Когда применять теорему синусов?

Когда даны сторона и противолежащий ей угол — тогда можно найти другие стороны через их противолежащие углы или определить радиус описанной окружности. Частые случаи — «даны сторона и два угла» или «дана сторона и радиус описанной».

Что такое противолежащий угол?

Угол, не имеющий со стороной общих вершин. В треугольнике $ABC$ сторона $BC$ лежит напротив угла $A$, сторона $AC$ — напротив $B$, сторона $AB$ — напротив $C$. Если обозначать стороны строчными буквами $a$, $b$, $c$, то $a$ всегда противолежит $\alpha$.

Что такое расширенная теорема синусов?

$\dfrac{a}{\sin\alpha} = 2R$, где $R$ — радиус описанной окружности треугольника. Формула связывает любую сторону, её противолежащий угол и радиус, в котором треугольник вписан.

Как через неё найти радиус описанной окружности?

Взять любое отношение «сторона, делённая на синус противолежащего угла», и разделить пополам. Это даст $R$. Часто удобнее брать ту пару «сторона–угол», где синус вычисляется точно (табличное значение).

Почему в треугольнике сумма углов $180°$ важна?

Потому что зная два угла, третий находится автоматически: $\gamma = 180° - \alpha - \beta$. Это часто позволяет переводить задачу «дана сторона и два угла» к стандартному применению теоремы синусов.

Когда задача о треугольнике имеет два решения?

При известных двух сторонах и угле, противолежащем меньшей из них. Это неоднозначный случай — треугольник можно построить двумя способами. В планиметрии части 2 (№18 по проекту ЕГЭ-2027, в 2026 году №17) ответом бывают оба треугольника или дополнительное условие определяет, какой брать.

Как связаны теоремы синусов и косинусов?

Теорема синусов связывает стороны с синусами противолежащих углов и радиусом описанной окружности. Теорема косинусов — с квадратами сторон через косинус угла. Вместе они дают полную систему для любого треугольника.

Можно ли применять теорему синусов в прямоугольном треугольнике?

Да. В прямоугольном треугольнике теорема синусов даёт классические отношения $\sin\alpha = a/c$ (где $c$ — гипотенуза, $a$ — противолежащий катет), а расширенная теорема даёт $R = c/2$ — радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

Зачем расширенная теорема в планиметрии части 2?

Когда нужно связать стороны треугольника с радиусом описанной окружности, например в задачах о треугольнике или четырёхугольнике, вписанном в окружность. Через $2R = a/\sin\alpha$ это делается одной формулой.

Теорема синусов — формула, расширенная версия и задачи ЕГЭ

Теорема синусов связывает стороны треугольника с синусами противолежащих углов — и с радиусом описанной окружности. Вместе с теоремой Пифагора и теоремой косинусов это основной инструмент для вычислений в треугольнике, особенно когда в задаче есть описанная окружность.

Прямоугольный треугольник 3-4-5 с описанной окружностью. Гипотенуза c = 5 является диаметром окружности, её середина O — центр, радиус R = 2.5. — В прямоугольном треугольнике описанная окружность имеет диаметр, равный гипотенузе.

Для треугольника со сторонами 3, 4, 5 все три отношения стороны к синусу противолежащего угла равны удвоенному радиусу описанной окружности:

\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R

Подставим числа: $\frac{3}{s i n A} = \frac{4}{s i n B} = \frac{5}{s i n 90°} = \frac{5}{1} = 5$ , значит $2 R = 5$ и $R = 2, 5$ .

Формулировка теоремы синусов

В произвольном треугольнике отношение каждой стороны к синусу противолежащего угла одно и то же:

$\frac{a}{s i n α} = \frac{b}{s i n β} = \frac{c}{s i n γ}$

Здесь:

$a$ , $b$ , $c$ — стороны треугольника;
$α$ , $β$ , $γ$ — углы, противолежащие этим сторонам соответственно.

Теорема работает в любом треугольнике — остроугольном, прямоугольном, тупоугольном.

Расширенная теорема

Общее отношение из теоремы синусов равно удвоенному радиусу описанной окружности:

$\frac{a}{s i n α} = \frac{b}{s i n β} = \frac{c}{s i n γ} = 2 R$

где $R$ — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

Расширенная теорема — ключевой инструмент для задач, где одновременно фигурируют стороны и радиус. Из неё сразу следует:

По стороне и противолежащему углу — находим радиус: $R = \frac{a}{2 sin α}$ .
По радиусу и противолежащему углу — находим сторону: $a = 2 R sin α$ .

Доказательство через вписанный угол

Рассмотрим треугольник $A B C$ , вписанный в окружность радиуса $R$ с центром $O$ , и сторону $B C = a$ . Угол $A$ равен $α$ . Разберём три случая.

Угол $α$ острый. По теореме о вписанном угле центральный угол $B O C$ равен $2 α$ . Треугольник $B O C$ равнобедренный: $O B = O C = R$ . Высота $O H$ к основанию делит его пополам и делит угол $B O C$ пополам, поэтому $\frac{a /2}{R} = sin α$ .

Угол $α$ тупой. Дуга $B C$ , не содержащая точку $A$ , равна $2 α$ , то есть больше $180°$ . Центральный угол $B O C$ (меньший из двух) равен $360° - 2 α$ , и половина его равна $180° - α$ . Тогда $\frac{a /2}{R} = sin (180° - α) = sin α$ .

Угол $α = 90°$ . Сторона $B C$ — диаметр, $a = 2 R$ , а $sin 90° = 1$ , то есть $a = 2 R sin α$ .

