Производная экспоненты и логарифма

Производная натуральной экспоненты

$\left(e^x\right)' = e^x$

Экспонента $e^x$ — единственная функция, равная своей производной. Это её главное свойство.

Производная $a^x$ (показательная с основанием $a > 0$, $a \neq 1$):

$\left(a^x\right)' = a^x \cdot \ln a$

При $a = e$: $\ln e = 1$, поэтому $(e^x)' = e^x \cdot 1 = e^x$ — согласовано.

Пример. $(2^x)' = 2^x \cdot \ln 2$.

Производная натурального логарифма

$\left(\ln x\right)' = \frac{1}{x}, \quad x > 0$

Производная $\log_a x$ (логарифм с произвольным основанием):

$\left(\log_a x\right)' = \frac{1}{x \ln a}$

При $a = e$: $\ln e = 1$, получаем $(\ln x)' = 1/x$ — согласовано.

Пример. $(\log_2 x)' = \dfrac{1}{x \ln 2}$.

Производные сложных функций

По правилу сложной функции: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

e^(f(x))

$\left(e^{f(x)}\right)' = e^{f(x)} \cdot f'(x)$

Примеры:

• $(e^{3x})' = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}$
• $(e^{x^2})' = e^{x^2} \cdot 2x$
• $(e^{-x})' = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x}$

ln(f(x))

$\left(\ln f(x)\right)' = \frac{f'(x)}{f(x)}$

Примеры:

• $(\ln(3x))' = \dfrac{3}{3x} = \dfrac{1}{x}$
• $(\ln(x^2 + 1))' = \dfrac{2x}{x^2+1}$
• $(\ln(\cos x))' = \dfrac{-\sin x}{\cos x} = -\tg x$

a^(f(x))

$\left(a^{f(x)}\right)' = a^{f(x)} \cdot \ln a \cdot f'(x)$

Таблица формул (кратко)

Пример 1: производная в точке

Найти производную $f(x) = e^{2x} - \ln x$.

$f'(x) = 2e^{2x} - \frac{1}{x}$

Найти $f'(1)$:

$f'(1) = 2e^{2} - 1 \approx 2 \cdot 7.389 - 1 \approx 13.78$.

Пример 2: точка экстремума

Найти точку экстремума $f(x) = e^x - x$.

$f'(x) = e^x - 1$. $f'(x) = 0$: $e^x = 1$, $x = 0$.

При $x < 0$: $e^x < 1$, $f'(x) < 0$ — убывает. При $x > 0$: $e^x > 1$, $f'(x) > 0$ — возрастает.

$x = 0$ — точка минимума. $f(0) = 1 - 0 = 1$.

Пример 3: наибольшее значение

Найти наибольшее значение $f(x) = x - \ln x$ на $[1;\ e^2]$.

$f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x}$.

$f'(x) = 0$: $x = 1$.

На $(1;\ e^2]$: $f'(x) = 1 - 1/x > 0$ при $x > 1$ — функция возрастает.

Значит, наибольшее на $[1;\ e^2]$ — на правом конце:

$f(e^2) = e^2 - \ln(e^2) = e^2 - 2 \approx 7.389 - 2 = 5.389$.

Типичные ошибки

Откуда берутся эти формулы

Тебе не нужно выводить формулы на экзамене — их просто помнят. Но если понимать, откуда они, запоминание становится надёжнее.

Экспонента. Число $e \approx 2{,}718$ — это не случайная константа. Его подбирают так, чтобы у функции $y = e^x$ наклон касательной в каждой точке был ровно равен значению функции. То есть скорость роста экспоненты в точке $x$ равна самой $e^x$. Поэтому $(e^x)' = e^x$ — это «определяющее» свойство экспоненты, а не следствие.

Показательная $a^x$. Любое основание сводится к экспоненте: $a^x = e^{x\ln a}$. Дифференцируем как сложную функцию:

$\left(a^x\right)' = \left(e^{x\ln a}\right)' = e^{x\ln a}\cdot \ln a = a^x\ln a.$

Вот откуда берётся множитель $\ln a$. Если про него забыть — ответ будет в $\ln a$ раз меньше нужного.

