Определённый интеграл: формула Ньютона-Лейбница

Определённый интеграл — это инструмент для вычисления площадей, объёмов и накопленных величин. В школьном курсе всё сводится к одной короткой формуле: взять первообразную, подставить два значения и вычесть одно из другого. Звучит несложно, и на практике так и есть. Разберём подробно, что стоит за этой формулой и как не ошибиться в деталях.

Что такое первообразная

Прежде чем интеграл — первообразная. Функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на отрезке $[a, b]$, если:

$F'(x) = f(x) \quad \text{для всех } x \in [a, b]$

Это обратная задача дифференцирования: не «найди производную», а «найди функцию, производная которой равна данной».

Первообразная не единственна: если $F(x)$ — первообразная, то $F(x) + C$ тоже первообразная при любой константе $C$. Поэтому пишут:

$\int f(x)\,dx = F(x) + C$

Это неопределённый интеграл — семейство всех первообразных.

Таблица основных первообразных:

Формула Ньютона-Лейбница

Определённый интеграл от $a$ до $b$ — это конкретное число, вычисляемое по формуле:

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$

где $F(x)$ — любая первообразная функции $f(x)$.

Обозначение $F(b) - F(a)$ часто записывают с «квадратными скобками»:

$\int_a^b f(x)\,dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)$

Число $a$ называют нижним пределом интегрирования, $b$ — верхним.

Почему константа $C$ не влияет. Пусть $G(x) = F(x) + C$ — другая первообразная. Тогда:

$G(b) - G(a) = (F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$

Константа уходит. Поэтому берут любую удобную первообразную, обычно с $C = 0$.

Геометрический смысл

Если функция $f(x) \geq 0$ на отрезке $[a, b]$, то определённый интеграл равен площади криволинейной трапеции — фигуры, ограниченной графиком $f(x)$, осью $x$, и прямыми $x = a$, $x = b$.

$S = \int_a^b f(x)\,dx, \quad \text{если } f(x) \geq 0 \text{ на } [a, b]$

Если $f(x)$ меняет знак на $[a, b]$: интеграл считает площади со знаком. Части выше оси $x$ — со знаком «$+$», ниже — «$-$». Чтобы найти именно площадь (без знака):

$S = \int_a^b |f(x)|\,dx$

Это разбивается на несколько интегралов: на каждом промежутке, где $f$ не меняет знак, берётся интеграл с нужным знаком.

Свойства определённого интеграла

Линейность:

$\int_a^b (f(x) + g(x))\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx$

$\int_a^b k \cdot f(x)\,dx = k \int_a^b f(x)\,dx$

Аддитивность по промежутку:

$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$

при любом $c \in [a, b]$.

Смена пределов:

$\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$

Интеграл от нуля до нуля: $\int_a^a f(x)\,dx = 0$.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А, fully worked). Вычисли $\displaystyle\int_0^3 (x^2 + 2x)\,dx$.

Решение.

Находим первообразную:

$F(x) = \frac{x^3}{3} + x^2$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_0^3 (x^2 + 2x)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} + x^2\right]_0^3$

Подставляем $x = 3$:

$\frac{27}{3} + 9 = 9 + 9 = 18$

Подставляем $x = 0$:

$\frac{0}{3} + 0 = 0$

Результат:

$18 - 0 = 18$

Ответ: $18$.

Типичная ошибка. Перепутать порядок: $F(a) - F(b)$ вместо $F(b) - F(a)$. Интеграл от 0 до 3 — это $F(3) - F(0)$, не $F(0) - F(3)$.

Пример 2 (уровень Б, faded — 1 шаг свёрнут). Найди площадь фигуры, ограниченной графиком $y = \sin x$, осью $x$ и прямыми $x = 0$ и $x = \pi$.

Решение.

На отрезке $[0, \pi]$ функция $\sin x \geq 0$, поэтому площадь равна интегралу.

$S = \int_0^{\pi} \sin x\,dx = \big[-\cos x\big]_0^{\pi}$

Найди значения $-\cos(\pi)$ и $-\cos(0)$ самостоятельно и вычисли разность. Ответ ниже.

Типичная ошибка. Написать первообразную $\cos x$ вместо $-\cos x$. Проверяй: $(−\cos x)' = \sin x$. Знак важен.

Пример 3 (уровень В, faded — 2 шага свёрнуты). Найди площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 - 4$ и осью $x$.

Шаг 1: найди нули функции $y = x^2 - 4$ — они станут пределами интегрирования.

Шаг 2: вычисли площадь $S = \int_{-2}^{2} |x^2 - 4|\,dx = -\int_{-2}^{2} (x^2 - 4)\,dx$ (потому что подынтегральная функция отрицательна). Найди интеграл.

Типичная ошибка. Взять интеграл без модуля и получить отрицательный ответ как «площадь». Площадь всегда неотрицательна.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Вычитать $F(b) - F(a)$ в обратном порядке: $F(a) - F(b)$. Знак меняется.

Ошибка 2. Неверная первообразная из-за ошибки в знаке: первообразная $\sin x$ — это $-\cos x$, а не $\cos x$.

Ошибка 3. При нахождении площади между кривой и осью не учитывать знак функции. Если $f(x) < 0$, интеграл даёт отрицательное число, а площадь — положительное.

Ошибка 4. Использовать разные первообразные в верхнем и нижнем пределе. Нужно одно и то же выражение $F(x)$.

Ошибка 5. Константу $C$ добавлять к результату. Константы сокращаются при вычислении $F(b) - F(a)$.

