Производная обратной функции: формула и арксинус

Производная обратной функции — одна из тем задания 7. Чаще всего встречается в виде производных арктригонометрических функций с цепным правилом. Понять формулу несложно — достаточно знать смысл обратной функции.

Формула производной обратной функции

Если функция $f$ обратима и $f^{-1}$ — её обратная функция, то:

$\boxed{(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)}}$

где $x$ и $y$ связаны через $y = f(x)$, то есть $x = f^{-1}(y)$.

Смысл формулы: наклон обратной функции в точке — это обратная величина наклона исходной функции в соответствующей точке. Если исходная функция круто идёт вверх (большая производная), то обратная — пологая (малая производная). Логично: графики обратных функций — зеркальные отражения относительно прямой $y = x$.

Условие применимости: $f'(x) \neq 0$ — иначе деление на ноль, обратная функция не дифференцируема.

Производная arcsin(x)

Арксинус — обратная функция к синусу на промежутке $[-\pi/2; \pi/2]$.

Применяем формулу. Если $y = \arcsin(x)$, то $x = \sin(y)$.

$(\arcsin(x))' = \frac{1}{(\sin(y))'} = \frac{1}{\cos(y)}$

Нужно выразить $\cos(y)$ через $x$. Из тождества $\sin^2(y) + \cos^2(y) = 1$:

$\cos(y) = \sqrt{1 - \sin^2(y)} = \sqrt{1 - x^2}$

(знак «+», так как $y \in [-\pi/2; \pi/2]$, где $\cos(y) \geq 0$).

$\boxed{(\arcsin(x))' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad x \in (-1; 1)}$

Область: открытый интервал $(-1; 1)$, потому что при $x = \pm 1$ касательная к графику арксинуса вертикальна — производная бесконечна.

Производная arccos(x)

Арккосинус — обратная функция к косинусу на промежутке $[0; \pi]$.

Аналогично: если $y = \arccos(x)$, то $x = \cos(y)$.

$(\arccos(x))' = \frac{1}{(\cos(y))'} = \frac{1}{-\sin(y)}$

Из тождества $\sin(y) = \sqrt{1-\cos^2(y)} = \sqrt{1-x^2}$ (знак «+», так как $y \in [0; \pi]$, где $\sin(y) \geq 0$):

$\boxed{(\arccos(x))' = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad x \in (-1; 1)}$

Ключевое отличие от arcsin: знак минус. Это логично — косинус убывает, арккосинус тоже убывает, значит производная отрицательная.

Сумма arcsin и arccos: $\arcsin(x) + \arccos(x) = \pi/2$ при $x \in [-1; 1]$. Поэтому производные отличаются только знаком — это подтверждает формула.

Производная arctg(x)

Арктангенс — обратная функция к тангенсу на промежутке $(-\pi/2; \pi/2)$.

Если $y = \arctg(x)$, то $x = \tg(y)$.

$(\arctg(x))' = \frac{1}{(\tg(y))'} = \frac{1}{\dfrac{1}{\cos^2(y)}} = \cos^2(y)$

Из формулы $\tg(y) = x$ и $1 + \tg^2(y) = 1/\cos^2(y)$:

$\cos^2(y) = \frac{1}{1 + \tg^2(y)} = \frac{1}{1+x^2}$

$\boxed{(\arctg(x))' = \frac{1}{1+x^2}, \quad x \in \mathbb{R}}$

Область: вся числовая прямая, так как $1+x^2 > 0$ при любом $x$.

Сводная таблица

Разобранная задача 1 (цепное правило)

Условие. Найди производную функции $f(x) = \arcsin(3x - 1)$.

Решение.

Используем цепное правило: $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

Здесь $g(u) = \arcsin(u)$, $h(x) = 3x - 1$.

$g'(u) = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}, \quad h'(x) = 3$

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-(3x-1)^2}} \cdot 3 = \frac{3}{\sqrt{1-(3x-1)^2}}$

Раскроем выражение под корнем: $1-(3x-1)^2 = 1 - (9x^2 - 6x + 1) = 6x - 9x^2 = 3x(2-3x)$

$\boxed{f'(x) = \frac{3}{\sqrt{3x(2-3x)}}}$

ОДЗ: $3x(2-3x) > 0$, то есть $0 < x < 2/3$.

Разобранная задача 2 (уровень ЕГЭ)

Условие. Найди производную функции $f(x) = \arctg\!\left(\dfrac{x}{2}\right) + \arcsin\!\left(\dfrac{x}{\sqrt{5}}\right)$ в точке $x = 0$.

Решение.

Дифференцируем каждое слагаемое с цепным правилом.

Первое слагаемое: $\left(\arctg\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)' = \dfrac{1}{1+\left(\dfrac{x}{2}\right)^2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2 \cdot \left(1 + \dfrac{x^2}{4}\right)} = \dfrac{2}{4+x^2}$

Второе слагаемое: $\left(\arcsin\!\left(\dfrac{x}{\sqrt{5}}\right)\right)' = \dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{x^2}{5}}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{5 - x^2}}$

Итого: $f'(x) = \frac{2}{4+x^2} + \frac{1}{\sqrt{5-x^2}}$

В точке $x = 0$: $f'(0) = \frac{2}{4+0} + \frac{1}{\sqrt{5-0}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{5}$

Ответ: $f'(0) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{5}}{5}$.

Типичные ошибки на ЕГЭ

Ошибка 1: Забывают цепное правило и пишут $(\arcsin(2x))' = 1/\sqrt{1-4x^2}$ без множителя 2. Всегда умножай на производную внутренней функции.

Ошибка 2: Путают знаки arcsin и arccos. Запомни: arccos убывает → производная отрицательная.

Ошибка 3: Не следят за ОДЗ. После нахождения производной проверяй, при каких x она существует — это часто требуется в ответе.