Во всех случаях $a = 2 R sin α$ , что и есть расширенная теорема. Аналогично для $b$ и $c$ : все три отношения равны $2 R$ , а значит, и друг другу.

Когда применять

Три основных сценария:

Сценарий 1. Даны сторона и два угла. Находишь третий угол (сумма $180°$ ), по теореме синусов находишь остальные стороны.

Сценарий 2. Даны три стороны — можно найти радиус описанной окружности, но сначала придётся найти один из углов через теорему косинусов.

Сценарий 3. Даны две стороны и угол — но противолежащий одной из сторон, а не между ними. Здесь возможен случай двух треугольников (неоднозначность).

Задача о треугольнике со случаями

Если даны две стороны $a$ , $b$ и угол $α$ напротив первой, теорема синусов даёт:

$sin β = \frac{b s i n α}{a}$

Возможны случаи:

$sin β > 1$ — треугольника нет (стороны и угол не согласованы);
$sin β = 1$ — треугольник единственный, прямоугольный ( $β = 90°$ );
$sin β < 1$ — возможны два угла $β$ : острый и тупой. Оба подходят, если сумма $α + β < 180°$ .

Это тот самый «неоднозначный случай», в котором важно проверить обе возможности.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). В треугольнике $α = 30°$ , $β = 45°$ , сторона $a = 5$ . Найди сторону $b$ .

Решение. По теореме синусов:

$\frac{5}{s i n 30°} = \frac{b}{s i n 45°}$

Значит:

$b = \frac{5 s i n 45°}{s i n 30°} = \frac{5 \cdot \frac{2}{2}}{\frac{1}{2}} = 52$

Ответ: $b = 52$ .

Типичная ошибка. Записать $a$ через $sin β$ , а $b$ через $sin α$ . Против стороны $a$ стоит угол $α$ — не путай.

Пример 2 (уровень Б). В треугольнике со сторонами 3, 4, 5 найди радиус описанной окружности.

Решение. Треугольник со сторонами 3, 4, 5 — прямоугольный (пифагорова тройка). Значит гипотенуза равна 5, и по следствию из расширенной теоремы:

$R = \frac{c}{2} = \frac{5}{2} = 2, 5$

Ответ: $R = 2, 5$ .

Более сложный способ через расширенную теорему: сначала найти синус любого угла. $sin α = 3/5$ (противолежащий катет к гипотенузе). Тогда:

$R = \frac{a}{2 s i n α} = \frac{3}{2 \cdot 3/5} = \frac{15}{6} = 2, 5$

Результат совпадает.

Типичная ошибка. Для прямоугольного треугольника не воспользоваться следствием «гипотенуза = диаметр описанной». Это быстрее, чем считать по формуле.

Пример 3 (уровень В). В треугольнике $a = 8$ , $b = 10$ , угол $α = 40°$ . Найди угол $β$ .

Решение. По теореме синусов:

$sin β = \frac{b s i n α}{a} = \frac{10 s i n 40°}{8} = 1, 25 sin 40°$

Приблизительно $sin 40° \approx 0, 643$ , значит $sin β \approx 0, 804$ .

$sin β < 1$ — решения есть. Два значения угла: $β_{1} \approx 53, 5°$ и $β_{2} \approx 180° - 53, 5° = 126, 5°$ .

Проверяем сумму с $α$ :

$α + β_{1} = 40° + 53, 5° = 93, 5° < 180°$ — подходит;
$α + β_{2} = 40° + 126, 5° = 166, 5° < 180°$ — тоже подходит.

Ответ: $β \approx 53, 5°$ или $β \approx 126, 5°$ .

Типичная ошибка. Взять только острый угол $β_{1}$ , забыв про второй случай. В такой формулировке задача имеет два решения, и оба должны быть в ответе.

Типичные ошибки

Путать противолежащий угол. В формуле $\frac{a}{s i n α}$ угол $α$ — именно тот, который напротив стороны $a$ , а не рядом с ней.
Забывать про два случая. Если из $sin β$ получается значение меньше 1, угол $β$ может быть и острым, и тупым. Обе возможности проверяй.
Брать не тот синус. Если угол тупой, $sin > 0$ (во второй четверти). Но значение синуса тупого угла равно синусу смежного острого: $sin 120° = sin 60°$ . Поэтому по синусу угол определяется неоднозначно: один и тот же синус даёт острый угол и смежный с ним тупой. Какой из них подходит, решают другие данные задачи, например, сумма углов или сравнение сторон.
Применять теорему синусов там, где удобнее косинусов. Если даны три стороны — теорема синусов не поможет напрямую, сначала теорема косинусов. Если даны две стороны и угол между ними — тоже косинусов.
Забывать, что расширенная теорема требует $R$ . Без радиуса или без хотя бы одной пары «сторона–противолежащий угол» расширенную теорему не применить.

Связь с другими темами

Теорема косинусов — парная теорема. Вместе они образуют полный набор для решения произвольных треугольников.
Теорема Пифагора — частный случай: в прямоугольном треугольнике гипотенуза = $2 R$ , что совпадает с формулой $c = 2 R sin 90°$ .
Вписанный угол — доказательство теоремы синусов прямо использует теорему о вписанном угле.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Задание 1 (планиметрия базовая) — простое применение: сторона и два угла, найти другую сторону.
Задание 18 (планиметрия, часть 2; в 2026 году №17) — теорема синусов нужна в задачах на вписанные и описанные окружности вместе с теоремой косинусов.

Закрой пробелы в планиметрии

Диагностика и персональный маршрут по геометрии

Попробовать бесплатно

Проверено: 2026-10-08. Номера заданий даны по проекту документов ЕГЭ-2027 (ФИПИ).