Производная показательной и логарифмической функции

Показательные и логарифмические функции — одни из самых частых «героев» задания 12 ЕГЭ профиль, где нужно найти наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке. А чтобы исследовать такую функцию, без её производной не обойтись. Хорошая новость: всё держится всего на четырёх формулах. Если выучить их и научиться сочетать с цепным правилом, ты закроешь большинство задач этого типа. В статье разберём каждую формулу, покажем, откуда берётся загадочный множитель $\ln a$, и применим всё это на реальных задачах экзамена.

Четыре ключевые формулы

Эти четыре формулы стоит выписать на отдельный листок и держать перед глазами, пока не выучишь. Они встречаются настолько часто, что без автоматического знания каждая задача будет отнимать лишнее время. Обрати внимание на структуру: для показательной функции производная похожа на саму функцию (та же $e^x$ или $a^x$), а для логарифмической — превращается в дробь с $x$ в знаменателе. Эта разница не случайна и связана с тем, как устроены графики этих функций: показательная растёт всё быстрее, логарифмическая — всё медленнее.

Производная $e^x$: откуда берётся формула

Число $e \approx 2{,}718$ определяется именно через свойство производной: $e$ — единственное основание, при котором производная показательной функции равна самой функции:

$(e^x)' = e^x$

У этого равенства есть наглядный геометрический смысл. Производная в точке — это угловой коэффициент касательной, то есть крутизна графика. Равенство $(e^x)' = e^x$ означает, что в каждой точке крутизна графика экспоненты в точности равна высоте графика в этой точке. Чем выше поднялась функция, тем круче она растёт дальше — это и есть знаменитый «экспоненциальный рост». Ни у какой другой функции нет такого идеального соответствия между значением и скоростью роста, и именно поэтому экспонента описывает процессы, где скорость пропорциональна количеству: размножение бактерий, сложные проценты, радиоактивный распад.

Это можно проверить через предел: производная $a^x$ по определению равна

$\lim_{h \to 0} \frac{a^{x+h} - a^x}{h} = a^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h}$

Доказывается, что $\lim_{h \to 0} \dfrac{a^h - 1}{h} = \ln a$. При $a = e$ получаем $\ln e = 1$, поэтому $(e^x)' = e^x \cdot 1 = e^x$.

Именно это свойство и делает число $e$ таким особенным во всём анализе. Из всех возможных оснований показательной функции только при основании $e$ скорость роста функции в каждой точке в точности равна самому значению функции. Поэтому экспонента $e^x$ — самая «естественная» из показательных функций, и почти все формулы анализа записываются именно через неё. Когда основание другое, появляется поправочный множитель $\ln a$, который как раз и показывает, во сколько раз скорость роста отличается от «эталонной» экспоненты.

Производная $a^x$

Для произвольного основания $a > 0$, $a \ne 1$:

$(a^x)' = a^x \cdot \ln a$

Пример. $(3^x)' = 3^x \cdot \ln 3 \approx 3^x \cdot 1{,}099$.

Частный случай: при $a = e$ получаем $(e^x)' = e^x \cdot \ln e = e^x \cdot 1 = e^x$.

Главная ловушка этой формулы — забыть про множитель $\ln a$ или, наоборот, добавить его не туда. Запомни: $\ln a$ — это константа, число, которое зависит только от основания, но не от $x$. Например, для $2^x$ это $\ln 2 \approx 0{,}693$, для $10^x$ это $\ln 10 \approx 2{,}303$. Само $x$ под логарифм не попадает — там стоит именно основание степени. Когда основание равно $e$, множитель превращается в единицу, и формула упрощается до самой себя. Поэтому экспонента $e^x$ так удобна: с ней не нужно тащить за собой никаких лишних коэффициентов.

Производная $\ln x$

$(\ln x)' = \frac{1}{x}, \quad x > 0$

Функция $\ln x$ определена только при $x > 0$, производная тоже существует только при $x > 0$. Эта формула — одна из самых элегантных во всём анализе: производная логарифма оказывается простой степенной функцией $1/x$, хотя сам логарифм устроен совсем не похоже на степени. Эту связь активно используют не только при дифференцировании, но и при интегрировании: именно поэтому первообразная для $1/x$ — это $\ln|x|$.

