Производная экспоненты и логарифма

Производная натуральной экспоненты

${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$

Экспонента $e^x$ — единственная функция, равная своей производной. Это её главное свойство.

Производная $a^x$ (показательная с основанием $a>0$, $a\ne 1$):

${\left(a^x\right)}^{\prime }=a^x\cdot \ln a$

При $a=e$: $\ln e=1$, поэтому $(e^x{)}^{\prime }=e^x\cdot 1=e^x$ — согласовано.

Пример. $(2^x{)}^{\prime }=2^x\cdot \ln 2$.

Производная натурального логарифма

${\left(\ln x\right)}^{\prime }=\frac{1}{x},x>0$

Производная ${\log }_{a}x$ (логарифм с произвольным основанием):

${\left({\log }_{a}x\right)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$

При $a=e$: $\ln e=1$, получаем $(\ln x{)}^{\prime }=1/x$ — согласовано.

Пример. $({\log }_{2}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln 2}$.

Производные сложных функций

По правилу сложной функции: $(f(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$.

e^(f(x))

${\left(e^{f(x)}\right)}^{\prime }=e^{f(x)}\cdot f^{\prime }(x)$

Примеры:

• $(e^{3x}{)}^{\prime }=e^{3x}\cdot 3=3e^{3x}$
• $(e^{x^2}{)}^{\prime }=e^{x^2}\cdot 2x$
• $(e^{-x}{)}^{\prime }=e^{-x}\cdot (-1)=-e^{-x}$

ln(f(x))

${\left(\ln f(x)\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$

Примеры:

• $(\ln (3x){)}^{\prime }=\frac{3}{3x}=\frac{1}{x}$
• $(\ln (x^2+1){)}^{\prime }=\frac{2x}{x^2+1}$
• $(\ln (\cos x){)}^{\prime }=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\mathrm{tg}x$

a^(f(x))

${\left(a^{f(x)}\right)}^{\prime }=a^{f(x)}\cdot \ln a\cdot f^{\prime }(x)$

Таблица формул (кратко)

Пример 1: производная в точке

Найти производную $f(x)=e^{2x}-\ln x$.

$f^{\prime }(x)=2e^{2x}-\frac{1}{x}$

Найти $f^{\prime }(1)$:

$f^{\prime }(1)=2e^2-1\approx 2\cdot 7.389-1\approx 13.78$.

Пример 2: точка экстремума

Найти точку экстремума $f(x)=e^x-x$.

$f^{\prime }(x)=e^x-1$. $f^{\prime }(x)=0$: $e^x=1$, $x=0$.

При $x<0$: $e^x<1$, $f^{\prime }(x)<0$ — убывает. При $x>0$: $e^x>1$, $f^{\prime }(x)>0$ — возрастает.

$x=0$ — точка минимума. $f(0)=1-0=1$.

Пример 3: наибольшее значение

Найти наибольшее значение $f(x)=x-\ln x$ на $[1;e^2]$.

$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x}$.

$f^{\prime }(x)=0$: $x=1$.

На $(1;e^2]$: $f^{\prime }(x)=1-1/x>0$ при $x>1$ — функция возрастает.

Значит, наибольшее на $[1;e^2]$ — на правом конце:

$f(e^2)=e^2-\ln (e^2)=e^2-2\approx 7.389-2=5.389$.

Типичные ошибки

Откуда берутся эти формулы

Тебе не нужно выводить формулы на экзамене — их просто помнят. Но если понимать, откуда они, запоминание становится надёжнее.

Экспонента. Число $e\approx 2,718$ — это не случайная константа. Его подбирают так, чтобы у функции $y=e^x$ наклон касательной в каждой точке был ровно равен значению функции. То есть скорость роста экспоненты в точке $x$ равна самой $e^x$. Поэтому $(e^x{)}^{\prime }=e^x$ — это «определяющее» свойство экспоненты, а не следствие.

Показательная $a^x$. Любое основание сводится к экспоненте: $a^x=e^{x\ln a}$. Дифференцируем как сложную функцию:

${\left(a^x\right)}^{\prime }={\left(e^{x\ln a}\right)}^{\prime }=e^{x\ln a}\cdot \ln a=a^x\ln a.$

Вот откуда берётся множитель $\ln a$. Если про него забыть — ответ будет в $\ln a$ раз меньше нужного.

