Производная экспоненты и логарифма

Производная натуральной экспоненты

$\left(e^x\right)' = e^x$

Экспонента $e^x$ — единственная функция, равная своей производной. Это её главное свойство.

Производная $a^x$ (показательная с основанием $a > 0$, $a \neq 1$):

$\left(a^x\right)' = a^x \cdot \ln a$

При $a = e$: $\ln e = 1$, поэтому $(e^x)' = e^x \cdot 1 = e^x$ — согласовано.

Пример. $(2^x)' = 2^x \cdot \ln 2$.

Производная натурального логарифма

$\left(\ln x\right)' = \frac{1}{x}, \quad x > 0$

Производная $\log_a x$ (логарифм с произвольным основанием):

$\left(\log_a x\right)' = \frac{1}{x \ln a}$

При $a = e$: $\ln e = 1$, получаем $(\ln x)' = 1/x$ — согласовано.

Пример. $(\log_2 x)' = \dfrac{1}{x \ln 2}$.

Производные сложных функций

По правилу сложной функции: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

e^(f(x))

$\left(e^{f(x)}\right)' = e^{f(x)} \cdot f'(x)$

Примеры:

• $(e^{3x})' = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}$
• $(e^{x^2})' = e^{x^2} \cdot 2x$
• $(e^{-x})' = e^{-x} \cdot (-1) = -e^{-x}$

ln(f(x))

$\left(\ln f(x)\right)' = \frac{f'(x)}{f(x)}$

Примеры:

• $(\ln(3x))' = \dfrac{3}{3x} = \dfrac{1}{x}$
• $(\ln(x^2 + 1))' = \dfrac{2x}{x^2+1}$
• $(\ln(\cos x))' = \dfrac{-\sin x}{\cos x} = -\tg x$

a^(f(x))

$\left(a^{f(x)}\right)' = a^{f(x)} \cdot \ln a \cdot f'(x)$

Таблица формул (кратко)

Пример 1: задание 7

Найти производную $f(x) = e^{2x} - \ln x$.

$f'(x) = 2e^{2x} - \frac{1}{x}$

Найти $f'(1)$:

$f'(1) = 2e^{2} - 1 \approx 2 \cdot 7.389 - 1 \approx 13.78$.

Пример 2: задание 7

Найти точку экстремума $f(x) = e^x - x$.

$f'(x) = e^x - 1$. $f'(x) = 0$: $e^x = 1$, $x = 0$.

При $x < 0$: $e^x < 1$, $f'(x) < 0$ — убывает. При $x > 0$: $e^x > 1$, $f'(x) > 0$ — возрастает.

$x = 0$ — точка минимума. $f(0) = 1 - 0 = 1$.

Пример 3: задание 11 (наибольшее значение)

Найти наибольшее значение $f(x) = x - \ln x$ на $[1;\ e^2]$.

$f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x}$.

$f'(x) = 0$: $x = 1$.

На $(1;\ e^2]$: $f'(x) = 1 - 1/x > 0$ при $x > 1$ — функция возрастает.

Значит, наибольшее на $[1;\ e^2]$ — на правом конце:

$f(e^2) = e^2 - \ln(e^2) = e^2 - 2 \approx 7.389 - 2 = 5.389$.

Типичные ошибки

Что запомнить

1. $(e^x)' = e^x$ — функция равна своей производной.
2. $(\ln x)' = 1/x$.
3. Для сложных: умножай на производную внутренней функции.
4. $(a^x)' = a^x \ln a$ — не забудь $\ln a$.