Производная суммы, произведения и частного

Правила дифференцирования — это формулы для вычисления производной сложных выражений через производные простых частей. Знание трёх правил (сумма, произведение, частное) закрывает 80% задач на производные в ЕГЭ.

Производная суммы (разности)

$(u \pm v)' = u' \pm v'$

Следствие: можно дифференцировать слагаемые по отдельности.

Пример 1. $(3x^2 + 5x - 7)' = (3x^2)' + (5x)' - 7' = 6x + 5 - 0 = 6x + 5$.

Константа на функцию: $(C \cdot u)' = C \cdot u'$

Производная произведения

$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$

Мнемоника: «штрих на первый, второй — как есть, плюс первый как есть, штрих на второй».

Расширение на три множителя: $(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'$

Пример 2. $(x^2 \cdot \sin x)' = (x^2)' \cdot \sin x + x^2 \cdot (\sin x)' = 2x\sin x + x^2\cos x$.

Пример 3. $(x \cdot e^x \cdot \ln x)' = e^x\ln x + x e^x\ln x + x e^x \cdot \dfrac{1}{x} = e^x\ln x + x e^x\ln x + e^x$.

Производная частного

$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} \quad (v \neq 0)$

Мнемоника: «штрих числителя на знаменатель минус числитель на штрих знаменателя, делённое на квадрат знаменателя».

Частный случай: производная константы делённой на функцию: $\left(\frac{C}{v}\right)' = -\frac{C \cdot v'}{v^2}$

Пример 4. $\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)' = \dfrac{(\sin x)' \cdot x - \sin x \cdot (x)'}{x^2} = \dfrac{x\cos x - \sin x}{x^2}$.

Пример 5. $\left(\dfrac{x^2 + 1}{x - 1}\right)' = \dfrac{2x(x-1) - (x^2+1) \cdot 1}{(x-1)^2} = \dfrac{2x^2 - 2x - x^2 - 1}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}$.

Комбинированные примеры

Пример 6 (уровень Б). Найти производную $f(x) = (x^2 - 3)(x + 2)$.

Метод 1: произведение. $f'(x) = (x^2-3)' \cdot (x+2) + (x^2-3) \cdot (x+2)' = 2x(x+2) + (x^2-3) = 2x^2 + 4x + x^2 - 3 = 3x^2 + 4x - 3$.

Метод 2: раскрыть скобки. $f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x - 6 \Rightarrow f'(x) = 3x^2 + 4x - 3$. Совпадает.

Пример 7 (уровень Б). Найти производную $f(x) = \dfrac{x^2}{\cos x}$.

$f'(x) = \dfrac{2x \cos x - x^2(-\sin x)}{\cos^2 x} = \dfrac{2x\cos x + x^2\sin x}{\cos^2 x} = \dfrac{x(2\cos x + x\sin x)}{\cos^2 x}$.

Пример 8 (задание 7). Найти точки, в которых касательная к $f(x) = x^2(x-3)$ горизонтальна.

$f(x) = x^3 - 3x^2$.

$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$.

$f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0$ или $x = 2$.

Ответ: $x = 0$ (точка $(0,\,0)$) и $x = 2$ (точка $(2,\,-4)$).

Таблица правил дифференцирования

Частые ошибки

1. $(uv)' \neq u'v'$. Производная произведения — не произведение производных. Часто забывают «крест»: нужно $(uv)' = u'v + uv'$.

2. Перепутать порядок в формуле частного. $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$, а не $\dfrac{uv' - u'v}{v^2}$.

3. Забыть знаменатель в квадрате. Знаменатель формулы частного — $v^2$, не $v$.

4. Не дифференцировать второй множитель. При $(u \cdot C)' = C \cdot u'$ — только $u$ дифференцируется.

Связь с другими темами

• Производная — определение и геометрический смысл.
• Таблица производных — производные стандартных функций.
• Производная сложной функции — правило цепочки для $f(g(x))$.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 7 — нахождение производной и работа с графиком.
• Задание 11 — исследование функции через производную.