Пример. $(\ln 5x)' = \dfrac{1}{5x} \cdot (5x)' = \dfrac{1}{5x} \cdot 5 = \dfrac{1}{x}$.

Замечательный факт: производная $\ln(x)$ и $\ln(kx)$ при любом $k > 0$ одинакова — равна $1/x$. Это легко объяснить через свойство логарифма: $\ln(kx) = \ln k + \ln x$, а производная постоянного слагаемого $\ln k$ равна нулю. Поэтому домножение аргумента на константу никак не меняет производную логарифма. На экзамене этот факт иногда позволяет заметно сократить вычисления — если внутри логарифма стоит произведение, его выгодно сначала разложить в сумму логарифмов.

Производная $\log_a x$

$(\log_a x)' = \frac{1}{x \cdot \ln a}, \quad x > 0, \quad a > 0, \quad a \ne 1$

Эту формулу проще всего понять через переход к натуральному логарифму. Любой логарифм можно выразить так: $\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}$. Здесь $\ln a$ — постоянное число, поэтому при дифференцировании оно выносится за знак производной как множитель. Производная $\ln x$ равна $\dfrac{1}{x}$, и, разделив её на постоянную $\ln a$, получаем $\dfrac{1}{x \ln a}$. Вот почему в знаменателе появляется именно $\ln a$. На практике десятичный и любой другой логарифм встречается реже натурального, но знать общую формулу всё равно полезно — она показывает, что все логарифмы устроены одинаково и отличаются лишь постоянным множителем.

Пример. $(\log_{10} x)' = \dfrac{1}{x \cdot \ln 10} \approx \dfrac{1}{2{,}303\, x}$.

Частный случай: при $a = e$: $(\log_e x)' = (\ln x)' = \dfrac{1}{x \cdot \ln e} = \dfrac{1}{x}$.

Заметь красивую симметрию: для показательной функции множитель $\ln a$ оказывается в числителе, а для логарифмической — в знаменателе. Это не случайность. Показательная и логарифмическая функции взаимно обратны, а производные взаимно обратных функций связаны формулой «единица, делённая на производную». Поэтому всё, что у одной стоит сверху, у другой переезжает вниз. Если запомнить эту закономерность, не придётся зубрить четыре формулы по отдельности — достаточно знать две и понимать связь между ними.

Цепное правило (сложная функция)

На ЕГЭ показательные и логарифмические функции почти никогда не встречаются в «чистом» виде — внутри обычно стоит не просто $x$, а целое выражение. Например, $e^{3x^2-1}$ или $\ln(x^2+4)$. Для таких сложных функций работает цепное правило: производная вычисляется как производная «внешней» функции, умноженная на производную «внутренней».

Если вместо $x$ стоит сложная функция $u(x)$, применяй цепное правило:

$\bigl(f(u(x))\bigr)' = f'(u) \cdot u'(x)$

Формулы с цепным правилом:

$(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$

$(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \cdot \ln a \cdot u'(x)$

$(\ln u(x))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$

$(\log_a u(x))' = \frac{u'(x)}{u(x) \cdot \ln a}$

Заметь, что для логарифма цепное правило даёт особенно красивую формулу: производная $\ln u(x)$ — это просто дробь, где в числителе стоит производная внутренней функции, а в знаменателе — сама внутренняя функция. Эту запись $\dfrac{u'}{u}$ называют логарифмической производной, и она встречается очень часто. Если запомнить её как готовый шаблон, дифференцирование логарифмов от любых выражений становится почти механическим.

Пример 1 (уровень А, полностью разобран)

Найди производную $f(x) = e^{3x^2 - 1}$.

Решение. Перед нами сложная функция: внутри экспоненты стоит не просто $x$, а выражение $3x^2 - 1$. Значит, работает цепное правило. Обозначим внутреннюю функцию $u(x) = 3x^2 - 1$, её производная $u'(x) = 6x$. Производная экспоненты от $u$ — это снова экспонента, умноженная на производную внутренней части:

$f'(x) = e^{3x^2 - 1} \cdot (3x^2 - 1)' = e^{3x^2 - 1} \cdot 6x = 6x \cdot e^{3x^2 - 1}$

Ответ: $f'(x) = 6x \cdot e^{3x^2 - 1}$.

