Что такое определённый интеграл?

Определённый интеграл $\int_a^b f(x)\,dx$ — это число, равное площади (с учётом знака) фигуры между графиком $f(x)$, осью $x$ и вертикальными прямыми $x = a$ и $x = b$.

Как вычислить определённый интеграл?

По формуле Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — любая первообразная функции $f(x)$.

Можно ли брать любую первообразную в формуле Ньютона-Лейбница?

Да. Любая из них подойдёт, потому что константы $C$ в $F(b) + C$ и $F(a) + C$ вычтутся. Поэтому в формуле берут «удобную» первообразную с $C = 0$.

Что означает геометрический смысл интеграла?

$\int_a^b f(x)\,dx = S_+ - S_-$, где $S_+$ — площадь частей графика выше оси $x$, $S_-$ — ниже. Если $f(x) \geq 0$ на всём $[a,b]$, интеграл равен площади криволинейной трапеции.

Какая формула нужна для нахождения площади фигуры?

Если нужна именно площадь (не интеграл), то $S = \int_a^b |f(x)|\,dx$. Для этого выясняют, где $f(x) \geq 0$ и где $f(x) < 0$, и берут интеграл по частям.

Что такое криволинейная трапеция?

Фигура, ограниченная сверху графиком $f(x) \geq 0$, снизу осью $x$, слева прямой $x = a$ и справа $x = b$. Её площадь равна $\int_a^b f(x)\,dx$.

Как связан определённый интеграл с неопределённым?

Неопределённый интеграл даёт семейство первообразных $F(x) + C$. Определённый интеграл — это конкретное число, вычисляемое через значения первообразной в двух точках по формуле Ньютона-Лейбница.

Определённый интеграл: формула Ньютона-Лейбница

Q: Что такое первообразная?

Функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на отрезке $[a,b]$, если $F'(x) = f(x)$ для всех $x$ из этого отрезка. Первообразная определяется с точностью до константы.

Q: Что такое криволинейная трапеция?

Фигура, ограниченная сверху графиком $f(x) \geq 0$, снизу осью $x$, слева прямой $x = a$ и справа $x = b$. Её площадь равна $\int_a^b f(x)\,dx$.

Q: Как связан определённый интеграл с неопределённым?

Неопределённый интеграл даёт семейство первообразных $F(x) + C$. Определённый интеграл — это конкретное число, вычисляемое через значения первообразной в двух точках по формуле Ньютона-Лейбница.

Определённый интеграл — это инструмент для вычисления площадей, объёмов и накопленных величин. В школьном курсе всё сводится к одной короткой формуле: взять первообразную, подставить два значения и вычесть одно из другого. Звучит несложно, и на практике так и есть. Разберём подробно, что стоит за этой формулой и как не ошибиться в деталях.

Что такое первообразная

Прежде чем интеграл — первообразная. Функция $F (x)$ является первообразной для $f (x)$ на отрезке $[a, b]$ , если:

$F^{'} (x) = f (x) для всех x \in [a, b]$

Это обратная задача дифференцирования: не «найди производную», а «найди функцию, производная которой равна данной».

Первообразная не единственна: если $F (x)$ — первообразная, то $F (x) + C$ тоже первообразная при любой константе $C$ . Поэтому пишут:

$\int f (x) d x = F (x) + C$

Это неопределённый интеграл — семейство всех первообразных.

Таблица основных первообразных:

$f (x)$	$F (x)$
$x^{n}$ ( $n \neq = - 1$ )	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$
$\frac{1}{x}$	$\ln
$e^{x}$	$e^{x}$
$sin x$	$- cos x$
$cos x$	$sin x$

Формула Ньютона-Лейбница

Определённый интеграл от $a$ до $b$ — это конкретное число, вычисляемое по формуле:

$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$

где $F (x)$ — любая первообразная функции $f (x)$ .

