Определённый интеграл: формула Ньютона-Лейбница

Интеграл — это инструмент для вычисления площадей, объёмов и накопленных величин. В школьном курсе всё сводится к одной формуле: взять первообразную, подставить два значения, вычесть. Звучит несложно. Разберём, что за этим стоит и как не ошибиться на деталях.

Что такое первообразная

Прежде чем интеграл — первообразная. Функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на отрезке $[a, b]$, если:

$F'(x) = f(x) \quad \text{для всех } x \in [a, b]$

Это обратная задача дифференцирования: не «найди производную», а «найди функцию, производная которой равна данной».

Первообразная не единственна: если $F(x)$ — первообразная, то $F(x) + C$ тоже первообразная при любой константе $C$. Поэтому пишут:

$\int f(x)\,dx = F(x) + C$

Это неопределённый интеграл — семейство всех первообразных.

Таблица основных первообразных:

Формула Ньютона-Лейбница

Определённый интеграл от $a$ до $b$ — это конкретное число, вычисляемое по формуле:

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$

где $F(x)$ — любая первообразная функции $f(x)$.

Обозначение $F(b) - F(a)$ часто записывают с «квадратными скобками»:

$\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)$

Число $a$ называют нижним пределом интегрирования, $b$ — верхним.

Почему константа $C$ не влияет. Пусть $G(x) = F(x) + C$ — другая первообразная. Тогда:

$G(b) - G(a) = (F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$

Константа уходит. Поэтому берут любую удобную первообразную, обычно с $C = 0$.

Геометрический смысл

Если функция $f(x) \geq 0$ на отрезке $[a, b]$, то определённый интеграл равен площади криволинейной трапеции — фигуры, ограниченной графиком $f(x)$, осью $x$, и прямыми $x = a$, $x = b$.

$S = \int_a^b f(x)\,dx, \quad \text{если } f(x) \geq 0 \text{ на } [a, b]$

Если $f(x)$ меняет знак на $[a, b]$: интеграл считает площади со знаком. Части выше оси $x$ — со знаком «$+$», ниже — «$-$». Чтобы найти именно площадь (без знака):

$S = \int_a^b |f(x)|\,dx$

Это разбивается на несколько интегралов: на каждом промежутке, где $f$ не меняет знак, берётся интеграл с нужным знаком.

Свойства определённого интеграла

Линейность:

$\int_a^b (f(x) + g(x))\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx$

$\int_a^b k \cdot f(x)\,dx = k \int_a^b f(x)\,dx$

Аддитивность по промежутку:

$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$

при любом $c \in [a, b]$.

Смена пределов:

$\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$

Интеграл от нуля до нуля: $\int_a^a f(x)\,dx = 0$.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А, fully worked). Вычисли $\displaystyle\int_0^3 (x^2 + 2x)\,dx$.

Решение.

Находим первообразную:

$F(x) = \frac{x^3}{3} + x^2$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_0^3 (x^2 + 2x)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} + x^2\right]_0^3$

Подставляем $x = 3$:

$\frac{27}{3} + 9 = 9 + 9 = 18$

Подставляем $x = 0$:

$\frac{0}{3} + 0 = 0$

Результат:

$18 - 0 = 18$

Ответ: $18$.

Типичная ошибка. Перепутать порядок: $F(a) - F(b)$ вместо $F(b) - F(a)$. Интеграл от 0 до 3 — это $F(3) - F(0)$, не $F(0) - F(3)$.

Пример 2 (уровень Б, faded — 1 шаг свёрнут). Найди площадь фигуры, ограниченной графиком $y = \sin x$, осью $x$ и прямыми $x = 0$ и $x = \pi$.

Решение.

На отрезке $[0, \pi]$ функция $\sin x \geq 0$, поэтому площадь равна интегралу.

$S = \int_0^{\pi} \sin x\,dx = \big[-\cos x\big]_0^{\pi}$

Найди значения $-\cos(\pi)$ и $-\cos(0)$ самостоятельно и вычисли разность. Ответ ниже.

Типичная ошибка. Написать первообразную $\cos x$ вместо $-\cos x$. Проверяй: $(−\cos x)' = \sin x$. Знак важен.

Пример 3 (уровень В, faded — 2 шага свёрнуты). Найди площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 - 4$ и осью $x$.

Шаг 1: найди нули функции $y = x^2 - 4$ — они станут пределами интегрирования.

Шаг 2: вычисли площадь $S = \int_{-2}^{2} |x^2 - 4|\,dx = -\int_{-2}^{2} (x^2 - 4)\,dx$ (потому что подынтегральная функция отрицательна). Найди интеграл.

Типичная ошибка. Взять интеграл без модуля и получить отрицательный ответ как «площадь». Площадь всегда неотрицательна.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Вычитать $F(b) - F(a)$ в обратном порядке: $F(a) - F(b)$. Знак меняется.

Ошибка 2. Неверная первообразная из-за ошибки в знаке: первообразная $\sin x$ — это $-\cos x$, а не $\cos x$.

Ошибка 3. При нахождении площади между кривой и осью не учитывать знак функции. Если $f(x) < 0$, интеграл даёт отрицательное число, а площадь — положительное.

Ошибка 4. Использовать разные первообразные в верхнем и нижнем пределе. Нужно одно и то же выражение $F(x)$.

Ошибка 5. Константу $C$ добавлять к результату. Константы сокращаются при вычислении $F(b) - F(a)$.

Связь с другими темами

Определённый интеграл — центральное понятие математического анализа. Для его вычисления нужны первообразные всех элементарных функций: степенных, тригонометрических, показательных, логарифмических.

Связь с производной: интегрирование — обратная операция дифференцированию. Теорема Ньютона-Лейбница и замечательна тем, что связывает эти две операции в одну формулу.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Определённый интеграл напрямую входит в задания профиля, связанные с нахождением площадей (часть 2), а также может встречаться в задачах физического содержания (скорость и перемещение, накопленный объём).

Часто задаваемые вопросы