Почему формула Ньютона-Лейбница так устроена

Формула Ньютона-Лейбница на первый взгляд кажется чудом: чтобы найти площадь под кривой, достаточно взять первообразную и вычесть два её значения. Но за этим стоит глубокая и красивая идея — связь между накоплением и скоростью. Представь, что первообразная описывает накопленную величину, например, пройденный путь, а сама функция под интегралом — скорость, с которой эта величина растёт. Тогда интеграл от скорости по отрезку времени даёт весь путь, пройденный за это время. А путь, пройденный за отрезок, — это просто разность накопленных значений в конце и в начале. Отсюда и формула: значение первообразной в конце минус значение в начале.

Именно поэтому первообразная и определённый интеграл связаны: интегрирование накапливает то, что описывает подынтегральная функция, а первообразная как раз хранит это накопленное значение. Дифференцирование и интегрирование оказываются обратными операциями, и формула Ньютона-Лейбница — мост между ними. Это одно из важнейших открытий в истории математики, и не случайно теорема носит имена сразу двух великих учёных. Для школьника же главное практическое следствие простое: чтобы вычислить определённый интеграл, не нужно складывать бесконечно много тонких столбиков вручную — достаточно знать первообразную.

Порядок пределов и знак

Важнейшая деталь формулы — порядок, в котором вычитают значения первообразной. Из значения в верхнем пределе вычитают значение в нижнем, а не наоборот. Если перепутать порядок, ответ изменит знак, и это одна из самых частых ошибок. Чтобы не сбиваться, проговаривай вслух: «верхний минус нижний». Верхний предел — тот, что стоит сверху у знака интеграла, нижний — снизу.

Со знаком связана и ещё одна тонкость. Если поменять местами пределы интегрирования, интеграл меняет знак на противоположный. Это прямое следствие того, что в формуле важен порядок вычитания. Поэтому, если в задаче пределы вдруг даны в «обратном» порядке, когда нижний больше верхнего, можно либо считать как есть, аккуратно следя за знаком, либо поменять пределы местами, не забыв сменить знак перед интегралом. Понимание этого свойства помогает не запутаться в редких, но встречающихся задачах с переставленными пределами.

Определённый и неопределённый интеграл — в чём разница

Эти два понятия легко перепутать, хотя они существенно различаются. Неопределённый интеграл — это не число, а целое семейство функций: все первообразные данной функции, отличающиеся друг от друга на постоянную. Поэтому в неопределённом интеграле обязательно пишут произвольную постоянную в конце. Результат неопределённого интегрирования — это формула, выражение с иксом, а не конкретное число.

Определённый интеграл, наоборот, — это всегда конкретное число. У него есть пределы интегрирования, нижний и верхний, и по формуле Ньютона-Лейбница он сводится к разности двух значений первообразной. Постоянная интегрирования при этом сокращается, поэтому в определённом интеграле её не пишут. Можно сказать, что неопределённый интеграл отвечает на вопрос «какие функции имеют данную производную», а определённый — «чему равна площадь под графиком на конкретном отрезке». Связь между ними прямая: чтобы вычислить определённый интеграл, сначала находят неопределённый, то есть первообразную, а затем подставляют пределы.

Понимание этой разницы избавляет от типичных ошибок. Не нужно писать постоянную в ответе определённого интеграла — она там лишняя. И наоборот, нельзя забывать постоянную в неопределённом интеграле — без неё ответ неполон. Эти две операции тесно связаны, но путать их нельзя: одна даёт семейство функций, другая — одно число.

Связь с другими темами

Определённый интеграл — центральное понятие математического анализа. Для его вычисления нужны первообразные всех элементарных функций: степенных, тригонометрических, показательных и логарифмических, поэтому уверенное знание таблицы первообразных здесь обязательно.

Связь с производной: интегрирование — обратная операция дифференцированию. Теорема Ньютона-Лейбница замечательна именно тем, что связывает эти две операции в одну простую формулу, превращая громоздкий подсчёт площади в короткое вычисление через первообразную.

Физический смысл интеграла

Помимо геометрического смысла как площади, у определённого интеграла есть наглядный физический смысл, который помогает понять тему глубже. Если подынтегральная функция описывает скорость движения тела в зависимости от времени, то определённый интеграл от этой скорости по промежутку времени равен пути, пройденному телом за этот промежуток. Логика та же, что и в формуле Ньютона-Лейбница: скорость — это производная пути, поэтому путь — это первообразная скорости, и интеграл скорости даёт накопленный путь.

Эта же идея работает для любых накапливаемых величин. Если функция описывает мощность, интеграл даёт накопленную энергию. Если функция описывает расход жидкости в единицу времени, интеграл даёт общий объём, который протёк. Поэтому интеграл часто называют инструментом для подсчёта накопленного результата: он суммирует мгновенные вклады по всему промежутку. Понимание этого физического смысла делает интеграл не абстрактной формулой, а естественным способом связать скорость процесса с его итогом.

Что запомнить

Определённый интеграл — это число, равное площади со знаком под графиком функции на отрезке. Вычисляют его по формуле Ньютона-Лейбница: находят первообразную и берут разность её значений на верхнем и нижнем пределах, именно в таком порядке — верхний минус нижний.

Постоянная интегрирования в определённом интеграле не нужна, потому что она сокращается при вычитании. Можно брать любую удобную первообразную. При перестановке пределов интеграл меняет знак, а интеграл по отрезку нулевой длины равен нулю.

Чтобы получить именно площадь, а не разность площадей, следи за знаком функции: на участках, где функция отрицательна, бери интеграл по модулю. И не путай определённый интеграл, который даёт число, с неопределённым, который даёт семейство первообразных с постоянной.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Определённый интеграл напрямую входит в задание 12 профиля, связанное с нахождением площадей фигур, а также может встречаться в задачах физического содержания — скорость и перемещение, накопленный объём.

Часто задаваемые вопросы