Производная суммы, произведения и частного

Правила дифференцирования — это формулы для вычисления производной сложных выражений через производные простых частей. Знание трёх правил (сумма, произведение, частное) закрывает 80% задач на производные в ЕГЭ.

Производная суммы (разности)

$(u \pm v)' = u' \pm v'$

Следствие: можно дифференцировать слагаемые по отдельности.

Пример 1. $(3x^2 + 5x - 7)' = (3x^2)' + (5x)' - 7' = 6x + 5 - 0 = 6x + 5$.

Константа на функцию: $(C \cdot u)' = C \cdot u'$

Производная произведения

$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Мнемоника: «штрих на первый, второй — как есть, плюс первый как есть, штрих на второй».

Расширение на три множителя: $(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'$

Пример 2. $(x^2 \cdot \sin x)' = (x^2)' \cdot \sin x + x^2 \cdot (\sin x)' = 2x\sin x + x^2\cos x$.

Пример 3. $(x \cdot e^x \cdot \ln x)' = e^x\ln x + x e^x\ln x + x e^x \cdot \dfrac{1}{x} = e^x\ln x + x e^x\ln x + e^x$.

Производная частного

$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} \quad (v \neq 0)$

Мнемоника: «штрих числителя на знаменатель минус числитель на штрих знаменателя, делённое на квадрат знаменателя».

Частный случай: производная константы делённой на функцию: $\left(\frac{C}{v}\right)' = -\frac{C \cdot v'}{v^2}$

Пример 4. $\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)' = \dfrac{(\sin x)' \cdot x - \sin x \cdot (x)'}{x^2} = \dfrac{x\cos x - \sin x}{x^2}$.

Пример 5. $\left(\dfrac{x^2 + 1}{x - 1}\right)' = \dfrac{2x(x-1) - (x^2+1) \cdot 1}{(x-1)^2} = \dfrac{2x^2 - 2x - x^2 - 1}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}$.

Комбинированные примеры

Пример 6 (уровень Б). Найти производную $f(x) = (x^2 - 3)(x + 2)$.

Метод 1: произведение. $f'(x) = (x^2-3)' \cdot (x+2) + (x^2-3) \cdot (x+2)' = 2x(x+2) + (x^2-3) = 2x^2 + 4x + x^2 - 3 = 3x^2 + 4x - 3$.

Метод 2: раскрыть скобки. $f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x - 6 \Rightarrow f'(x) = 3x^2 + 4x - 3$. Совпадает.

Пример 7 (уровень Б). Найти производную $f(x) = \dfrac{x^2}{\cos x}$.

$f'(x) = \dfrac{2x \cos x - x^2(-\sin x)}{\cos^2 x} = \dfrac{2x\cos x + x^2\sin x}{\cos^2 x} = \dfrac{x(2\cos x + x\sin x)}{\cos^2 x}$.

Пример 8 (задание 7). Найти точки, в которых касательная к $f(x) = x^2(x-3)$ горизонтальна.

$f(x) = x^3 - 3x^2$.

$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$.

$f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0$ или $x = 2$.

Ответ: $x = 0$ (точка $(0,\,0)$) и $x = 2$ (точка $(2,\,-4)$).

Таблица правил дифференцирования

Как выбрать нужное правило

Перед тем как дифференцировать, полезно посмотреть на структуру выражения и понять, какое правило главное. Если функция — это сумма или разность нескольких частей, разделённых плюсами и минусами, то главное правило здесь правило суммы: дифференцируешь каждое слагаемое по отдельности. Это самый частый случай, особенно для многочленов, где каждое слагаемое — отдельная степень икса.

Если функция — это произведение двух множителей, которые нельзя или не хочется перемножать, нужно правило произведения. Типичный признак — когда хотя бы один из множителей не многочлен, например, синус, логарифм или экспонента. Раскрыть такое произведение в сумму нельзя, поэтому без правила произведения не обойтись. Если же оба множителя — простые многочлены, иногда быстрее сначала раскрыть скобки и применить правило суммы.

Если функция — это дробь, у которой и в числителе, и в знаменателе стоят выражения с иксом, нужно правило частного. Но прежде чем хвататься за громоздкую формулу, проверь: может быть, дробь упрощается. Иногда дробь сокращается или числитель делится на знаменатель нацело, и тогда задача становится намного проще. Привычка сначала упрощать, а потом дифференцировать экономит время и снижает риск ошибки.