Обозначение $F (b) - F (a)$ часто записывают с «квадратными скобками»:

$\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)$

Число $a$ называют нижним пределом интегрирования, $b$ — верхним.

Почему константа $C$ не влияет. Пусть $G (x) = F (x) + C$ — другая первообразная. Тогда:

$G (b) - G (a) = (F (b) + C) - (F (a) + C) = F (b) - F (a)$

Константа уходит. Поэтому берут любую удобную первообразную, обычно с $C = 0$ .

Геометрический смысл

Если функция $f (x) \geq 0$ на отрезке $[a, b]$ , то определённый интеграл равен площади криволинейной трапеции — фигуры, ограниченной графиком $f (x)$ , осью $x$ , и прямыми $x = a$ , $x = b$ .

$S = \int_{a}^{b} f (x) d x, если f (x) \geq 0 на [a, b]$

Если $f (x)$ меняет знак на $[a, b]$ : интеграл считает площади со знаком. Части выше оси $x$ — со знаком « $+$ », ниже — « $-$ ». Чтобы найти именно площадь (без знака):

$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x$

Это разбивается на несколько интегралов: на каждом промежутке, где $f$ не меняет знак, берётся интеграл с нужным знаком.

Свойства определённого интеграла

Линейность:

$\int_{a}^{b} (f (x) + g (x)) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x$

$\int_{a}^{b} k \cdot f (x) d x = k \int_{a}^{b} f (x) d x$

Аддитивность по промежутку:

$\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$

при любом $c \in [a, b]$ .

Смена пределов:

$\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x$

Интеграл от нуля до нуля: $\int_{a}^{a} f (x) d x = 0$ .

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А, fully worked). Вычисли $\int_{0}^{3} (x^{2} + 2 x) d x$ .

Решение.

Находим первообразную:

$F (x) = \frac{x ^{3}}{3} + x^{2}$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{3} (x^{2} + 2 x) d x = [\frac{x ^{3}}{3} + x^{2}]_{0}^{3}$

Подставляем $x = 3$ :

$\frac{27}{3} + 9 = 9 + 9 = 18$

Подставляем $x = 0$ :

$\frac{0}{3} + 0 = 0$

Результат:

$18 - 0 = 18$

Ответ: $18$ .

Типичная ошибка. Перепутать порядок: $F (a) - F (b)$ вместо $F (b) - F (a)$ . Интеграл от 0 до 3 — это $F (3) - F (0)$ , не $F (0) - F (3)$ .

Пример 2 (уровень Б, faded — 1 шаг свёрнут). Найди площадь фигуры, ограниченной графиком $y = sin x$ , осью $x$ и прямыми $x = 0$ и $x = π$ .

Решение.

На отрезке $[0, π]$ функция $sin x \geq 0$ , поэтому площадь равна интегралу.

$S = \int_{0}^{π} sin x d x = [- cos x]_{0}^{π}$

Найди значения $- cos (π)$ и $- cos (0)$ самостоятельно и вычисли разность. Ответ ниже.

Вычисление

- cos (π) = - (- 1) = 1

- cos (0) = - (1) = - 1

S = 1 - (- 1) = 2

Типичная ошибка. Написать первообразную $cos x$ вместо $- cos x$ . Проверяй: $(- cos x)^{'} = sin x$ . Знак важен.

Пример 3 (уровень В, faded — 2 шага свёрнуты). Найди площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^{2} - 4$ и осью $x$ .

Шаг 1: найди нули функции $y = x^{2} - 4$ — они станут пределами интегрирования.

Шаг 1: ответ

x^{2} - 4 = 0

x = \pm 2

. На отрезке

[- 2, 2]

парабола

x^{2} - 4 \leq 0

(она ниже оси

x

Шаг 2: вычисли площадь $S = \int_{- 2}^{2} ∣ x^{2} - 4∣ d x = - \int_{- 2}^{2} (x^{2} - 4) d x$ (потому что подынтегральная функция отрицательна). Найди интеграл.