Типичная ошибка. Забыть множитель $6x$ и написать просто $e^{3x^2-1}$. Внутри стоит не $x$, поэтому без производной внутренней функции не обойтись.

Пример 2 (уровень Б, один шаг свёрнут)

Найди производную $g(x) = \ln(x^2 + 4)$.

Решение. Это логарифм от сложного аргумента. Применяй формулу $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$: в числитель ставишь производную внутренней функции, в знаменатель — саму внутреннюю функцию. Найди $u'$ для $u = x^2 + 4$ и запиши ответ.

Типичная ошибка. Написать $\dfrac{1}{x^2+4}$ без производной числителя. Под логарифмом сложная функция — числитель обязан содержать $u' = 2x$.

Пример 3 (уровень В, два шага свёрнуты)

Найди наибольшее значение функции $h(x) = x - \ln x$ на отрезке $\left[\tfrac{1}{2};\ 3\right]$. Это типичная формулировка задания 12.

Шаг 1: найди производную и приравняй её к нулю, чтобы получить критическую точку внутри отрезка.

Шаг 2: вычисли значения функции в критической точке и на обоих концах отрезка, выбери из них наибольшее.

Ответ: $3 - \ln 3$.

Важный приём. В задании 12 на отрезке наибольшее и наименьшее значение надо искать не только в критических точках, но и на концах отрезка. Часто именно конец и даёт ответ — как здесь.

Типичные ошибки на ЕГЭ

Разберём самые частые промахи, чтобы ты их обходил заранее. Первая ошибка — забыть множитель $\ln a$ в производной показательной функции с основанием, отличным от $e$. Производная $2^x$ — это $2^x \ln 2$, а не просто $2^x$. Вторая ошибка — потерять цепное правило: если внутри стоит выражение, а не голый $x$, обязательно домножай на производную внутренней функции. Третья ошибка связана с областью определения логарифма: его производная существует только при положительных $x$, и в задачах на исследование это надо учитывать, иначе можно «найти» экстремум там, где функция вообще не определена. Четвёртая ошибка — путать производную и первообразную: если ищешь именно производную, не нужно прибавлять никакую постоянную. Все четыре ошибки лечатся одним приёмом — проверкой: дифференцируй аккуратно и держи в голове область определения.

Алгоритм для задания 12

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции с экспонентой или логарифмом на отрезке, действуй по шагам. Сначала найди производную, используя четыре формулы и цепное правило. Затем приравняй производную к нулю и реши уравнение — получишь критические точки. Отбери те из них, что лежат внутри отрезка. После этого вычисли значения исходной функции в каждой отобранной точке и обязательно на обоих концах отрезка. Наконец, сравни все полученные числа: самое большое — это наибольшее значение, самое маленькое — наименьшее. Этот алгоритм универсален и работает для любых функций, не только показательных и логарифмических.

Связь с другими темами

Эта тема — часть большого блока про производные. Базовые формулы собраны в таблице производных, а общий механизм дифференцирования сложных функций разобран в статье про производную сложной функции. Когда освоишь производные всех элементарных функций, переходи к полному исследованию функции — там показательные и логарифмические функции исследуют целиком: с экстремумами, монотонностью и асимптотами.

Что запомнить

Четыре формулы — фундамент темы: $(e^x)' = e^x$, $(a^x)' = a^x \ln a$, $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$, $(\log_a x)' = \dfrac{1}{x \ln a}$. Множитель $\ln a$ у показательной стоит в числителе, у логарифмической — в знаменателе; это следствие того, что функции взаимно обратны. Если внутри стоит не просто $x$, а сложное выражение, обязательно домножай на производную внутренней функции по цепному правилу. В задании 12 после нахождения производной не забывай проверять концы отрезка — наибольшее значение часто оказывается именно там.

Часто задаваемые вопросы