Чаще всего в одной задаче встречаются сразу несколько правил. Например, нужно продифференцировать сумму, одно из слагаемых которой — произведение, а другое — дробь. Тогда правила применяют послойно: сначала разбиваешь выражение по самому внешнему правилу, а внутри каждого куска применяешь подходящее. Главное — не пытаться сделать всё одним махом, а аккуратно разложить выражение на части.

Порядок действий в сложных выражениях

Когда выражение громоздкое, легко запутаться и потерять кусок. Чтобы этого избежать, придерживайся чёткого порядка. Сначала определи самую внешнюю операцию — то, что связывает выражение в единое целое. Если самые внешние знаки это плюсы и минусы, начинай с правила суммы и разбивай выражение на слагаемые. Затем для каждого слагаемого по отдельности смотри, что это: произведение, дробь, степень, и применяй соответствующее правило.

Очень помогает выписывать промежуточные результаты, а не держать всё в голове. Продифференцировал первое слагаемое — записал. Перешёл ко второму — записал. В конце собрал всё вместе. Такой пошаговый подход выглядит длиннее, но на экзамене он надёжнее: ты не теряешь слагаемые и не путаешь знаки. Особенно это важно в дробях, где после применения формулы частного нужно ещё аккуратно раскрыть скобки в числителе и привести подобные.

Ещё один полезный приём — проверка ответа на простых значениях или альтернативным способом. Если выражение можно продифференцировать двумя способами, например, через правило произведения и через раскрытие скобок, посчитай обоими и сравни. Совпадение ответов почти гарантирует, что ошибки нет. Этот приём особенно ценен на тренировках: он не только проверяет результат, но и закрепляет понимание того, что разные пути ведут к одному и тому же.

Где правила нужны в заданиях ЕГЭ

Правила дифференцирования — это фундамент всех задач с производной в профильном экзамене. Без них невозможно найти производную ни в задаче на касательную, ни в задаче на исследование функции, ни в задаче на наибольшее и наименьшее значение. Практически каждая такая задача начинается с одного и того же шага: взять производную заданной функции. И почти всегда функция оказывается составной — сумма, произведение или дробь, — а значит, требует применения этих правил.

Поэтому, чем увереннее ты владеешь правилами дифференцирования, тем быстрее проходишь первый, технический этап любой задачи на производную и тем больше времени остаётся на содержательную часть. Опытные ученики берут производную составной функции почти автоматически, не задумываясь над выбором правила, и именно к этому стоит стремиться. Регулярная тренировка превращает эти формулы из набора символов в естественный навык, которым пользуешься не глядя.

Чтобы довести правила до автоматизма, полезно решать задачи именно на технику дифференцирования, без дополнительного исследования функции. Берёшь функцию, находишь производную, проверяешь ответ — и так десятки раз, пока выбор нужного правила не станет мгновенным. Такой целенаправленной отработки часто не хватает: ученик сразу прыгает к сложным задачам и спотыкается не на идее, а именно на технике взятия производной. Поэтому, если в задачах на исследование функции ты регулярно ошибаешься уже на первом шаге, имеет смысл вернуться назад и отдельно потренировать сами правила. Это вложение быстро окупается на всех последующих темах.

Что означают эти правила на самом деле

Правила дифференцирования кажутся набором формул, которые нужно запомнить, но за каждым стоит понятный смысл. Производная — это скорость изменения. Когда у тебя сумма двух функций, общая скорость её изменения складывается из скоростей изменения каждого слагаемого. Поэтому производная суммы — это сумма производных, и здесь нет ничего неожиданного: вклады просто складываются. По той же причине постоянный множитель выносится за знак производной — если функцию умножили на число, во столько же раз вырастает и скорость её изменения.

С произведением сложнее, и именно поэтому формула выглядит непривычно. Когда произведение двух функций меняется, на это есть две причины одновременно: меняется первый множитель, и меняется второй. Представь прямоугольник, стороны которого — это значения двух функций. Его площадь — это произведение. Когда обе стороны чуть-чуть растут, площадь увеличивается за счёт двух полосок: одна добавляется из-за роста первой стороны, другая — из-за роста второй. Формула производной произведения как раз и складывает эти два вклада: производная первого множителя на второй плюс первый на производную второго. Вот почему нельзя просто перемножить производные — это потеряло бы оба вклада и оставило бы только крошечный угловой кусочек, который при стремлении приращения к нулю вообще исчезает.

Правило частного выводится из правила произведения и имеет похожую логику, но с вычитанием. В числителе стоит разность: производная числителя на знаменатель минус числитель на производную знаменателя. Знак минус появляется потому, что рост знаменателя уменьшает дробь — чем больше делитель, тем меньше результат. А деление на квадрат знаменателя нужно, чтобы правильно учесть, как сам знаменатель влияет на величину дроби. Понимание этой логики помогает не перепутать порядок в числителе и не потерять квадрат в знаменателе — две самые частые ошибки.

