Производная в точке — как вычислить и что означает

Производная как скорость изменения

Представь: автомобиль проехал $s(t)$ метров за $t$ секунд. За малый промежуток $\Delta t$ он проехал $\Delta s = s(t + \Delta t) - s(t)$ метров. Средняя скорость на этом промежутке:

$v_{\text{ср}} = \frac{\Delta s}{\Delta t}$

Когда $\Delta t \to 0$, средняя скорость стремится к мгновенной скорости в момент $t$. Это и есть производная.

Определение. Производная функции $f$ в точке $x_0$:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Геометрический смысл производной

Если провести касательную к графику $y = f(x)$ в точке $(x_0,\ f(x_0))$, то:

$f'(x_0) = \tg \alpha$

где $\alpha$ — угол наклона касательной к оси $Ox$ (угловой коэффициент).

Иначе: $f'(x_0)$ — угловой коэффициент касательной к графику в точке $x_0$.

Следствие: уравнение касательной в точке $(x_0,\ f(x_0))$:

$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$

Подробнее: Уравнение касательной.

Физический смысл производной

Задание 9 ЕГЭ проверяет именно физический смысл: по формуле $s(t)$ найти скорость в момент $t_0$, или наоборот.

Вычисление производной в точке

Алгоритм:

1. Найди общую формулу производной $f'(x)$ по таблице и правилам.
2. Подставь $x = x_0$ в $f'(x)$.

Пример 1. $f(x) = 3x^2 - 5x + 1$. Найти $f'(2)$.

$f'(x) = 6x - 5$. $f'(2) = 6 \cdot 2 - 5 = 12 - 5 = 7$.

Пример 2. $f(x) = \sin x$. Найти $f'(\pi/6)$.

$f'(x) = \cos x$. $f'\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Пример задания 9 ЕГЭ

Задача. Точка движется по закону $s(t) = t^3 - 3t^2 + 2$ (метры, секунды). Найти скорость в момент $t = 2$ с.

Решение.

$v(t) = s'(t) = 3t^2 - 6t$.

$v(2) = 3 \cdot 4 - 6 \cdot 2 = 12 - 12 = 0$.

Ответ: скорость равна 0 — в этот момент точка остановилась (поворот).

Пример задания 7 ЕГЭ (по графику)

Задание 7 — часто задают: «При каком $x$ производная функции $f(x)$ равна нулю?» или «Каков угловой коэффициент касательной к графику в точке $x = a$?»

Алгоритм чтения графика $f'(x)$:

• Где $f'(x) = 0$ — горизонтальная касательная (потенциальный экстремум).
• Где $f'(x) > 0$ — функция возрастает.
• Где $f'(x) < 0$ — функция убывает.

Знак производной и монотонность

Что запомнить

1. $f'(x_0)$ = угловой коэффициент касательной = мгновенная скорость изменения.
2. Для вычисления: найди $f'(x)$, подставь $x = x_0$.
3. Физически: производная координаты — скорость; производная скорости — ускорение.