Производная тригонометрических функций

Производные тригонометрических функций нужны в заданиях 7 и 11 ЕГЭ профиль. Четыре формулы несложно запомнить, но одна из них регулярно приводит к ошибкам. Разбираем все формулы и типичные ловушки.

Четыре формулы

Как запомнить: мнемоника

• sin → cos — производная синуса это косинус, без знака.
• cos → −sin — производная косинуса это синус со знаком минус.
• tg → 1/cos² — тангенс «сверху» превращается в «квадрат косинуса снизу».
• ctg → −1/sin² — котангенс даёт минус и квадрат синуса снизу.

Запомни пару: при дифференцировании cos и ctg появляется минус. У sin и tg — минуса нет.

Вывод формулы для tg x

$\operatorname{tg} x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$. Применяем правило дифференцирования дроби:

$(\operatorname{tg} x)' = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)' = \frac{(\sin x)' \cdot \cos x - \sin x \cdot (\cos x)'}{\cos^2 x}$

$= \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}$

Использовали основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Цепное правило

Если аргумент — не просто $x$, а функция $u(x)$:

$(\sin u(x))' = \cos(u(x)) \cdot u'(x)$

$(\cos u(x))' = -\sin(u(x)) \cdot u'(x)$

$(\operatorname{tg} u(x))' = \frac{u'(x)}{\cos^2(u(x))}$

$(\operatorname{ctg} u(x))' = -\frac{u'(x)}{\sin^2(u(x))}$

Пример. $(\sin(3x + 1))' = \cos(3x + 1) \cdot (3x + 1)' = 3\cos(3x + 1)$.

Как держать четыре формулы в голове

Четыре формулы кажутся простыми, но именно их путают чаще всего, особенно под стрессом на экзамене. Чтобы не сбиваться, разбей их на две пары. Первая пара — синус и косинус: они переходят друг в друга при дифференцировании. Производная синуса — это косинус, а производная косинуса — это синус, но с минусом. Запомни, что минус «прячется» именно в косинусе. Удобная подсказка: буква «к» в слове «косинус» как бы напоминает о знаке минус, который к ней приклеивается. У синуса же всё чисто, без знаков.

Вторая пара — тангенс и котангенс. Их производные содержат дробь с квадратом в знаменателе. У тангенса в знаменателе квадрат косинуса, у котангенса — квадрат синуса, и снова у котангенса появляется минус. Закономерность та же, что и в первой паре: функции, начинающиеся с приставки «ко», получают при дифференцировании минус. Косинус и котангенс — обе с этой приставкой, обе с минусом. Это правило-зацепка помогает мгновенно вспомнить, где ставить знак, не путаясь.

Полезно также понимать связь между парами. Тангенс и котангенс — это отношения синуса и косинуса, поэтому их производные неизбежно содержат квадрат знаменателя: при дифференцировании дроби знаменатель всегда возводится в квадрат. А минус у котангенса — это тот же минус, что у косинуса, просто переехавший в новую формулу при выводе. Когда видишь эти связи, четыре формулы перестают быть набором разрозненных фактов и превращаются в одну согласованную систему.

Отдельно стоит предупредить о ещё одной путанице. Иногда производную тангенса записывают через так называемый секанс, а производную котангенса — через косеканс. В школьном курсе профильной математики секанс и косеканс обычно не используют, поэтому держись формы с квадратом косинуса и квадратом синуса в знаменателе — она привычнее и не вызывает вопросов. Если же ты встретишь запись через секанс в каком-нибудь источнике, знай, что это та же самая формула, просто в другом обозначении. Содержательно ничего не меняется: производная тангенса остаётся единицей на квадрат косинуса.

Почему именно такие формулы

Производные тригонометрических функций не случайны — они отражают форму графиков синуса и косинуса. Производная показывает наклон графика в каждой точке. Посмотри на синус в начале координат: он круто поднимается, его наклон там максимален и равен единице. А что в этой точке равно единице? Косинус нуля. Двигаясь дальше, синус замедляет рост, в вершине его наклон равен нулю — и косинус в этой же точке тоже равен нулю. Получается, что наклон синуса в каждой точке в точности повторяет график косинуса. Поэтому производная синуса — это косинус.

