Экстремумы функции — как находить максимум и минимум

Определение экстремума

Точка $x_0$ — точка максимума функции $f$, если существует окрестность, в которой $f(x) \leq f(x_0)$ для всех $x$.

Точка $x_0$ — точка минимума, если $f(x) \geq f(x_0)$ в некоторой окрестности.

Максимум и минимум вместе называют экстремумами.

Значение функции в точке экстремума ($f(x_0)$) — это значение экстремума.

Необходимое условие экстремума

Если $x_0$ — точка экстремума и $f$ дифференцируема в $x_0$, то:

$f'(x_0) = 0$

Такие точки называют стационарными или критическими (точнее — стационарными). Но: не каждая стационарная точка — экстремум.

Антипример. $f(x) = x^3$, $f'(x) = 3x^2$, $f'(0) = 0$. Но $x = 0$ — не экстремум (функция возрастает слева и справа от нуля).

Экстремумы могут быть и в точках, где производная не существует (острые углы, разрывы производной).

Достаточное условие экстремума (знак производной)

Если $f'$ меняет знак в окрестности $x_0$:

• с «+» на «−» → $x_0$ — точка максимума.
• с «−» на «+» → $x_0$ — точка минимума.
• Знак не меняется → экстремума нет (перегиб).

Алгоритм нахождения экстремумов

1. Найди производную $f'(x)$.
2. Реши уравнение $f'(x) = 0$ — найди стационарные точки.
3. Отметь на числовой оси стационарные точки (и точки, где $f'$ не определена).
4. Определи знак $f'$ на каждом промежутке (подстановкой пробной точки).
5. Смена «+» → «−»: максимум. Смена «−» → «+»: минимум. Знак не меняется: экстремума нет.
6. Найди значения функции в точках экстремума: $f(x_0)$.

Пример 1

Найти экстремумы $f(x) = x^3 - 3x + 2$.

Шаг 1. $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$.

Шаг 2. $f'(x) = 0$ при $x = -1$ и $x = 1$.

Шаг 3-4. Числовая ось:

Шаг 5. При $x = -1$: знак меняется «+» → «−» → максимум. При $x = 1$: «−» → «+» → минимум.

Шаг 6. $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$ — максимум. $f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$ — минимум.

Ответ: максимум $f(-1) = 4$, минимум $f(1) = 0$.

Пример 2 — по графику производной

В заданиях на чтение графика часто просят по графику производной найти точки экстремума функции.

Как читать: если дан график $f'(x)$:

• Ноль $f'$ при переходе от «+» к «−» → на $f(x)$ максимум.
• Ноль $f'$ при переходе от «−» к «+» → на $f(x)$ минимум.
• $f'(x) > 0$ (выше оси $Ox$) → $f(x)$ возрастает.
• $f'(x) < 0$ (ниже оси $Ox$) → $f(x)$ убывает.

Типичный вопрос: «При каком значении $x$ функция принимает наименьшее значение на отрезке?» — ищем все точки минимума плюс концы отрезка и сравниваем значения $f$.

Экстремум vs наибольшее/наименьшее значение на отрезке

Экстремум — локальное явление. Наибольшее значение на $[a;\ b]$ ищут иначе:

1. Найди все экстремумы на $(a;\ b)$.
2. Посчитай $f(a)$, $f(b)$ и $f$ в каждой точке экстремума.
3. Наибольшее из этих значений — ответ.

Подробнее: Наибольшее и наименьшее значение функции.

Разбор с постепенным сокращением подсказок

Три задачи: в первой всё расписано, во второй часть работы за тобой, в третьей считаешь почти всё сам.

Разбор 1 — всё подробно

Найди точки экстремума функции $f(x) = x^3 - 12x$.

Шаг 1. Производная: производная куба икса равна трём икс в квадрате, производная двенадцати икс равна двенадцати. Значит:

$f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x-2)(x+2).$

Шаг 2. Нули производной: $x = -2$ и $x = 2$.

Шаг 3. Расставляем знаки на трёх промежутках. Левее минус двойки производная положительна, между минус двойкой и двойкой — отрицательна, правее двойки — снова положительна.

Шаг 4. В точке $x = -2$ знак меняется с плюса на минус — это максимум. В точке $x = 2$ знак меняется с минуса на плюс — это минимум.

Ответ: точка максимума $x = -2$, точка минимума $x = 2$.

Разбор 2 — часть шагов за тобой

Найди точки экстремума функции $f(x) = x^4 - 8x^2$.

Производная: $f'(x) = 4x^3 - 16x = 4x(x^2 - 4) = 4x(x-2)(x+2)$. Нули производной — три точки: минус два, ноль и два. Расставь знаки сам на четырёх промежутках и определи характер каждой точки. Подсказка: у такой функции должно получиться два минимума по краям и один максимум в середине.

Разбор 3 — почти самостоятельно

Найди точки экстремума функции $f(x) = 2x^3 - 3x^2$.

Опорные шаги: найди производную (это квадратный трёхчлен), вынеси общий множитель, найди нули, расставь знаки. Сверься с ответом.

Как аккуратно построить таблицу знаков

Таблица знаков производной — главный инструмент при поиске экстремумов, и именно в ней чаще всего делают ошибки. Разберём её построение по шагам, на словах. Сначала ты находишь производную и приводишь её к удобному виду — обычно раскладываешь на множители, потому что по множителям знак читается легче всего. Затем находишь все точки, где производная обращается в ноль, и все точки, где её нет. Эти точки выписываешь на числовую ось в порядке возрастания.