Логарифм. $\ln x$ — обратная функция к $e^x$. Производная обратной функции даёт $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$. А поскольку ${\log }_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}$ (переход к натуральному логарифму), то $({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$ — снова появляется $\ln a$, но уже в знаменателе.

Разбор с постепенным сокращением подсказок

Ниже три примера. В первом расписан каждый шаг, во втором часть работы — за тобой, в третьем считаешь почти всё сам и сверяешь ответ.

Разбор 1 — всё подробно

Найди производную $f(x)=4e^x+3\ln x-5x$ и вычисли $f^{\prime }(1)$.

Шаг 1. Производная суммы — сумма производных, постоянный множитель выносится:

$f^{\prime }(x)=4\cdot {\left(e^x\right)}^{\prime }+3\cdot {\left(\ln x\right)}^{\prime }-5\cdot {\left(x\right)}^{\prime }.$

Шаг 2. Подставляем табличные производные: $(e^x{)}^{\prime }=e^x$, $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$, $(x{)}^{\prime }=1$:

$f^{\prime }(x)=4e^x+\frac{3}{x}-5.$

Шаг 3. Подставляем $x=1$. Используем $e^1=e$, $\frac{3}{1}=3$:

$f^{\prime }(1)=4e+3-5=4e-2\approx 4\cdot 2,718-2=8,872.$

Ответ: $f^{\prime }(1)=4e-2\approx 8,87$.

Разбор 2 — часть шагов за тобой

Найди производную $f(x)=e^{2x}+\ln (5x)$.

Первое слагаемое — сложная функция: внешняя $e^u$, внутренняя $u=2x$, $u^{\prime }=2$. Значит, ${\left(e^{2x}\right)}^{\prime }=e^{2x}\cdot 2=2e^{2x}$.

Второе слагаемое: $(\ln (5x){)}^{\prime }=\frac{(5x{)}^{\prime }}{5x}=\frac{5}{5x}=\frac{1}{x}$. (Заметь: производная $\ln (5x)$ совпала с производной $\ln x$ — постоянный множитель внутри логарифма «исчезает».)

Сложи оба результата сам. Должно получиться:

$f^{\prime }(x)=2e^{2x}+\frac{1}{x}.$

Разбор 3 — почти самостоятельно

Найди производную $f(x)=3^x-{\log }_{2}x$ и вычисли $f^{\prime }(1)$.

Опорные точки: $(3^x{)}^{\prime }=3^x\ln 3$, а $({\log }_{2}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln 2}$. Собери производную, подставь $x=1$ ($3^1=3$, $\frac{1}{1}=1$) и сверься.

Типовые задачи ЕГЭ

Производная экспоненты и логарифма работает в заданиях с исследованием функции — это задание 12 профиля (наибольшее, наименьшее значение и точки экстремума через производную). Разберём три типовых сюжета.

Точка максимума

Найди точку максимума функции $y=(3-x)e^x$.

Производная произведения: $y^{\prime }=(3-x{)}^{\prime }\cdot e^x+(3-x)\cdot {\left(e^x\right)}^{\prime }=-e^x+(3-x)e^x=e^x(2-x)$.

Множитель $e^x>0$ при любом $x$, поэтому знак $y^{\prime }$ определяет скобка $2-x$:

• при $x<2$: $2-x>0$, значит $y^{\prime }>0$ — функция возрастает;
• при $x>2$: $2-x<0$, значит $y^{\prime }<0$ — функция убывает.

Производная меняет знак с «$+$» на «$-$» в точке $x=2$ — это точка максимума.

Ответ: $x=2$.

Точка минимума с логарифмом

Найди точку минимума функции $y=x-\ln x$.

$y^{\prime }=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$. Область определения: $x>0$, значит знаменатель положителен. Знак $y^{\prime }$ задаёт числитель $x-1$:

• при $0<x<1$: $y^{\prime }<0$ — убывает;
• при $x>1$: $y^{\prime }>0$ — возрастает.

Смена знака с «$-$» на «$+$» в точке $x=1$ — точка минимума.

Ответ: $x=1$.

Наибольшее значение на отрезке

Найди наибольшее значение функции $y=x-\ln x$ на отрезке $\left[\frac{1}{e};e^2\right]$.