Шаг 2: ответ

\int_{- 2}^{2} (x^{2} - 4) d x = [\frac{x ^{3}}{3} - 4 x]_{- 2}^{2} = (\frac{8}{3} - 8) - (\frac{- 8}{3} + 8) = \frac{8}{3} - 8 + \frac{8}{3} - 8 = \frac{16}{3} - 16 = - \frac{32}{3}

. Площадь

S = \frac{32}{3}

Типичная ошибка. Взять интеграл без модуля и получить отрицательный ответ как «площадь». Площадь всегда неотрицательна.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Вычитать $F (b) - F (a)$ в обратном порядке: $F (a) - F (b)$ . Знак меняется.

Ошибка 2. Неверная первообразная из-за ошибки в знаке: первообразная $sin x$ — это $- cos x$ , а не $cos x$ .

Ошибка 3. При нахождении площади между кривой и осью не учитывать знак функции. Если $f (x) < 0$ , интеграл даёт отрицательное число, а площадь — положительное.

Ошибка 4. Использовать разные первообразные в верхнем и нижнем пределе. Нужно одно и то же выражение $F (x)$ .

Ошибка 5. Константу $C$ добавлять к результату. Константы сокращаются при вычислении $F (b) - F (a)$ .

Почему формула Ньютона-Лейбница так устроена

Формула Ньютона-Лейбница на первый взгляд кажется чудом: чтобы найти площадь под кривой, достаточно взять первообразную и вычесть два её значения. Но за этим стоит глубокая и красивая идея — связь между накоплением и скоростью. Представь, что первообразная описывает накопленную величину, например, пройденный путь, а сама функция под интегралом — скорость, с которой эта величина растёт. Тогда интеграл от скорости по отрезку времени даёт весь путь, пройденный за это время. А путь, пройденный за отрезок, — это просто разность накопленных значений в конце и в начале. Отсюда и формула: значение первообразной в конце минус значение в начале.

Именно поэтому первообразная и определённый интеграл связаны: интегрирование накапливает то, что описывает подынтегральная функция, а первообразная как раз хранит это накопленное значение. Дифференцирование и интегрирование оказываются обратными операциями, и формула Ньютона-Лейбница — мост между ними. Это одно из важнейших открытий в истории математики, и не случайно теорема носит имена сразу двух великих учёных. Для школьника же главное практическое следствие простое: чтобы вычислить определённый интеграл, не нужно складывать бесконечно много тонких столбиков вручную — достаточно знать первообразную.

Порядок пределов и знак

Важнейшая деталь формулы — порядок, в котором вычитают значения первообразной. Из значения в верхнем пределе вычитают значение в нижнем, а не наоборот. Если перепутать порядок, ответ изменит знак, и это одна из самых частых ошибок. Чтобы не сбиваться, проговаривай вслух: «верхний минус нижний». Верхний предел — тот, что стоит сверху у знака интеграла, нижний — снизу.

Со знаком связана и ещё одна тонкость. Если поменять местами пределы интегрирования, интеграл меняет знак на противоположный. Это прямое следствие того, что в формуле важен порядок вычитания. Поэтому, если в задаче пределы вдруг даны в «обратном» порядке, когда нижний больше верхнего, можно либо считать как есть, аккуратно следя за знаком, либо поменять пределы местами, не забыв сменить знак перед интегралом. Понимание этого свойства помогает не запутаться в редких, но встречающихся задачах с переставленными пределами.

Определённый и неопределённый интеграл — в чём разница

Эти два понятия легко перепутать, хотя они существенно различаются. Неопределённый интеграл — это не число, а целое семейство функций: все первообразные данной функции, отличающиеся друг от друга на постоянную. Поэтому в неопределённом интеграле обязательно пишут произвольную постоянную в конце. Результат неопределённого интегрирования — это формула, выражение с иксом, а не конкретное число.

