Производная обратной функции: формула и арксинус

Производная обратной функции — тема, которая поначалу пугает обозначениями, но на деле опирается на одну простую идею. Чаще всего она встречается в виде производных арктригонометрических функций — арксинуса, арккосинуса, арктангенса. Эти формулы нужны при исследовании функций в задании 12 ЕГЭ профиль, особенно когда в выражении появляются обратные тригонометрические функции. Понять механизм несложно: если знаешь, что такое обратная функция, и помнишь основные тригонометрические тождества, вывести любую из этих производных можно прямо на экзамене. Разберём формулу, выведем три ключевые производные и потренируемся на задачах.

Формула производной обратной функции

Если функция $f$ обратима и $f^{-1}$ — её обратная функция, то:

$\boxed{(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)}}$

где $x$ и $y$ связаны через $y = f(x)$, то есть $x = f^{-1}(y)$.

Формула выглядит коротко, но за ней стоит важная мысль. Производная — это мера того, насколько быстро меняется функция. Когда мы «переворачиваем» функцию, делая её обратной, мы как бы меняем местами роли входа и выхода. Поэтому и скорость изменения переворачивается: там, где исходная функция меняется быстро, обратная меняется медленно, и наоборот. Математически это «переворачивание» и выражается единицей в числителе: производная обратной функции обратна производной исходной. Не путай эту операцию с обычным нахождением производной — здесь мы используем уже известную производную одной функции, чтобы получить производную другой, связанной с ней.

Смысл формулы: наклон обратной функции в точке — это обратная величина наклона исходной функции в соответствующей точке. Если исходная функция круто идёт вверх (большая производная), то обратная — пологая (малая производная). Логично: графики обратных функций — зеркальные отражения относительно прямой $y = x$.

Чтобы это представить наглядно, вспомни, как получается график обратной функции. Мы берём исходный график и отражаем его относительно биссектрисы первого координатного угла, то есть прямой $y = x$. При таком отражении оси $x$ и $y$ меняются местами, а вместе с ними переворачивается и понятие наклона: то, что было «по горизонтали», становится «по вертикали», и наоборот. Поэтому угловой коэффициент касательной превращается в обратную величину. Это и объясняет, почему в формуле появляется единица, делённая на производную, — отражение графика буквально «переворачивает» наклон.

Условие применимости: $f'(x) \neq 0$ — иначе деление на ноль, обратная функция не дифференцируема. Геометрически это означает, что в точке с горизонтальной касательной (где наклон исходной функции равен нулю) у обратной функции касательная становится вертикальной, а вертикальный наклон не выражается конечным числом. Именно поэтому на концах области определения арксинуса производная уходит в бесконечность — там исходный синус имеет горизонтальную касательную.

Производная arcsin(x)

Арксинус — обратная функция к синусу на промежутке $[-\pi/2; \pi/2]$. Этот промежуток выбран не случайно: на нём синус строго возрастает и пробегает все значения от $-1$ до $1$, поэтому у него есть однозначная обратная функция. На всей прямой синус обратимым не является — он периодичен и принимает каждое значение бесконечно много раз. Именно поэтому область значений арксинуса ограничена этим отрезком, а область определения — отрезком $[-1; 1]$.

Применяем формулу. Если $y = \arcsin(x)$, то $x = \sin(y)$.

$(\arcsin(x))' = \frac{1}{(\sin(y))'} = \frac{1}{\cos(y)}$

Получилась производная через косинус угла $y$, но в ответе нам нужна функция от $x$, а не от $y$. Поэтому следующий шаг — выразить $\cos(y)$ через $x$. Используем основное тригонометрическое тождество, связывающее синус и косинус одного угла. Из тождества $\sin^2(y) + \cos^2(y) = 1$:

$\cos(y) = \sqrt{1 - \sin^2(y)} = \sqrt{1 - x^2}$

(знак «+», так как $y \in [-\pi/2; \pi/2]$, где $\cos(y) \geq 0$). Этот выбор знака — важная деталь, на которой иногда спотыкаются. Корень в общем случае даёт два значения, плюс и минус, но здесь мы точно знаем, что косинус неотрицателен на всём промежутке значений арксинуса. Поэтому берём именно положительный корень. Если бы мы механически поставили минус, формула получилась бы неверной. Всегда привязывай выбор знака к промежутку, на котором определена обратная функция, — это убирает двусмысленность.