Логарифм. $\ln x$ — обратная функция к $e^x$. Производная обратной функции даёт $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$. А поскольку $\log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a}$ (переход к натуральному логарифму), то $(\log_a x)' = \dfrac{1}{x\ln a}$ — снова появляется $\ln a$, но уже в знаменателе.

Разбор с постепенным сокращением подсказок

Ниже три примера. В первом расписан каждый шаг, во втором часть работы — за тобой, в третьем считаешь почти всё сам и сверяешь ответ.

Разбор 1 — всё подробно

Найди производную $f(x) = 4e^x + 3\ln x - 5x$ и вычисли $f'(1)$.

Шаг 1. Производная суммы — сумма производных, постоянный множитель выносится:

$f'(x) = 4\cdot\left(e^x\right)' + 3\cdot\left(\ln x\right)' - 5\cdot\left(x\right)'.$

Шаг 2. Подставляем табличные производные: $(e^x)' = e^x$, $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$, $(x)' = 1$:

$f'(x) = 4e^x + \frac{3}{x} - 5.$

Шаг 3. Подставляем $x = 1$. Используем $e^1 = e$, $\dfrac{3}{1} = 3$:

$f'(1) = 4e + 3 - 5 = 4e - 2 \approx 4\cdot 2{,}718 - 2 = 8{,}872.$

Ответ: $f'(1) = 4e - 2 \approx 8{,}87$.

Разбор 2 — часть шагов за тобой

Найди производную $f(x) = e^{2x} + \ln(5x)$.

Первое слагаемое — сложная функция: внешняя $e^u$, внутренняя $u = 2x$, $u' = 2$. Значит, $\left(e^{2x}\right)' = e^{2x}\cdot 2 = 2e^{2x}$.

Второе слагаемое: $\bigl(\ln(5x)\bigr)' = \dfrac{(5x)'}{5x} = \dfrac{5}{5x} = \dfrac{1}{x}$. (Заметь: производная $\ln(5x)$ совпала с производной $\ln x$ — постоянный множитель внутри логарифма «исчезает».)

Сложи оба результата сам. Должно получиться:

$f'(x) = 2e^{2x} + \frac{1}{x}.$

Разбор 3 — почти самостоятельно

Найди производную $f(x) = 3^x - \log_2 x$ и вычисли $f'(1)$.

Опорные точки: $(3^x)' = 3^x\ln 3$, а $(\log_2 x)' = \dfrac{1}{x\ln 2}$. Собери производную, подставь $x = 1$ ($3^1 = 3$, $\dfrac{1}{1} = 1$) и сверься.

Типовые задачи ЕГЭ

Производная экспоненты и логарифма работает в заданиях с исследованием функции — это задание 12 профиля (наибольшее, наименьшее значение и точки экстремума через производную). Разберём три типовых сюжета.

Точка максимума

Найди точку максимума функции $y = (3 - x)e^{x}$.

Производная произведения: $y' = (3 - x)'\cdot e^x + (3 - x)\cdot\left(e^x\right)' = -e^x + (3 - x)e^x = e^x(2 - x)$.

Множитель $e^x > 0$ при любом $x$, поэтому знак $y'$ определяет скобка $2 - x$:

• при $x < 2$: $2 - x > 0$, значит $y' > 0$ — функция возрастает;
• при $x > 2$: $2 - x < 0$, значит $y' < 0$ — функция убывает.

Производная меняет знак с «$+$» на «$-$» в точке $x = 2$ — это точка максимума.

Ответ: $x = 2$.

Точка минимума с логарифмом

Найди точку минимума функции $y = x - \ln x$.

$y' = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x - 1}{x}$. Область определения: $x > 0$, значит знаменатель положителен. Знак $y'$ задаёт числитель $x - 1$:

• при $0 < x < 1$: $y' < 0$ — убывает;
• при $x > 1$: $y' > 0$ — возрастает.

Смена знака с «$-$» на «$+$» в точке $x = 1$ — точка минимума.

Ответ: $x = 1$.

Наибольшее значение на отрезке

Найди наибольшее значение функции $y = x - \ln x$ на отрезке $\left[\dfrac{1}{e};\ e^2\right]$.

Из предыдущей задачи: на $(0;1)$ функция убывает, на $(1;+\infty)$ возрастает. Значит на отрезке наибольшее достигается на одном из концов — сравним их.