Эти три правила — суммы, произведения и частного — работают вместе с таблицей производных простых функций. Таблица говорит, чему равна производная отдельного кирпичика: степени, синуса, экспоненты, логарифма. А правила говорят, как из производных кирпичиков собрать производную всей конструкции. Можно представить это как два уровня знания: таблица — это словарь, а правила — это грамматика, которая связывает слова в предложения. Без словаря грамматика бесполезна, без грамматики словарь не складывается в речь. Поэтому учить их нужно вместе, и только тогда дифференцирование становится по-настоящему свободным навыком.

Отдельно стоит упомянуть ещё одно правило, которое часто идёт в паре с этими тремя, — правило дифференцирования сложной функции, или цепное правило. Оно нужно, когда одна функция вложена внутрь другой, например, синус от квадрата икса. Сумма, произведение и частное описывают, как функции соединены рядом друг с другом, а цепное правило описывает, как они вложены одна в другую. В реальных задачах ЕГЭ все четыре правила нередко встречаются одновременно, поэтому, освоив первые три, обязательно переходи к цепному правилу — без него арсенал дифференцирования будет неполным.

Разбор с постепенным сокращением подсказок

Три задачи: в первой всё расписано, во второй часть работы за тобой, в третьей считаешь сам.

Разбор 1 — всё подробно

Найди производную $f(x) = x^2 \cdot \ln x$.

Это произведение, применяем правило. Первый множитель — квадрат икса, его производная равна удвоенному икс. Второй множитель — натуральный логарифм, его производная равна единице, делённой на икс. По формуле произведения:

$f'(x) = (x^2)'\cdot\ln x + x^2\cdot(\ln x)' = 2x\ln x + x^2\cdot\frac{1}{x} = 2x\ln x + x.$

Ответ: $f'(x) = 2x\ln x + x$.

Разбор 2 — часть шагов за тобой

Найди производную $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$.

Это частное. В числителе производная числителя — единица, в знаменателе производная знаменателя — удвоенный икс. Подставь в формулу частного: производная числителя на знаменатель минус числитель на производную знаменателя, всё на квадрат знаменателя. После раскрытия скобок в числителе должно получиться:

$f'(x) = \frac{(x^2 + 1) - x\cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}.$

Разбор 3 — почти самостоятельно

Найди производную $f(x) = (2x + 1)(x^2 - x)$.

Опорные шаги: можно либо применить правило произведения, либо сначала раскрыть скобки и продифференцировать почленно. Попробуй оба способа и убедись, что ответы совпадают.

Частые ошибки

1. $(uv)' \neq u'v'$. Производная произведения — не произведение производных. Часто забывают «крест»: нужно $(uv)' = u'v + uv'$.

2. Перепутать порядок в формуле частного. $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$, а не $\dfrac{uv' - u'v}{v^2}$.

3. Забыть знаменатель в квадрате. Знаменатель формулы частного — $v^2$, не $v$.

4. Не дифференцировать второй множитель. При $(u \cdot C)' = C \cdot u'$ — только $u$ дифференцируется.

Что запомнить

Производная суммы равна сумме производных — слагаемые дифференцируются по отдельности, а постоянный множитель выносится за знак производной. Это самое простое правило, и его применяют чаще всего.

Производная произведения — это производная первого множителя на второй плюс первый на производную второго. Главное здесь — не пытаться перемножить производные: это грубая ошибка, потому что произведение функций меняется сразу по двум причинам, и формула учитывает оба вклада. Мнемоника «штрих на первый, второй как есть, плюс первый как есть, штрих на второй» помогает не сбиться.

Производная частного — это производная числителя на знаменатель минус числитель на производную знаменателя, и всё это делится на квадрат знаменателя. Здесь важны три вещи: правильный порядок в числителе, знак минус и квадрат в знаменателе. Перепутаешь порядок — изменится знак ответа; забудешь квадрат — ответ будет неверным.

И последний практический совет: если выражение легко раскрывается в многочлен, иногда проще раскрыть скобки и дифференцировать почленно, чем применять правило произведения. Оба способа дают одинаковый результат — выбирай тот, который короче в конкретной задаче.

Связь с другими темами

• Производная — определение и геометрический смысл.
• Таблица производных — производные стандартных функций.
• Производная сложной функции — правило цепочки для $f(g(x))$.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 7 — нахождение производной и работа с графиком.
• Задание 11 — исследование функции через производную.