Из предыдущей задачи: на $(0;1)$ функция убывает, на $(1;+\infty )$ возрастает. Значит на отрезке наибольшее достигается на одном из концов — сравним их.

В левом конце $x=\frac{1}{e}$: $\ln \frac{1}{e}=-1$, поэтому $y=\frac{1}{e}-(-1)=\frac{1}{e}+1\approx 1,368$.

В правом конце $x=e^2$: $\ln e^2=2$, поэтому $y=e^2-2\approx 7,389-2=5,389$.

Правый конец больше — там и наибольшее значение.

Ответ: $e^2-2\approx 5,39$.

Производная произведения и частного с этими функциями

Чтобы не теряться в задаче 11, держи под рукой комбинацию правил.

Произведение. $(x\cdot e^x{)}^{\prime }=1\cdot e^x+x\cdot e^x=e^x(1+x)$.

Частное. ${\left(\frac{\ln x}{x}\right)}^{\prime }=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}$.

Здесь нуль производной в точке $x=e$ (где $\ln x=1$) — типичная точка экстремума функции $\frac{\ln x}{x}$.

Интуиция: почему экспонента растёт «сама из себя»

Чтобы формула про равенство экспоненты и её производной не казалась магией, представь процесс роста. Производная — это скорость изменения. У большинства функций скорость роста и текущее значение — разные вещи. А у экспоненты они совпадают: чем больше значение функции, тем быстрее она растёт, причём ровно во столько же раз. Это похоже на то, как растёт вклад со сложными процентами или как размножаются бактерии: чем больше их сейчас, тем больше новых появляется за следующую секунду. Скорость прироста пропорциональна тому, что уже накоплено, — и коэффициент пропорциональности равен единице именно для основания, равного числу e. Поэтому экспонента с натуральным основанием — самая «чистая» модель неограниченного роста, и её производная не вносит никаких лишних множителей.

С логарифмом картина обратная. Логарифм растёт всё медленнее и медленнее: чтобы увеличить его значение на единицу, аргумент приходится умножать в одно и то же число раз — то есть увеличивать всё сильнее. Поэтому скорость роста логарифма, его производная, постоянно уменьшается. Формула это и отражает: производная натурального логарифма равна единице, делённой на икс, — а значит, чем больше икс, тем меньше скорость. На больших значениях логарифм практически перестаёт расти, хотя формально и не выходит на горизонталь. Эта интуиция помогает не перепутать, у какой из функций производная «убывает», а у какой — повторяет саму функцию.

Разбор типичных ошибок подробнее

Самая частая ошибка — применить к показательной функции правило степенной. Когда видишь двойку в степени икс и по привычке «спускаешь показатель вниз», ты обращаешься с переменным показателем как с постоянным. Но показатель здесь не число, а переменная, и старое правило не работает в принципе. Правильно: основание остаётся, показатель остаётся, добавляется множитель — натуральный логарифм основания. Проверь себя простым тестом: если в твоём ответе показатель уменьшился на единицу, ты почти наверняка перепутал показательную функцию со степенной.

Вторая ошибка связана с натуральным логарифмом основания. Школьники либо забывают этот множитель совсем, либо ставят его не туда. У показательной функции он умножается, у логарифмической — делится. Если перепутать место множителя, ответ окажется не в логарифм раз больше, а в логарифм раз меньше нужного, и задача будет решена неверно, хотя ход рассуждений выглядел правильным. Особенно обидно, когда из-за этого теряется балл в коротком задании, которое решается за минуту.

Третья ошибка — потеря производной внутренней функции в сложных выражениях. Если под экспонентой стоит, скажем, удвоенный икс, нужно не забыть домножить результат на двойку. Если под логарифмом стоит выражение посложнее, забывают, что в числителе дроби должна оказаться именно производная этого выражения, а не оно само. Хорошая привычка — проговаривать вслух цепочку: «производная внешней функции, потом, если есть, логарифм основания, потом производная внутренней». Когда проговариваешь, ни одно звено не теряется.

Четвёртая ошибка относится к области определения. Логарифм существует только от положительных чисел, а значит, у функции с логарифмом область определения всегда ограничена. Если ты при поиске экстремумов получил корень, в котором подлогарифмное выражение неположительно, этот корень — посторонний, его надо отбросить. Пропустишь проверку области определения — и в ответ попадёт точка, которой на графике вообще нет.