$\boxed{(\arcsin(x))' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad x \in (-1; 1)}$

Область: открытый интервал $(-1; 1)$, потому что при $x = \pm 1$ касательная к графику арксинуса вертикальна — производная бесконечна.

Обрати внимание на ход вывода — он типовой и его стоит запомнить как шаблон. Сначала мы записали обратную функцию через прямую: $y = \arcsin x$ означает $x = \sin y$. Затем применили формулу производной обратной функции, получив $\dfrac{1}{\cos y}$. И, наконец, выразили $\cos y$ через $x$ с помощью основного тригонометрического тождества. Этот же путь работает для всех арктригонометрических производных — меняется только тождество на последнем шаге. Если понимать логику, не придётся заучивать формулы механически: их можно восстановить за минуту прямо на экзамене.

Производная arccos(x)

Арккосинус — обратная функция к косинусу на промежутке $[0; \pi]$.

Аналогично: если $y = \arccos(x)$, то $x = \cos(y)$.

$(\arccos(x))' = \frac{1}{(\cos(y))'} = \frac{1}{-\sin(y)}$

Из тождества $\sin(y) = \sqrt{1-\cos^2(y)} = \sqrt{1-x^2}$ (знак «+», так как $y \in [0; \pi]$, где $\sin(y) \geq 0$):

$\boxed{(\arccos(x))' = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad x \in (-1; 1)}$

Ключевое отличие от arcsin: знак минус. Это логично — косинус убывает, арккосинус тоже убывает, значит производная отрицательная.

Здесь важно не запутаться в логике знака. Арккосинус — это функция, которая по значению косинуса возвращает угол. Когда $x$ растёт от $-1$ к $1$, соответствующий угол арккосинуса уменьшается от $\pi$ к нулю. То есть арккосинус — убывающая функция, а у убывающей функции производная отрицательна. Отсюда и минус в формуле. Если на экзамене засомневаешься в знаке, восстанови эту цепочку рассуждений: убывает — значит минус. Это надёжнее, чем пытаться вспомнить формулу наизусть, рискуя перепутать её с арксинусом.

Сумма arcsin и arccos: $\arcsin(x) + \arccos(x) = \pi/2$ при $x \in [-1; 1]$. Поэтому производные отличаются только знаком — это подтверждает формула.

Это тождество — красивый способ проверить себя. Раз сумма арксинуса и арккосинуса постоянна и равна $\pi/2$, то производная этой суммы должна равняться нулю. Действительно: $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \left(-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = 0$. Всё сходится. Если бы при выводе мы где-то ошиблись со знаком, эта проверка сразу бы это показала. Такие связи между функциями — хороший инструмент самоконтроля, и их полезно держать в голове.

Производная arctg(x)

Арктангенс — обратная функция к тангенсу на промежутке $(-\pi/2; \pi/2)$. На этом интервале тангенс строго возрастает от минус бесконечности до плюс бесконечности, поэтому у него есть однозначная обратная функция, определённая для всех вещественных чисел. Именно поэтому область определения арктангенса — вся числовая прямая, в отличие от арксинуса и арккосинуса, которые «живут» только на отрезке $[-1; 1]$.

Если $y = \arctg(x)$, то $x = \tg(y)$.

$(\arctg(x))' = \frac{1}{(\tg(y))'} = \frac{1}{\dfrac{1}{\cos^2(y)}} = \cos^2(y)$

Из формулы $\tg(y) = x$ и $1 + \tg^2(y) = 1/\cos^2(y)$:

$\cos^2(y) = \frac{1}{1 + \tg^2(y)} = \frac{1}{1+x^2}$

$\boxed{(\arctg(x))' = \frac{1}{1+x^2}, \quad x \in \mathbb{R}}$

Область: вся числовая прямая, так как $1+x^2 > 0$ при любом $x$.

Производная арктангенса заслуживает отдельного внимания по двум причинам. Во-первых, в ней нет корня — это редкость среди арктригонометрических производных и делает её особенно удобной в работе. Во-вторых, её область определения — вся числовая прямая, без всяких ограничений, потому что знаменатель $1 + x^2$ никогда не обращается в ноль и всегда положителен. Поэтому арктангенс можно дифференцировать в любой точке, не задумываясь об области. Эта функция к тому же всюду возрастает, что согласуется с её положительной производной. Запомни формулу $\dfrac{1}{1+x^2}$ — она встречается не только при дифференцировании, но и при интегрировании, где работает в обратную сторону.

