Экстремумы функции — как находить максимум и минимум

Определение экстремума

Точка $x_0$ — точка максимума функции $f$, если существует окрестность, в которой $f(x) \leq f(x_0)$ для всех $x$.

Точка $x_0$ — точка минимума, если $f(x) \geq f(x_0)$ в некоторой окрестности.

Максимум и минимум вместе называют экстремумами.

Значение функции в точке экстремума ($f(x_0)$) — это значение экстремума.

Необходимое условие экстремума

Если $x_0$ — точка экстремума и $f$ дифференцируема в $x_0$, то:

$f'(x_0) = 0$

Такие точки называют стационарными или критическими (точнее — стационарными). Но: не каждая стационарная точка — экстремум.

Антипример. $f(x) = x^3$, $f'(x) = 3x^2$, $f'(0) = 0$. Но $x = 0$ — не экстремум (функция возрастает слева и справа от нуля).

Экстремумы могут быть и в точках, где производная не существует (острые углы, разрывы производной).

Достаточное условие экстремума (знак производной)

Если $f'$ меняет знак в окрестности $x_0$:

• с «+» на «−» → $x_0$ — точка максимума.
• с «−» на «+» → $x_0$ — точка минимума.
• Знак не меняется → экстремума нет (перегиб).

Алгоритм нахождения экстремумов

1. Найди производную $f'(x)$.
2. Реши уравнение $f'(x) = 0$ — найди стационарные точки.
3. Отметь на числовой оси стационарные точки (и точки, где $f'$ не определена).
4. Определи знак $f'$ на каждом промежутке (подстановкой пробной точки).
5. Смена «+» → «−»: максимум. Смена «−» → «+»: минимум. Знак не меняется: экстремума нет.
6. Найди значения функции в точках экстремума: $f(x_0)$.

Пример 1

Найти экстремумы $f(x) = x^3 - 3x + 2$.

Шаг 1. $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$.

Шаг 2. $f'(x) = 0$ при $x = -1$ и $x = 1$.

Шаг 3-4. Числовая ось:

Шаг 5. При $x = -1$: знак меняется «+» → «−» → максимум. При $x = 1$: «−» → «+» → минимум.

Шаг 6. $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$ — максимум. $f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$ — минимум.

Ответ: максимум $f(-1) = 4$, минимум $f(1) = 0$.

Пример 2 — задание 7 ЕГЭ

Задание 7 ЕГЭ — часто «по графику производной найти точки экстремума функции».

Как читать: если дан график $f'(x)$:

• Ноль $f'$ при переходе от «+» к «−» → на $f(x)$ максимум.
• Ноль $f'$ при переходе от «−» к «+» → на $f(x)$ минимум.
• $f'(x) > 0$ (выше оси $Ox$) → $f(x)$ возрастает.
• $f'(x) < 0$ (ниже оси $Ox$) → $f(x)$ убывает.

Типичный вопрос задания 7: «При каком значении $x$ функция принимает наименьшее значение на отрезке?» — ищем: все точки минимума + концы отрезка, сравниваем $f$.

Экстремум vs наибольшее/наименьшее значение на отрезке

Экстремум — локальное явление. Наибольшее значение на $[a;\ b]$ ищут иначе:

1. Найди все экстремумы на $(a;\ b)$.
2. Посчитай $f(a)$, $f(b)$ и $f$ в каждой точке экстремума.
3. Наибольшее из этих значений — ответ.

Подробнее: Наибольшее и наименьшее значение функции.

Типичные ошибки

Что запомнить

1. Стационарные точки: $f'(x) = 0$.
2. Максимум: производная меняется с «+» на «−».
3. Минимум: производная меняется с «−» на «+».
4. $f'(x_0) = 0$ — необходимое, но не достаточное условие.