Производная показательной и логарифмической функции

Показательные и логарифмические функции встречаются в задачах 7, 11 и 12 ЕГЭ профиль. Знание их производных — обязательное условие для успешного решения. Запомни четыре формулы и научись применять их с цепным правилом.

Четыре ключевые формулы

Производная $e^x$: откуда берётся формула

Число $e \approx 2{,}718$ определяется именно через свойство производной: $e$ — единственное основание, при котором производная показательной функции равна самой функции:

$(e^x)' = e^x$

Это можно проверить через предел: производная $a^x$ по определению равна

$\lim_{h \to 0} \frac{a^{x+h} - a^x}{h} = a^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h}$

Доказывается, что $\lim_{h \to 0} \dfrac{a^h - 1}{h} = \ln a$. При $a = e$ получаем $\ln e = 1$, поэтому $(e^x)' = e^x \cdot 1 = e^x$.

Производная $a^x$

Для произвольного основания $a > 0$, $a \ne 1$:

$(a^x)' = a^x \cdot \ln a$

Пример. $(3^x)' = 3^x \cdot \ln 3 \approx 3^x \cdot 1{,}099$.

Частный случай: при $a = e$ получаем $(e^x)' = e^x \cdot \ln e = e^x \cdot 1 = e^x$.

Производная $\ln x$

$(\ln x)' = \frac{1}{x}, \quad x > 0$

Функция $\ln x$ определена только при $x > 0$, производная тоже существует только при $x > 0$.

Пример. $(\ln 5x)' = \dfrac{1}{5x} \cdot (5x)' = \dfrac{1}{5x} \cdot 5 = \dfrac{1}{x}$.

Замечательный факт: производная $\ln(x)$ и $\ln(kx)$ при любом $k > 0$ одинакова — равна $1/x$.

Производная $\log_a x$

$(\log_a x)' = \frac{1}{x \cdot \ln a}, \quad x > 0, \quad a > 0, \quad a \ne 1$

Пример. $(\log_{10} x)' = \dfrac{1}{x \cdot \ln 10} \approx \dfrac{1}{2{,}303\, x}$.

Частный случай: при $a = e$: $(\log_e x)' = (\ln x)' = \dfrac{1}{x \cdot \ln e} = \dfrac{1}{x}$.

Цепное правило (сложная функция)

Если вместо $x$ стоит сложная функция $u(x)$, применяй цепное правило:

$\bigl(f(u(x))\bigr)' = f'(u) \cdot u'(x)$

Формулы с цепным правилом:

$(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$

$(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \cdot \ln a \cdot u'(x)$

$(\ln u(x))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$

$(\log_a u(x))' = \frac{u'(x)}{u(x) \cdot \ln a}$

Задачи ЕГЭ

Задача 1

Найди производную $f(x) = e^{3x^2 - 1}$.

Решение.

$u(x) = 3x^2 - 1$, $u'(x) = 6x$.

$f'(x) = e^{3x^2 - 1} \cdot (3x^2 - 1)' = e^{3x^2 - 1} \cdot 6x = 6x \cdot e^{3x^2 - 1}$

Задача 2

Найди производную $g(x) = \ln(x^2 + 4)$.

Решение.

$u(x) = x^2 + 4$, $u'(x) = 2x$.

$g'(x) = \frac{(x^2 + 4)'}{x^2 + 4} = \frac{2x}{x^2 + 4}$

Задача 3 (ЕГЭ-формат)

Найди наибольшее значение функции $h(x) = x - \ln x$ на отрезке $[\tfrac{1}{2},\, 3]$.

Решение.

$h'(x) = 1 - \dfrac{1}{x}$.

$h'(x) = 0 \Rightarrow x = 1$.

На отрезке $[\tfrac{1}{2}, 3]$ критическая точка $x = 1$ — внутри.

Проверяем значения:

• $h(1) = 1 - \ln 1 = 1 - 0 = 1$
• $h\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = \tfrac{1}{2} - \ln\tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2} + \ln 2 \approx 0{,}5 + 0{,}693 = 1{,}193$
• $h(3) = 3 - \ln 3 \approx 3 - 1{,}099 = 1{,}901$

Наибольшее значение достигается на правом конце: $h(3) = 3 - \ln 3$.

Ответ: $3 - \ln 3$.