Определённый интеграл, наоборот, — это всегда конкретное число. У него есть пределы интегрирования, нижний и верхний, и по формуле Ньютона-Лейбница он сводится к разности двух значений первообразной. Постоянная интегрирования при этом сокращается, поэтому в определённом интеграле её не пишут. Можно сказать, что неопределённый интеграл отвечает на вопрос «какие функции имеют данную производную», а определённый — «чему равна площадь под графиком на конкретном отрезке». Связь между ними прямая: чтобы вычислить определённый интеграл, сначала находят неопределённый, то есть первообразную, а затем подставляют пределы.

Понимание этой разницы избавляет от типичных ошибок. Не нужно писать постоянную в ответе определённого интеграла — она там лишняя. И наоборот, нельзя забывать постоянную в неопределённом интеграле — без неё ответ неполон. Эти две операции тесно связаны, но путать их нельзя: одна даёт семейство функций, другая — одно число.

Связь с другими темами

Определённый интеграл — центральное понятие математического анализа. Для его вычисления нужны первообразные всех элементарных функций: степенных, тригонометрических, показательных и логарифмических, поэтому уверенное знание таблицы первообразных здесь обязательно.

Связь с производной: интегрирование — обратная операция дифференцированию. Теорема Ньютона-Лейбница замечательна именно тем, что связывает эти две операции в одну простую формулу, превращая громоздкий подсчёт площади в короткое вычисление через первообразную.

Физический смысл интеграла

Помимо геометрического смысла как площади, у определённого интеграла есть наглядный физический смысл, который помогает понять тему глубже. Если подынтегральная функция описывает скорость движения тела в зависимости от времени, то определённый интеграл от этой скорости по промежутку времени равен пути, пройденному телом за этот промежуток. Логика та же, что и в формуле Ньютона-Лейбница: скорость — это производная пути, поэтому путь — это первообразная скорости, и интеграл скорости даёт накопленный путь.

Эта же идея работает для любых накапливаемых величин. Если функция описывает мощность, интеграл даёт накопленную энергию. Если функция описывает расход жидкости в единицу времени, интеграл даёт общий объём, который протёк. Поэтому интеграл часто называют инструментом для подсчёта накопленного результата: он суммирует мгновенные вклады по всему промежутку. Понимание этого физического смысла делает интеграл не абстрактной формулой, а естественным способом связать скорость процесса с его итогом.

Что запомнить

Определённый интеграл — это число, равное площади со знаком под графиком функции на отрезке. Вычисляют его по формуле Ньютона-Лейбница: находят первообразную и берут разность её значений на верхнем и нижнем пределах, именно в таком порядке — верхний минус нижний.

Постоянная интегрирования в определённом интеграле не нужна, потому что она сокращается при вычитании. Можно брать любую удобную первообразную. При перестановке пределов интеграл меняет знак, а интеграл по отрезку нулевой длины равен нулю.

Чтобы получить именно площадь, а не разность площадей, следи за знаком функции: на участках, где функция отрицательна, бери интеграл по модулю. И не путай определённый интеграл, который даёт число, с неопределённым, который даёт семейство первообразных с постоянной.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Определённый интеграл напрямую входит в задание 12 профиля, связанное с нахождением площадей фигур, а также может встречаться в задачах физического содержания — скорость и перемещение, накопленный объём.

Проверь, где у тебя пробелы

В Сотах адаптивная практика по твоему уровню: система подбирает задачи и показывает пробелы в знаниях.

Попробовать бесплатно

Определённый интеграл: формула Ньютона-Лейбница

Что такое первообразная

Формула Ньютона-Лейбница

Геометрический смысл

Свойства определённого интеграла

Разбор примеров

Типичные ошибки

Почему формула Ньютона-Лейбница так устроена

Порядок пределов и знак

Определённый и неопределённый интеграл — в чём разница

Связь с другими темами

Физический смысл интеграла

Что запомнить

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Часто задаваемые вопросы

Частые вопросы

Смежные темы