В левом конце $x = \dfrac{1}{e}$: $\ln\dfrac{1}{e} = -1$, поэтому $y = \dfrac{1}{e} - (-1) = \dfrac{1}{e} + 1 \approx 1{,}368$.

В правом конце $x = e^2$: $\ln e^2 = 2$, поэтому $y = e^2 - 2 \approx 7{,}389 - 2 = 5{,}389$.

Правый конец больше — там и наибольшее значение.

Ответ: $e^2 - 2 \approx 5{,}39$.

Производная произведения и частного с этими функциями

Чтобы не теряться в задаче 11, держи под рукой комбинацию правил.

Произведение. $\bigl(x\cdot e^x\bigr)' = 1\cdot e^x + x\cdot e^x = e^x(1 + x)$.

Частное. $\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)' = \dfrac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln x\cdot 1}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$.

Здесь нуль производной в точке $x = e$ (где $\ln x = 1$) — типичная точка экстремума функции $\dfrac{\ln x}{x}$.

Интуиция: почему экспонента растёт «сама из себя»

Чтобы формула про равенство экспоненты и её производной не казалась магией, представь процесс роста. Производная — это скорость изменения. У большинства функций скорость роста и текущее значение — разные вещи. А у экспоненты они совпадают: чем больше значение функции, тем быстрее она растёт, причём ровно во столько же раз. Это похоже на то, как растёт вклад со сложными процентами или как размножаются бактерии: чем больше их сейчас, тем больше новых появляется за следующую секунду. Скорость прироста пропорциональна тому, что уже накоплено, — и коэффициент пропорциональности равен единице именно для основания, равного числу e. Поэтому экспонента с натуральным основанием — самая «чистая» модель неограниченного роста, и её производная не вносит никаких лишних множителей.

С логарифмом картина обратная. Логарифм растёт всё медленнее и медленнее: чтобы увеличить его значение на единицу, аргумент приходится умножать в одно и то же число раз — то есть увеличивать всё сильнее. Поэтому скорость роста логарифма, его производная, постоянно уменьшается. Формула это и отражает: производная натурального логарифма равна единице, делённой на икс, — а значит, чем больше икс, тем меньше скорость. На больших значениях логарифм практически перестаёт расти, хотя формально и не выходит на горизонталь. Эта интуиция помогает не перепутать, у какой из функций производная «убывает», а у какой — повторяет саму функцию.

Разбор типичных ошибок подробнее

Самая частая ошибка — применить к показательной функции правило степенной. Когда видишь двойку в степени икс и по привычке «спускаешь показатель вниз», ты обращаешься с переменным показателем как с постоянным. Но показатель здесь не число, а переменная, и старое правило не работает в принципе. Правильно: основание остаётся, показатель остаётся, добавляется множитель — натуральный логарифм основания. Проверь себя простым тестом: если в твоём ответе показатель уменьшился на единицу, ты почти наверняка перепутал показательную функцию со степенной.

Вторая ошибка связана с натуральным логарифмом основания. Школьники либо забывают этот множитель совсем, либо ставят его не туда. У показательной функции он умножается, у логарифмической — делится. Если перепутать место множителя, ответ окажется не в логарифм раз больше, а в логарифм раз меньше нужного, и задача будет решена неверно, хотя ход рассуждений выглядел правильным. Особенно обидно, когда из-за этого теряется балл в коротком задании, которое решается за минуту.

Третья ошибка — потеря производной внутренней функции в сложных выражениях. Если под экспонентой стоит, скажем, удвоенный икс, нужно не забыть домножить результат на двойку. Если под логарифмом стоит выражение посложнее, забывают, что в числителе дроби должна оказаться именно производная этого выражения, а не оно само. Хорошая привычка — проговаривать вслух цепочку: «производная внешней функции, потом, если есть, логарифм основания, потом производная внутренней». Когда проговариваешь, ни одно звено не теряется.

Четвёртая ошибка относится к области определения. Логарифм существует только от положительных чисел, а значит, у функции с логарифмом область определения всегда ограничена. Если ты при поиске экстремумов получил корень, в котором подлогарифмное выражение неположительно, этот корень — посторонний, его надо отбросить. Пропустишь проверку области определения — и в ответ попадёт точка, которой на графике вообще нет.