Зачем это нужно на экзамене

Показательная и логарифмическая функции встречаются в профильном ЕГЭ постоянно, и почти всегда — в связке с производной. Где-то тебе дают график производной и просят определить, где функция возрастает или в какой точке наклон касательной равен заданному числу. Если функция содержит экспоненту, важно помнить, что множитель экспоненты всегда положителен, поэтому знак производной решает только оставшийся множитель. Это сразу убирает половину вычислений: не нужно искать корни уравнения, в котором стоит экспонента, — она просто не обращается в ноль.

В задании 12 профиля чаще всего просят найти точку минимума или максимума функции либо наибольшее и наименьшее значение на отрезке. Типичные «герои» этих заданий — функции вида «многочлен умножить на экспоненту» или «икс минус логарифм». Они выглядят страшно, но работают по одному и тому же сценарию: берёшь производную, приравниваешь к нулю, находишь критические точки и смотришь, как меняется знак производной вокруг них. Логарифм добавляет одно ограничение — область определения: под логарифмом всё должно быть строго положительным, и это сужает множество возможных ответов. Школьники часто забывают про это условие и получают «лишний» корень, которого на самом деле быть не может.

Ещё одна причина выучить эти производные крепко — они почти не требуют преобразований. Производная многочлена иногда заставляет раскрывать скобки и приводить подобные, а вот производная экспоненты или логарифма берётся в одно действие. Чем меньше промежуточных шагов, тем меньше шансов ошибиться в знаке или потерять множитель. Поэтому задачи с показательной и логарифмической функциями — это, как ни странно, одни из самых «быстрых» в части с производной, если формулы доведены до автоматизма.

Как не запутаться в формулах

У школьников эти четыре формулы регулярно перемешиваются. Разберём, как держать их в голове без путаницы.

Сначала отдели показательную функцию от степенной. В степенной функции переменная стоит в основании, а показатель — постоянное число: например, икс в кубе. В показательной всё наоборот: постоянное число в основании, а переменная — в показателе: например, двойка в степени икс. Это совершенно разные функции, и производные у них берутся по разным правилам. Для степенной показатель «съезжает» вперёд множителем и уменьшается на единицу. Для показательной показатель остаётся на месте, а появляется множитель — натуральный логарифм основания. Именно здесь чаще всего ошибаются: пишут к показательной функции правило степенной и получают полную бессмыслицу.

Теперь логарифмы. Производная натурального логарифма — это просто единица, делённая на икс, без всяких множителей. А вот у логарифма с любым другим основанием в знаменателе добавляется натуральный логарифм основания. Запомнить порядок помогает зеркальная пара: у показательной функции натуральный логарифм основания умножается, у логарифмической — делится. Эти две функции взаимно обратны, поэтому их производные ведут себя «зеркально» по отношению к этому множителю.

И последнее правило, которое спасает в сложных функциях: если под экспонентой или под логарифмом стоит не просто икс, а целое выражение, обязательно дописывай производную этого выражения. Экспонента переписывается без изменений и умножается на производную показателя. Логарифм превращается в дробь, где сверху — производная того, что стояло под логарифмом, а снизу — само это выражение. Пропуск этого множителя — самая частая потеря баллов в задачах на производную.

Связь с другими темами

• Таблица производных — все формулы в одном месте.
• Производная сложной функции — цепное правило для $e^{f(x)}$ и $\ln f(x)$.
• Производная в точке — как подставлять значение и читать график.
• Экстремумы функции — где применяется производная показательной/логарифмической.

Что запомнить

1. $(e^x{)}^{\prime }=e^x$ — функция равна своей производной.
2. $(\ln x{)}^{\prime }=1/x$ при $x>0$.
3. $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$ — не забудь $\ln a$ (умножается).
4. $({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$ — $\ln a$ в знаменателе (делится).
5. Для сложных функций: умножай на производную внутренней — $(e^{f(x)}{)}^{\prime }=e^{f(x)}\cdot f^{\prime }(x)$, $(\ln f(x){)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$.
6. Множитель $e^x>0$ всегда — в задаче 11 знак производной решает второй множитель.