Задание 1 ЕГЭ профиль — планиметрия базовая

Задание 1 — первое в КИМе и одно из самых предсказуемых. Треугольники, четырёхугольники, окружности, простые вычисления. 1 балл, часть 1, без развёрнутого ответа. Но терять его глупо — разбираем, что там бывает и как не ошибиться.

Что проверяется в задании 1

Задание 1 входит в часть 1 профильного ЕГЭ. Это базовая планиметрия: никакой стереометрии, никаких функций — только фигуры на плоскости.

Типичные темы:

• Треугольники — стороны, углы, площади, высоты, медианы, биссектрисы.
• Прямоугольники, параллелограммы, трапеции — периметры и площади.
• Окружности — вписанный угол, хорды, касательные, вписанная/описанная окружность.

Ответ записывается числом — разворачивать решение не нужно. Цифры в задаче обычно подобраны так, чтобы ответ был целым или простой дробью. Если получилось иррациональное — проверь подход.

Типовые подзадачи

Треугольники

Задачи на треугольники делятся на несколько подтипов.

Прямоугольный треугольник — самый частый случай. Здесь работает теорема Пифагора:

$c^2 = a^2 + b^2$

где $a$, $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза. Площадь:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

Произвольный треугольник — когда прямого угла нет. Теорема косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

Здесь $C$ — угол, противолежащий стороне $c$. Она позволяет найти третью сторону по двум другим и углу между ними, либо найти угол по трём сторонам.

Площадь через две стороны и угол:

$S = \frac{1}{2} ab \sin C$

Если даны все три стороны, площадь находят по формуле Герона. Полупериметр $p = \dfrac{a + b + c}{2}$:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Высоты и медианы. Длина медианы $m_a$ к стороне $a$:

$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$

Эту формулу на ЕГЭ спрашивают редко, но знать полезно.

Четырёхугольники

В задании 1 встречаются прямоугольник, квадрат, ромб, параллелограмм, трапеция.

Прямоугольник: $S = ab$, диагональ $d = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Ромб: $S = \frac{1}{2}d_1 d_2$ (через диагонали) или $S = a^2 \sin\alpha$ (через сторону и угол).

Трапеция: $S = \frac{1}{2}(a + b) \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания, $h$ — высота.

Параллелограмм: $S = a \cdot h = ab\sin\alpha$.

В задании 1 по четырёхугольникам обычно нужно найти площадь или диагональ по заданным элементам.

Окружности

Чаще всего спрашивают вписанный угол. Вспоминай два факта:

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу:

$\angle \text{вписанный} = \frac{1}{2} \angle \text{центральный}$

Угол, вписанный в полуокружность (опирается на диаметр) всегда равен $90°$.

Длина дуги и площадь сектора:

$l = \frac{\pi R \alpha}{180°}, \quad S_{\text{сектора}} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360°}$

где $\alpha$ — центральный угол в градусах, $R$ — радиус.

Для вписанной и описанной окружностей треугольника:

$r = \frac{S}{p}, \quad R = \frac{abc}{4S}$

где $S$ — площадь, $p$ — полупериметр, $a, b, c$ — стороны.

Что нужно знать до задания 1

Задание 1 опирается на несколько тем учебника:

• Теорема Пифагора — прямоугольный треугольник, катеты и гипотенуза. Без этой теоремы половина задач по планиметрии не решается.
• Площадь треугольника — формулы через основание и высоту, через две стороны и угол, через вписанную окружность.
• Теорема косинусов — произвольный треугольник, нахождение стороны и угла.
• Теорема синусов — связь сторон и синусов противолежащих углов, радиус описанной окружности.
• Вписанный угол — задачи на окружности, соотношение вписанного и центрального углов.

Алгоритм решения

Задание 1 решается по одной схеме, независимо от типа фигуры:

1. Прочитай условие и нарисуй фигуру — даже схематично. Без чертежа легко перепутать элементы.
2. Определи, что дано и что нужно найти.
3. Выбери формулу или теорему — по типу фигуры (прямоугольный треугольник → Пифагор; произвольный → косинусов; окружность → вписанный угол).
4. Подставь числа и вычисли.
5. Проверь: ответ разумный? Длина не может быть отрицательной, площадь не может быть нулём при ненулевых сторонах.

Типичные ошибки

1. Применять теорему Пифагора к непрямоугольному треугольнику. Это самая частая ошибка. Всегда проверяй, есть ли прямой угол. Если угла нет — нужна теорема косинусов.

2. Путать вписанный и центральный углы. Вписанный угол вдвое меньше центрального. Ошибочно равнять их или брать удвоенный вписанный там, где достаточно одного.

3. Подставлять угол в формулы дуги и сектора без проверки единиц. Формулы $l = \dfrac{\pi R \alpha}{180°}$ и $S = \dfrac{\pi R^2 \alpha}{360°}$ работают только когда угол $\alpha$ выражен в градусах. Если задача даёт угол в радианах — используй формулы $l = R\alpha$ и $S = \dfrac{1}{2}R^2\alpha$ без множителей $180°$ и $360°$. Смешение единиц — типичный источник ошибки.

4. Забывать про $\frac{1}{2}$ в формуле площади треугольника. $S = \frac{1}{2} a b \sin C$, а не $a b \sin C$. Потеря множителя $\frac{1}{2}$ даёт неверный ответ.

5. Неправильно находить полупериметр в формуле Герона. $p$ — это половина суммы всех трёх сторон, не сумма. $p = \dfrac{a+b+c}{2}$.

6. Не чертить. Без чертежа путаются элементы фигуры — какая из диагоналей заданная, где высота падает. Чертёж занимает 20 секунд и экономит ошибки.