С косинусом картина зеркальная. В начале координат косинус находится на вершине и начинает убывать, его наклон отрицателен. Производная убывающей функции отрицательна — отсюда и появляется минус. По мере движения наклон косинуса в каждой точке повторяет график синуса, но с обратным знаком. Поэтому производная косинуса — это минус синус. Этот минус — не каприз формулы, а прямое следствие того, что косинус в нуле спускается, а не поднимается. Если запомнить эту логику, минус уже не потеряется: ты будешь понимать, откуда он берётся.

Тангенс и котангенс получаются из синуса и косинуса делением, поэтому их производные выводятся через правило дифференцирования дроби. Для тангенса вывод приведён выше: после применения формулы частного и основного тригонометрического тождества получается единица на квадрат косинуса. Котангенс выводится точно так же, только дробь перевёрнута, и в результате появляется минус и квадрат синуса в знаменателе. Поэтому, даже если ты забудешь готовую формулу для тангенса или котангенса, её всегда можно восстановить за минуту — нужно лишь помнить, что тангенс это синус на косинус, и уметь дифференцировать дробь.

Разбор для самопроверки

Закрепи формулы и цепное правило на одной задаче без подсказок.

Найди производную функции $f(x) = \cos(2x) + \sin(2x)$.

Опорные шаги: дифференцируй каждое слагаемое отдельно по правилу суммы. Для каждого применяй цепное правило: производная внешней тригонометрической функции, умноженная на производную внутренней функции «два икс», которая равна двум. Не потеряй минус у косинуса.

Типичные ошибки

1. Потеря минуса у косинуса: написать $(\cos x)' = \sin x$ — неверно. Правильно: $-\sin x$.
2. Неверный знаменатель у ctg: написать $(\operatorname{ctg} x)' = -1/\cos^2 x$ — неверно. У ctg в знаменателе $\sin^2 x$.
3. Забыть умножить на $u'(x)$: например, $(\sin(x^2))' = \cos(x^2)$ — неверно. Правильно: $\cos(x^2) \cdot 2x$.

Задачи ЕГЭ

Задача 1

Найди производную $f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x$.

Решение.

Заметь, что $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ — константа. Производная константы равна нулю: $f'(x) = 0$.

Можно проверить через прямое дифференцирование: $f'(x) = 2\sin x \cdot \cos x + 2\cos x \cdot (-\sin x) = 2\sin x \cos x - 2\sin x \cos x = 0$

Задача 2

Найди производную $g(x) = \cos(x^2)$.

Решение.

Внешняя функция: $\cos(\cdot)$, производная $-\sin(\cdot)$. Внутренняя: $u(x) = x^2$, $u'(x) = 2x$.

$g'(x) = -\sin(x^2) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)$

Задача 3 (ЕГЭ-формат)

При каком $x \in \left[0;\, \dfrac{\pi}{2}\right]$ функция $h(x) = \sin x - \cos x$ принимает наибольшее значение?

Решение.

$h'(x) = \cos x - (-\sin x) = \cos x + \sin x$.

$h'(x) = 0 \Rightarrow \cos x + \sin x = 0 \Rightarrow \operatorname{tg} x = -1 \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{4} + \pi n$.

На $\left[0;\, \dfrac{\pi}{2}\right]$ критических точек нет (ближайшее решение $-\dfrac{\pi}{4}$ и $\dfrac{3\pi}{4}$ выходят за пределы).

Проверяем концы:

• $h(0) = \sin 0 - \cos 0 = 0 - 1 = -1$
• $h\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \sin\dfrac{\pi}{2} - \cos\dfrac{\pi}{2} = 1 - 0 = 1$

Ответ: наибольшее значение $h = 1$ достигается при $x = \dfrac{\pi}{2}$.

Цепное правило с тригонометрией на словах

Самый частый источник ошибок после потери минуса — забытый множитель из цепного правила. Когда под синусом или косинусом стоит не просто икс, а выражение, например, удвоенный икс или икс в квадрате, нельзя ограничиться производной самой тригонометрической функции. Нужно ещё умножить на производную того, что стоит внутри. Логика та же, что и для любой сложной функции: сначала дифференцируешь внешнюю функцию, не трогая её начинку, а потом умножаешь на производную начинки.

