = -1 + 1 = 0$. Касательная: $y = 0 + 2(x + 1) = 2x + 2$.

Ответ: $y = 2x - 2$ и $y = 2x + 2$.

Пример 3 (уровень В). Касательная к графику $f(x) = x^2$ проходит через точку $(1, -3)$. Найди уравнение касательной.

Решение.

Пусть точка касания $(x_0, x_0^2)$. Производная: $f'(x_0) = 2x_0$.

Уравнение касательной в точке $x_0$:

$y = x_0^2 + 2x_0(x - x_0) = 2x_0 x - x_0^2$

Так как касательная проходит через $(1, -3)$, подставляем:

$-3 = 2x_0 \cdot 1 - x_0^2 \Rightarrow x_0^2 - 2x_0 - 3 = 0$

По теореме Виета: $x_0 = 3$ или $x_0 = -1$.

При $x_0 = 3$: $y = 6x - 9$.

При $x_0 = -1$: $y = -2x - 1$.

Ответ: $y = 6x - 9$ и $y = -2x - 1$.

Частые ошибки

1. Перепутать $f(x_0)$ и $f'(x_0)$. В формуле $f(x_0)$ — значение функции (точка на графике), $f'(x_0)$ — производная (угловой коэффициент). Это разные вещи.
2. Не упростить уравнение. Ответ $y = -1 + 1 \cdot (x - 2)$ неполный — раскрой скобки: $y = x - 3$.
3. Забыть взять производную. Уравнение касательной требует $f'(x_0)$, а не просто $f(x_0)$.
4. При поиске через внешнюю точку — перепутать $x$ и $x_0$. В формуле $x$ — переменная прямой, $x_0$ — точка касания. Подставлять координаты внешней точки нужно вместо $(x, y)$, а решать — относительно $x_0$.

Связь с другими темами

• Производная функции — нужна для вычисления $f'(x_0)$.
• Правила дифференцирования — как брать производные сложных функций.
• Таблица производных — справочник базовых производных.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 7 — профиль, 1 балл. Составить уравнение касательной или найти точку касания по дополнительному условию.