Сколько баллов даёт задание 1 ЕГЭ профиль?

1 балл. Это задание части 1 — ответ записывается в виде числа или выражения, без развёрнутого решения. Либо правильно, либо нет.

Нужен ли калькулятор для задания 1?

Нет. Часть 1 ЕГЭ решается без калькулятора. Числа в задании 1 по планиметрии подобраны так, чтобы ответ получался целым или простой дробью.

Что чаще всего спрашивают в задании 1?

Задание 1 чаще всего связано с треугольниками (теорема Пифагора, площадь, теорема косинусов или синусов) и окружностями (вписанный угол, хорды). Реже встречаются четырёхугольники.

Как найти площадь треугольника через стороны?

Через формулу Герона — $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = (a+b+c)/2$. Если известны две стороны и угол между ними — $S = \frac{1}{2}ab\sin C$.

Чем отличается вписанный угол от центрального?

Вписанный угол опирается на дугу и вершиной лежит на окружности. Центральный угол опирается на ту же дугу, но вершиной стоит в центре окружности. Вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу.

Как быстро считать площадь прямоугольного треугольника?

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов — $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$. Если известна гипотенуза и один катет, второй катет находится по теореме Пифагора.

Теорема Пифагора и теорема косинусов — когда что применять?

Теорема Пифагора — только для прямоугольного треугольника ($c^2 = a^2 + b^2$). Теорема косинусов — для любого треугольника, когда нужно найти сторону по двум другим и углу между ними, или угол по трём сторонам.

Что такое медиана треугольника и как её найти?

Медиана соединяет вершину со срединой противоположной стороны. Длина медианы $m_a$ находится по формуле $m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$.

Задание 1 ЕГЭ математика профиль — планиметрия базовая

Задание 1 — первое в КИМе и одно из самых предсказуемых. Треугольники, четырёхугольники, окружности, простые вычисления. 1 балл, часть 1, без развёрнутого ответа. Но терять его глупо — разбираем, что там бывает и как не ошибиться.

Что проверяется в задании 1

Задание 1 входит в часть 1 профильного ЕГЭ. Это базовая планиметрия: никакой стереометрии, никаких функций — только фигуры на плоскости.

Типичные темы:

Треугольники — стороны, углы, площади, высоты, медианы, биссектрисы.
Прямоугольники, параллелограммы, трапеции — периметры и площади.
Окружности — вписанный угол, хорды, касательные, вписанная/описанная окружность.

Ответ записывается числом — разворачивать решение не нужно. Цифры в задаче обычно подобраны так, чтобы ответ был целым или простой дробью. Если получилось иррациональное — проверь подход.

Типовые подзадачи

Треугольники

Задачи на треугольники делятся на несколько подтипов.

Прямоугольный треугольник — самый частый случай. Здесь работает теорема Пифагора:

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$

где $a$ , $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза. Площадь:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

Произвольный треугольник — когда прямого угла нет. Теорема косинусов:

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$

Здесь $C$ — угол, противолежащий стороне $c$ . Она позволяет найти третью сторону по двум другим и углу между ними, либо найти угол по трём сторонам.

Площадь через две стороны и угол:

$S = \frac{1}{2} ab sin C$

Если даны все три стороны, площадь находят по формуле Герона. Полупериметр $p = \frac{a + b + c}{2}$ :

$S = p (p - a) (p - b) (p - c)$

Высоты и медианы. Длина медианы $m_{a}$ к стороне $a$ :

$m_{a}^{2} = \frac{2 b ^{2} + 2 c ^{2} - a ^{2}}{4}$

Эту формулу на ЕГЭ спрашивают редко, но знать полезно.

Четырёхугольники

В задании 1 встречаются прямоугольник, квадрат, ромб, параллелограмм, трапеция.

Прямоугольник: $S = ab$ , диагональ $d = a^{2} + b^{2}$ .

Ромб: $S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$ (через диагонали) или $S = a^{2} sin α$ (через сторону и угол).

Трапеция: $S = \frac{1}{2} (a + b) \cdot h$ , где $a$ и $b$ — основания, $h$ — высота.

Параллелограмм: $S = a \cdot h = ab sin α$ .

В задании 1 по четырёхугольникам обычно нужно найти площадь или диагональ по заданным элементам.

Окружности

Чаще всего спрашивают вписанный угол. Вспоминай два факта:

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу:

$∠ вписанный = \frac{1}{2} ∠ центральный$

Угол, вписанный в полуокружность (опирается на диаметр) всегда равен $90°$ .

Длина дуги и площадь сектора:

$l = \frac{π R α}{180°}, S_{сектора} = \frac{π R ^{2} α}{360°}$

где $α$ — центральный угол в градусах, $R$ — радиус.

Для вписанной и описанной окружностей треугольника:

$r = \frac{S}{p}, R = \frac{ab c}{4 S}$

где $S$ — площадь, $p$ — полупериметр, $a, b, c$ — стороны.

Что нужно знать до задания 1

Задание 1 опирается на несколько тем учебника:

Теорема Пифагора — прямоугольный треугольник, катеты и гипотенуза. Без этой теоремы половина задач по планиметрии не решается.
Площадь треугольника — формулы через основание и высоту, через две стороны и угол, через вписанную окружность.
Теорема косинусов — произвольный треугольник, нахождение стороны и угла.
Теорема синусов — связь сторон и синусов противолежащих углов, радиус описанной окружности.
Вписанный угол — задачи на окружности, соотношение вписанного и центрального углов.

Алгоритм решения

Задание 1 решается по одной схеме, независимо от типа фигуры:

Прочитай условие и нарисуй фигуру — даже схематично. Без чертежа легко перепутать элементы.
Определи, что дано и что нужно найти.
Выбери формулу или теорему — по типу фигуры (прямоугольный треугольник → Пифагор; произвольный → косинусов; окружность → вписанный угол).
Подставь числа и вычисли.
Проверь: ответ разумный? Длина не может быть отрицательной, площадь не может быть нулём при ненулевых сторонах.

Проверь, где у тебя пробелы

В Сотах адаптивная практика по твоему уровню: система подбирает задачи и показывает пробелы в знаниях.

Попробовать бесплатно

Типичные ошибки

1. Применять теорему Пифагора к непрямоугольному треугольнику. Это самая частая ошибка. Всегда проверяй, есть ли прямой угол. Если угла нет — нужна теорема косинусов.

2. Путать вписанный и центральный углы. Вписанный угол вдвое меньше центрального. Ошибочно равнять их или брать удвоенный вписанный там, где достаточно одного.

3. Подставлять угол в формулы дуги и сектора без проверки единиц. Формулы $l = \frac{π R α}{180°}$ и $S = \frac{π R ^{2} α}{360°}$ работают только когда угол $α$ выражен в градусах. Если задача даёт угол в радианах — используй формулы $l = R α$ и $S = \frac{1}{2} R^{2} α$ без множителей $180°$ и $360°$ . Смешение единиц — типичный источник ошибки.

4. Забывать про $\frac{1}{2}$ в формуле площади треугольника. $S = \frac{1}{2} ab sin C$ , а не $ab sin C$ . Потеря множителя $\frac{1}{2}$ даёт неверный ответ.

5. Неправильно находить полупериметр в формуле Герона. $p$ — это половина суммы всех трёх сторон, не сумма. $p = \frac{a + b + c}{2}$ .

6. Не чертить. Без чертежа путаются элементы фигуры — какая из диагоналей заданная, где высота падает. Чертёж занимает 20 секунд и экономит ошибки.

Задание 1 ЕГЭ профиль — планиметрия базовая