Зачем это нужно на экзамене

Показательная и логарифмическая функции встречаются в профильном ЕГЭ постоянно, и почти всегда — в связке с производной. Где-то тебе дают график производной и просят определить, где функция возрастает или в какой точке наклон касательной равен заданному числу. Если функция содержит экспоненту, важно помнить, что множитель экспоненты всегда положителен, поэтому знак производной решает только оставшийся множитель. Это сразу убирает половину вычислений: не нужно искать корни уравнения, в котором стоит экспонента, — она просто не обращается в ноль.

В задании 12 профиля чаще всего просят найти точку минимума или максимума функции либо наибольшее и наименьшее значение на отрезке. Типичные «герои» этих заданий — функции вида «многочлен умножить на экспоненту» или «икс минус логарифм». Они выглядят страшно, но работают по одному и тому же сценарию: берёшь производную, приравниваешь к нулю, находишь критические точки и смотришь, как меняется знак производной вокруг них. Логарифм добавляет одно ограничение — область определения: под логарифмом всё должно быть строго положительным, и это сужает множество возможных ответов. Школьники часто забывают про это условие и получают «лишний» корень, которого на самом деле быть не может.

Ещё одна причина выучить эти производные крепко — они почти не требуют преобразований. Производная многочлена иногда заставляет раскрывать скобки и приводить подобные, а вот производная экспоненты или логарифма берётся в одно действие. Чем меньше промежуточных шагов, тем меньше шансов ошибиться в знаке или потерять множитель. Поэтому задачи с показательной и логарифмической функциями — это, как ни странно, одни из самых «быстрых» в части с производной, если формулы доведены до автоматизма.

Как не запутаться в формулах

У школьников эти четыре формулы регулярно перемешиваются. Разберём, как держать их в голове без путаницы.

Сначала отдели показательную функцию от степенной. В степенной функции переменная стоит в основании, а показатель — постоянное число: например, икс в кубе. В показательной всё наоборот: постоянное число в основании, а переменная — в показателе: например, двойка в степени икс. Это совершенно разные функции, и производные у них берутся по разным правилам. Для степенной показатель «съезжает» вперёд множителем и уменьшается на единицу. Для показательной показатель остаётся на месте, а появляется множитель — натуральный логарифм основания. Именно здесь чаще всего ошибаются: пишут к показательной функции правило степенной и получают полную бессмыслицу.

Теперь логарифмы. Производная натурального логарифма — это просто единица, делённая на икс, без всяких множителей. А вот у логарифма с любым другим основанием в знаменателе добавляется натуральный логарифм основания. Запомнить порядок помогает зеркальная пара: у показательной функции натуральный логарифм основания умножается, у логарифмической — делится. Эти две функции взаимно обратны, поэтому их производные ведут себя «зеркально» по отношению к этому множителю.

И последнее правило, которое спасает в сложных функциях: если под экспонентой или под логарифмом стоит не просто икс, а целое выражение, обязательно дописывай производную этого выражения. Экспонента переписывается без изменений и умножается на производную показателя. Логарифм превращается в дробь, где сверху — производная того, что стояло под логарифмом, а снизу — само это выражение. Пропуск этого множителя — самая частая потеря баллов в задачах на производную.

Связь с другими темами

• Таблица производных — все формулы в одном месте.
• Производная сложной функции — цепное правило для $e^{f(x)}$ и $\ln f(x)$.
• Производная в точке — как подставлять значение и читать график.
• Экстремумы функции — где применяется производная показательной/логарифмической.

Что запомнить

1. $(e^x)' = e^x$ — функция равна своей производной.
2. $(\ln x)' = 1/x$ при $x > 0$.
3. $(a^x)' = a^x \ln a$ — не забудь $\ln a$ (умножается).
4. $(\log_a x)' = \dfrac{1}{x\ln a}$ — $\ln a$ в знаменателе (делится).
5. Для сложных функций: умножай на производную внутренней — $\bigl(e^{f(x)}\bigr)' = e^{f(x)}\cdot f'(x)$, $\bigl(\ln f(x)\bigr)' = \dfrac{f'(x)}{f(x)}$.
6. Множитель $e^x > 0$ всегда — в задаче 11 знак производной решает второй множитель.