Производная тригонометрических функций

Производные тригонометрических функций нужны в заданиях 7 и 11 ЕГЭ профиль. Четыре формулы несложно запомнить, но одна из них регулярно приводит к ошибкам. Разбираем все формулы и типичные ловушки.

Четыре формулы

Как запомнить: мнемоника

• sin → cos — производная синуса это косинус, без знака.
• cos → −sin — производная косинуса это синус со знаком минус.
• tg → 1/cos² — тангенс «сверху» превращается в «квадрат косинуса снизу».
• ctg → −1/sin² — котангенс даёт минус и квадрат синуса снизу.

Запомни пару: при дифференцировании cos и ctg появляется минус. У sin и tg — минуса нет.

Вывод формулы для tg x

$\operatorname{tg} x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$. Применяем правило дифференцирования дроби:

$(\operatorname{tg} x)' = \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)' = \frac{(\sin x)' \cdot \cos x - \sin x \cdot (\cos x)'}{\cos^2 x}$

$= \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}$

Использовали основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.

Цепное правило

Если аргумент — не просто $x$, а функция $u(x)$:

$(\sin u(x))' = \cos(u(x)) \cdot u'(x)$

$(\cos u(x))' = -\sin(u(x)) \cdot u'(x)$

$(\operatorname{tg} u(x))' = \frac{u'(x)}{\cos^2(u(x))}$

$(\operatorname{ctg} u(x))' = -\frac{u'(x)}{\sin^2(u(x))}$

Пример. $(\sin(3x + 1))' = \cos(3x + 1) \cdot (3x + 1)' = 3\cos(3x + 1)$.

Типичные ошибки

1. Потеря минуса у косинуса: написать $(\cos x)' = \sin x$ — неверно. Правильно: $-\sin x$.
2. Неверный знаменатель у ctg: написать $(\operatorname{ctg} x)' = -1/\cos^2 x$ — неверно. У ctg в знаменателе $\sin^2 x$.
3. Забыть умножить на $u'(x)$: например, $(\sin(x^2))' = \cos(x^2)$ — неверно. Правильно: $\cos(x^2) \cdot 2x$.

Задачи ЕГЭ

Задача 1

Найди производную $f(x) = \sin^2 x + \cos^2 x$.

Решение.

Заметь, что $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ — константа. Производная константы равна нулю: $f'(x) = 0$.

Можно проверить через прямое дифференцирование: $f'(x) = 2\sin x \cdot \cos x + 2\cos x \cdot (-\sin x) = 2\sin x \cos x - 2\sin x \cos x = 0$

Задача 2

Найди производную $g(x) = \cos(x^2)$.

Решение.

Внешняя функция: $\cos(\cdot)$, производная $-\sin(\cdot)$. Внутренняя: $u(x) = x^2$, $u'(x) = 2x$.

$g'(x) = -\sin(x^2) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)$

Задача 3 (ЕГЭ-формат)

При каком $x \in \left[0;\, \dfrac{\pi}{2}\right]$ функция $h(x) = \sin x - \cos x$ принимает наибольшее значение?

Решение.

$h'(x) = \cos x - (-\sin x) = \cos x + \sin x$.

$h'(x) = 0 \Rightarrow \cos x + \sin x = 0 \Rightarrow \operatorname{tg} x = -1 \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{4} + \pi n$.

На $\left[0;\, \dfrac{\pi}{2}\right]$ критических точек нет (ближайшее решение $-\dfrac{\pi}{4}$ и $\dfrac{3\pi}{4}$ выходят за пределы).

Проверяем концы:

• $h(0) = \sin 0 - \cos 0 = 0 - 1 = -1$
• $h\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \sin\dfrac{\pi}{2} - \cos\dfrac{\pi}{2} = 1 - 0 = 1$

Ответ: наибольшее значение $h = 1$ достигается при $x = \dfrac{\pi}{2}$.