Разберём это на словах для типичного случая. Пусть нужно продифференцировать синус от удвоенного икса. Внешняя функция здесь синус, её производная косинус, поэтому записываешь косинус от того же удвоенного икса. Внутренняя функция — удвоенный икс, её производная равна двум. Перемножаешь и получаешь два на косинус удвоенного икса. Если бы внутри стоял икс в квадрате, производная внутренней функции была бы удвоенным иксом, и ответ выглядел бы как удвоенный икс на косинус икс в квадрате. Видно, что от вида внутренней функции зависит второй множитель, и именно он отличает производную сложной тригонометрической функции от простой.

Эта же логика работает для косинуса, тангенса и котангенса. Для косинуса добавляется минус из его производной, а множитель из внутренней функции остаётся таким же. Для тангенса и котангенса производная внутренней функции встаёт в числитель дроби. Главное — не пропускать этот множитель и помнить, что у косинуса и котангенса в формуле есть минус. Если держать в голове оба этих момента, цепное правило с тригонометрией перестаёт быть источником ошибок.

Где это нужно на экзамене

Производные тригонометрических функций появляются в задачах на исследование функции, где требуется найти наибольшее или наименьшее значение, точки экстремума или промежутки монотонности. Тригонометрическая функция внутри такой задачи ведёт себя так же, как любая другая: берёшь производную, находишь нули, расставляешь знаки. Особенность лишь в том, что уравнение «производная равна нулю» становится тригонометрическим, и его нужно уметь решать. Поэтому навык дифференцировать синус и косинус тесно связан с умением решать простейшие тригонометрические уравнения.

Часто тригонометрические функции встречаются не сами по себе, а в сочетании с многочленами или внутри сложной функции. Например, функция может быть произведением икса на синус или синусом от линейного выражения. В таких случаях работают сразу несколько правил: правило произведения, правило суммы и цепное правило. Главное — не пугаться громоздкого вида и применять правила по очереди, аккуратно выписывая каждый шаг. Тригонометрия добавляет лишь одну сложность: нужно твёрдо помнить четыре базовые формулы и не терять минус у косинуса и котангенса.

Ещё одна типичная ситуация — когда после дифференцирования получается выражение, которое нужно упростить с помощью тригонометрических тождеств. Например, в первой задаче выражение «синус в квадрате плюс косинус в квадрате» сразу свернулось в единицу, и производная оказалась нулевой без долгих вычислений. Умение узнавать такие тождества экономит время и снижает риск ошибки. Поэтому, прежде чем механически дифференцировать сложное тригонометрическое выражение, всегда полезно посмотреть, нельзя ли его сначала упростить.

Наконец, обрати внимание на тонкость с поиском наибольшего и наименьшего значения тригонометрической функции на отрезке. После того как ты нашёл производную и приравнял её к нулю, получается тригонометрическое уравнение, у которого, как правило, бесконечно много корней. Из всех этих корней нужно отобрать только те, что попадают в заданный отрезок, а затем сравнить значения функции в них и на концах отрезка. Именно так была устроена третья задача выше: критических точек внутри отрезка не оказалось, поэтому наибольшее значение нашлось на конце. Этот этап отбора корней — место, где легко ошибиться, поэтому всегда внимательно проверяй, какие из найденных значений действительно лежат в нужном промежутке.

Что запомнить

Четыре базовые формулы: производная синуса — косинус, производная косинуса — минус синус, производная тангенса — единица на квадрат косинуса, производная котангенса — минус единица на квадрат синуса. Минус появляется у косинуса и котангенса — это и есть главная ловушка темы. У синуса и тангенса минуса нет.

Минус у косинуса не нужно зубрить отдельно — он следует из того, что косинус в нуле убывает. Если помнить эту логику, знак никогда не потеряется. Тангенс и котангенс при необходимости выводятся из синуса и косинуса через правило дроби и основное тригонометрическое тождество.

Когда аргумент тригонометрической функции — не просто икс, а целое выражение, обязательно применяй цепное правило: после производной внешней тригонометрической функции умножай на производную внутреннего выражения. Самая частая ошибка здесь — забыть этот второй множитель. И при работе со сложными выражениями сначала проверь, нельзя ли упростить их тригонометрическими тождествами, — иногда это полностью убирает вычисления.

Связь с другими темами

• Таблица производных — все формулы, включая тригонометрические, в одном месте.
• Производная сложной функции — цепное правило для синуса и косинуса от выражения.
• Производная показательной и логарифмической функций — другие табличные производные.
• Наибольшее и наименьшее значение функции — где применяются производные тригонометрических функций.