Задание 17 ЕГЭ профиль — задачи по планиметрии с доказательством

Задание 17 — это планиметрическая задача второй части ЕГЭ по профильной математике. За неё дают 3 балла, и структура почти всегда двухчастная: пункт а просит что-то доказать, пункт б — вычислить (площадь, длину, угол). Это одна из самых «геометрических» задач экзамена: успех зависит от того, насколько аккуратно ты строишь чертёж и насколько уверенно владеешь классическими теоремами планиметрии.

Главное отличие задания 17 от планиметрии первой части — здесь недостаточно получить число, нужно обосновать каждый переход. Фраза «очевидно» баллов не приносит: проверяющий хочет видеть название теоремы или свойства, на которое ты опираешься. Поэтому решение задания 17 — это связная логическая цепочка, а не набор вычислений.

Ещё важно понимать систему оценивания. Пункт а (доказательство) и пункт б (вычисление) оцениваются отдельно, поэтому даже если ты не довёл до конца вычисление, верно доказанное утверждение всё равно приносит балл. Это значит, что браться за задачу стоит всегда: частичное решение лучше пустого места. И наоборот — красивое вычисление без обоснования теряет баллы, поэтому не экономь на ссылках на теоремы.

Что нужно знать перед заданием 17

Фундамент задания 17 — классические теоремы планиметрии. Их немного, но владеть ими надо свободно: подобие треугольников, теорема Пифагора, теоремы синусов и косинусов, свойства вписанного угла, свойства касательной и секущей, свойства трапеции и параллелограмма. Если какая-то из этих тем проседает, разбор экзаменационных задач будет идти тяжело.

Полная теория собрана в тематических статьях учебника: Подобие треугольников — про пропорции в треугольниках, Свойства окружности — про вписанные углы и хорды, Трапеция — про средние линии и вписанные окружности. Начни с них, если чувствуешь пробел, а потом возвращайся к разбору типов ниже.

Ключевые теоремы для задания 17

Этот набор закрывает большинство задач номера 17. Чем быстрее ты узнаёшь, какая теорема «развязывает» конфигурацию, тем меньше времени уходит на решение.

Алгоритм решения задания 17

Хороший чертёж — половина решения. Поэтому первый шаг всегда геометрический, а не вычислительный.

1. Начерти фигуру аккуратно, с подписями всех элементов из условия. Не «от руки на коленке», а так, чтобы пропорции примерно совпадали.
2. Отметь искомое и выпиши, что именно надо найти или доказать.
3. Найди ключевую связь — какая теорема или свойство свяжет заданные элементы с искомыми. Это самый творческий шаг.
4. Запиши решение последовательно, каждый переход — с обоснованием (название теоремы или свойства).
5. Проверь разумность ответа: длина положительна, угол лежит в пределах от 0° до 180°, площадь не превышает площадь объемлющей фигуры.

Тип 1: подобие треугольников

Самый частый инструмент задания 17 — подобие. Если в конфигурации есть высота прямоугольного треугольника или пересекающиеся секущие, почти наверняка работает подобие.

Задача. В треугольнике $ABC$ угол $A$ прямой. Высота $AH$ опущена на гипотенузу. Докажите, что $AH^2 = BH \cdot HC$.

Решение. Рассмотрим треугольники $ABH$ и $CAH$.

Углы $BHA$ и $AHC$ прямые, так как $AH$ — высота к гипотенузе.

Угол $ABH$ равен углу $CAH$: каждый из них равен $90° - \angle ACB$ (в прямоугольном треугольнике острые углы дополняют друг друга до 90°).

По двум равным углам треугольники $ABH$ и $CAH$ подобны. Из подобия следует пропорция $\dfrac{AH}{HC} = \dfrac{BH}{AH}$, откуда $AH^2 = BH \cdot HC$, что и требовалось доказать.

Это классическое соотношение для высоты прямоугольного треугольника — оно встречается во многих конфигурациях, держи его наготове.

Тип 2: трапеция с вписанной окружностью

Окружность, вписанная в четырёхугольник, даёт мощное равенство сумм противоположных сторон. Для трапеции это сразу связывает основания и боковые стороны.

Задача. В равнобедренную трапецию $ABCD$ ($AD \parallel BC$) вписана окружность. Известно, что $AD = 10$, $BC = 4$. Найти боковую сторону.

Решение. Для четырёхугольника с вписанной окружностью суммы противоположных сторон равны: $AD + BC = AB + CD$.

Трапеция равнобедренная, значит $AB = CD$. Тогда $10 + 4 = 2 \cdot AB$, откуда $AB = 7$.

Ответ: боковая сторона равна 7.

Тип 3: вписанный угол и пересекающиеся хорды

Когда две хорды пересекаются внутри окружности, произведения отрезков каждой хорды равны. Это короткий, но часто решающий инструмент.

Задача. В окружности с центром $O$ хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$. Известно, что $AP = 3$, $PB = 8$, $CP = 4$. Найти $PD$.

Решение. По теореме о пересекающихся хордах $AP \cdot PB = CP \cdot PD$.

Подставляем: $3 \cdot 8 = 4 \cdot PD$, откуда $PD = 6$.

Ответ: $PD = 6$.

Тип 4: угол через теорему косинусов

Если известны три стороны треугольника, любой его угол находится по теореме косинусов. Это надёжный способ, когда подобие и вписанные углы не помогают.

Задача. В треугольнике $ABC$ известно: $AB = 7$, $BC = 5$, $AC = 6$. Найти $\cos(\angle BAC)$.

Решение. По теореме косинусов $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)$.

$25 = 49 + 36 - 2 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \cos(\angle BAC)$, то есть $25 = 85 - 84\cos(\angle BAC)$.

Отсюда $\cos(\angle BAC) = \dfrac{85 - 25}{84} = \dfrac{60}{84} = \dfrac{5}{7}$.

Ответ: $\cos(\angle BAC) = \dfrac{5}{7}$.

Типичные ошибки в задании 17

Что запомнить про задание 17

1. Всегда строй аккуратный чертёж с подписями — без него задание 17 решить очень сложно.
2. Ключевые теоремы: подобие, Пифагора, синусов и косинусов, вписанный угол, пересекающиеся хорды.
3. Каждый шаг сопровождай обоснованием — это название теоремы или свойства.
4. Доказательство — это цепочка вида «из X следует Y, потому что Z».
5. Записывай решение полностью: даже за частично верный ход дают баллы.

Чтобы закрепить тему, разбери теорию в статьях Подобие треугольников и Свойства окружности, а потом возвращайся к практике.