Сводная таблица

Из этой таблицы видно общую закономерность: производные парных функций отличаются только знаком. Арксинус и арккосинус имеют одинаковую по модулю производную, но с разными знаками; то же справедливо для арктангенса и арккотангенса. Это прямое следствие того, что суммы этих пар функций постоянны: $\arcsin + \arccos = \dfrac{\pi}{2}$ и $\arctg + \text{arcctg} = \dfrac{\pi}{2}$. Поэтому фактически достаточно запомнить две формулы — для арксинуса и арктангенса, — а остальные получить, поставив минус. Это заметно облегчает подготовку: вместо четырёх формул держишь в голове две и одно простое правило.

Пример 1 (уровень А, полностью разобран)

Найди производную функции $f(x) = \arcsin(2x)$.

Решение. Внутри арксинуса стоит не просто $x$, а выражение $2x$ — значит, работает цепное правило. Внешняя функция — арксинус, её производная $\dfrac{1}{\sqrt{1-u^2}}$. Внутренняя функция $u = 2x$, её производная равна $2$. Перемножаем:

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}} \cdot 2 = \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$

Ответ: $f'(x) = \dfrac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$.

Типичная ошибка. Забыть множитель $2$ и написать просто $\dfrac{1}{\sqrt{1-4x^2}}$. Производная внутренней функции обязательна.

Пример 2 (уровень Б, один шаг свёрнут)

Найди производную функции $f(x) = \arcsin(3x - 1)$.

Решение. Снова цепное правило: внешняя функция арксинус, внутренняя $u = 3x - 1$ с производной $u' = 3$. Запиши производную по формуле $\dfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$ и раскрой выражение под корнем $1 - (3x-1)^2$ самостоятельно.

$f'(x) = \frac{3}{\sqrt{1-(3x-1)^2}}$

Зачем следить за ОДЗ. Производная арксинуса существует не везде, а только там, где подкоренное выражение положительно. В ответе часто требуется указать именно эту область.

Пример 3 (уровень В, два шага свёрнуты)

Найди производную функции $f(x) = \arctg\!\left(\dfrac{x}{2}\right) + \arcsin\!\left(\dfrac{x}{\sqrt{5}}\right)$ в точке $x = 0$.

Шаг 1: продифференцируй каждое слагаемое с цепным правилом, не подставляя пока ничего.

Шаг 2: подставь $x = 0$ в полученное выражение и упрости.

Ответ: $f'(0) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{5}}{5}$.

Типичные ошибки на ЕГЭ

Ошибка 1. Забывают цепное правило и пишут $(\arcsin(2x))' = \dfrac{1}{\sqrt{1-4x^2}}$ без множителя 2. Всегда умножай на производную внутренней функции — это самый частый промах.

Ошибка 2. Путают знаки арксинуса и арккосинуса. Запомни логику: арккосинус убывает, поэтому его производная отрицательная, со знаком минус. У арксинуса знак плюс.

Ошибка 3. Не следят за областью определения. После нахождения производной проверяй, при каких $x$ она существует, — это часто входит в ответ, особенно для арксинуса и арккосинуса, у которых подкоренное выражение должно быть положительным.

Ошибка 4. Путают области определения: у арксинуса и арккосинуса производная существует на интервале $(-1; 1)$, а у арктангенса — на всей прямой. Не переноси одно ограничение на другую функцию.

Связь с другими темами

Производная обратной функции опирается на понятие обратной функции и на цепное правило, без которого не обойтись при дифференцировании сложных аргументов. Все базовые формулы, включая арктригонометрические, собраны в таблице производных. Понимание того, как связаны производные взаимно обратных функций, пригодится и в более общих задачах исследования функции.

Что запомнить

Главная формула — производная обратной функции равна единице, делённой на производную исходной: $(f^{-1})'(y) = \dfrac{1}{f'(x)}$. Из неё выводятся три ключевые арктригонометрические производные: $\arcsin' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ и $\arccos' = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ на интервале $(-1; 1)$, а также $\arctg' = \dfrac{1}{1+x^2}$ на всей числовой прямой. При сложном аргументе всегда применяй цепное правило и домножай на производную внутренней функции. И следи за областью определения — у арксинуса и арккосинуса она ограничена.

Часто задаваемые вопросы