Точки делят ось на промежутки. Внутри каждого промежутка знак производной постоянен, поэтому достаточно подставить одно удобное число и посмотреть на знак. Удобнее всего брать круглые числа подальше от границ. Записав знак под каждым промежутком, ты получаешь полную картину поведения функции: где плюс — функция растёт, где минус — убывает. Дальше остаётся пройтись по граничным точкам и в каждой посмотреть, как меняется знак при переходе слева направо.

Тут есть важная тонкость с чётными множителями. Если множитель входит в производную в чётной степени, при переходе через соответствующую точку он не меняет знак всей производной, потому что квадрат любого числа неотрицателен. Это значит, что в такой точке производная касается нуля, но знак не переворачивается, и экстремума там нет. Если не учитывать чётность множителей, можно ошибочно нарисовать чередование знаков «через одну точку» и приписать функции лишние экстремумы, которых на самом деле нет.

Часто задаваемые вопросы на практике

Сколько экстремумов может быть у функции? Сколько угодно — это зависит от того, сколько раз производная меняет знак. У линейной функции экстремумов нет вообще, у квадратичной ровно один, у кубической может быть два, а у многочлена высокой степени их бывает много. Количество экстремумов всегда на единицу меньше или равно числу нулей производной, потому что не каждый нуль обязательно даёт смену знака.

Обязательно ли считать значение функции в точке экстремума? Это зависит от вопроса. Если спрашивают точку экстремума, достаточно назвать значение икса. Если спрашивают значение экстремума или наибольшее значение функции, нужно подставить найденный икс в саму функцию и получить число. Поэтому всегда внимательно читай, что именно требуется: точку или значение. Эти два ответа — разные числа, и подмена одного другим стоит балла.

Можно ли найти экстремумы без производной? В простейших случаях — да, например, у параболы вершина легко находится по формуле. Но для большинства функций из профильного экзамена производная — единственный надёжный способ. Поэтому привыкай решать через производную: этот метод универсален и работает одинаково для многочленов, дробей, функций с логарифмами и экспонентами.

Что делать, если производная нигде не равна нулю? Тогда у функции нет стационарных точек, а значит, как правило, нет и экстремумов: функция монотонна на всей области определения, то есть либо всюду возрастает, либо всюду убывает. Такое бывает, например, у показательной функции или у линейной с ненулевым коэффициентом. В этом случае на отрезке наибольшее и наименьшее значения функция достигает строго на концах отрезка, а не во внутренних точках. Поэтому, прежде чем искать экстремумы, полезно посмотреть, может ли производная вообще обращаться в ноль.

Связь экстремумов с заданием 12 профиля

Поиск экстремумов — фундамент задания 12 профиля, где требуется найти наибольшее или наименьшее значение функции. Логика такая. Сначала ты находишь все критические точки внутри заданного отрезка — это кандидаты на экстремум. Затем сравниваешь значения функции в этих точках со значениями на концах отрезка. Наибольшее из всех найденных чисел — это наибольшее значение функции, наименьшее — наименьшее. Поэтому без уверенного навыка находить экстремумы задание 12 решить невозможно: экстремумы — это те самые «подозрительные» точки, в которых функция может достигать пика или дна.

Важно понимать разницу между локальным и глобальным. Точка максимума — это локальный пик: функция в ней больше, чем у соседей, но где-то далеко на графике значения могут оказаться ещё больше. Наибольшее значение на отрезке — это уже глобальный рекорд среди всех точек отрезка. Иногда глобальный рекорд достигается именно в точке локального максимума, а иногда — на конце отрезка, где никакого экстремума нет. Поэтому на отрезке всегда проверяют и критические точки, и концы — пропустить ни то, ни другое нельзя.

Почему производная управляет экстремумами

Чтобы связь производной и экстремумов не выглядела как набор правил, проследи логику. В точке максимума функция перестаёт расти и начинает убывать. Значит, мгновенная скорость изменения, то есть производная, как раз в этой точке проходит через ноль, меняясь с положительной на отрицательную. Левее максимума функция ещё поднималась — производная была положительной. Правее уже опускается — производная стала отрицательной. Сам ноль производной — это «вершина», где касательная горизонтальна.

В точке минимума всё зеркально. Функция перестаёт убывать и начинает расти, поэтому производная переходит через ноль с отрицательной на положительную. Левее минимума — спуск и отрицательная производная, правее — подъём и положительная. Поэтому именно смена знака, а не сам факт обращения производной в ноль, отвечает за наличие экстремума. Если производная коснулась нуля, но знак не сменила, функция лишь на мгновение замедлилась и продолжила движение в ту же сторону — экстремума нет. Это и происходит у функции «икс в кубе» в нуле: производная там равна нулю, но и слева, и справа функция возрастает.

Типичные ошибки

Что запомнить

1. Стационарные точки: $f'(x) = 0$. Критические точки: ещё и там, где $f'$ не существует.
2. Максимум: производная меняется с «+» на «−».
3. Минимум: производная меняется с «−» на «+».
4. $f'(x_0) = 0$ — необходимое, но не достаточное условие: проверяй смену знака.
5. Знак не меняется — экстремума нет (как у «икс в кубе» в нуле).
6. Точка экстремума — это $x_0$, значение экстремума — это $f(x_0)$, не путай.

Связь с другими темами

• Производная — что такое производная и как её считать.
• Исследование функции на монотонность — промежутки возрастания и убывания, на границах которых стоят экстремумы.
• Наибольшее и наименьшее значение функции — прямое применение экстремумов в задании 12.
• Правила дифференцирования — как находить производную для разных функций.