Теорема синусов — формула, расширенная версия и задачи ЕГЭ

Теорема синусов связывает стороны треугольника с синусами противолежащих углов — и с радиусом описанной окружности. Это вторая по значимости теорема после Пифагора в планиметрии ЕГЭ: без неё не решить половину заданий 16, где фигурирует окружность.

Для треугольника со сторонами 3, 4, 5 все три отношения стороны к синусу противолежащего угла равны удвоенному радиусу описанной окружности:

Подставим числа: $\frac{3}{\sin A} = \frac{4}{\sin B} = \frac{5}{\sin 90°} = \frac{5}{1} = 5$, значит $2R = 5$ и $R = 2{,}5$.

Формулировка теоремы синусов

В произвольном треугольнике отношение каждой стороны к синусу противолежащего угла одно и то же:

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}$

Здесь:

• $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника;
• $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ — углы, противолежащие этим сторонам соответственно.

Теорема работает в любом треугольнике — остроугольном, прямоугольном, тупоугольном.

Расширенная теорема

Общее отношение из теоремы синусов равно удвоенному радиусу описанной окружности:

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$

где $R$ — радиус окружности, описанной вокруг треугольника.

Расширенная теорема — ключевой инструмент для задач, где одновременно фигурируют стороны и радиус. Из неё сразу следует:

• По стороне и противолежащему углу — находим радиус: $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$.
• По радиусу и противолежащему углу — находим сторону: $a = 2R\sin\alpha$.

Доказательство через вписанный угол

Вспомним теорему о вписанном угле: вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу. Рассмотрим треугольник $ABC$, вписанный в окружность радиуса $R$, и сторону $BC = a$. Она видна из центра окружности под центральным углом, который в два раза больше вписанного угла $A$ — то есть под углом $2\alpha$.

Из равнобедренного треугольника «центр + концы стороны $BC$» со сторонами $R$, $R$ и основанием $a$, половина этого основания $a/2$ связана с углом $\alpha$ через синус:

$\frac{a/2}{R} = \sin\alpha$

Откуда $a = 2R\sin\alpha$, что и есть расширенная теорема.

Аналогично для $b$ и $c$. Все три отношения равны $2R$, значит и друг другу.

Когда применять

Три основных сценария:

Сценарий 1. Даны сторона и два угла. Находишь третий угол (сумма $180°$), по теореме синусов находишь остальные стороны.

Сценарий 2. Даны три стороны — можно найти радиус описанной окружности, но сначала придётся найти один из углов через теорему косинусов.

Сценарий 3. Даны две стороны и угол — но противолежащий одной из сторон, а не между ними. Здесь возможен случай двух треугольников (неоднозначность).

Задача о треугольнике со случаями

Если даны две стороны $a$, $b$ и угол $\alpha$ напротив первой, теорема синусов даёт:

$\sin\beta = \frac{b\sin\alpha}{a}$

Возможны случаи:

• $\sin\beta > 1$ — треугольника нет (стороны и угол не согласованы);
• $\sin\beta = 1$ — треугольник единственный, прямоугольный ($\beta = 90°$);
• $\sin\beta < 1$ — возможны два угла $\beta$: острый и тупой. Оба подходят, если сумма $\alpha + \beta < 180°$.

Это тот самый «неоднозначный случай», в котором важно проверить обе возможности.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). В треугольнике $\alpha = 30°$, $\beta = 45°$, сторона $a = 5$. Найди сторону $b$.

Решение. По теореме синусов:

$\frac{5}{\sin 30°} = \frac{b}{\sin 45°}$

Значит:

$b = \frac{5 \sin 45°}{\sin 30°} = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 5\sqrt{2}$

Ответ: $b = 5\sqrt{2}$.

Типичная ошибка. Записать $a$ через $\sin\beta$, а $b$ через $\sin\alpha$. Против стороны $a$ стоит угол $\alpha$ — не путай.

Пример 2 (уровень Б). В треугольнике со сторонами 3, 4, 5 найди радиус описанной окружности.

Решение. Треугольник со сторонами 3, 4, 5 — прямоугольный (пифагорова тройка). Значит гипотенуза равна 5, и по следствию из расширенной теоремы:

$R = \frac{c}{2} = \frac{5}{2} = 2{,}5$

Ответ: $R = 2{,}5$.

Более сложный способ через расширенную теорему: сначала найти синус любого угла. $\sin\alpha = 3/5$ (противолежащий катет к гипотенузе). Тогда:

$R = \frac{a}{2\sin\alpha} = \frac{3}{2 \cdot 3/5} = \frac{15}{6} = 2{,}5$

Результат совпадает.

Типичная ошибка. Для прямоугольного треугольника не воспользоваться следствием «гипотенуза = диаметр описанной». Это быстрее, чем считать по формуле.

Пример 3 (уровень В). В треугольнике $a = 8$, $b = 10$, угол $\alpha = 40°$. Найди угол $\beta$.

Решение. По теореме синусов:

$\sin\beta = \frac{b \sin\alpha}{a} = \frac{10 \sin 40°}{8} = 1{,}25 \sin 40°$

Приблизительно $\sin 40° \approx 0{,}643$, значит $\sin\beta \approx 0{,}804$.

$\sin\beta < 1$ — решения есть. Два значения угла: $\beta_1 \approx 53{,}5°$ и $\beta_2 \approx 180° - 53{,}5° = 126{,}5°$.

Проверяем сумму с $\alpha$:

• $\alpha + \beta_1 = 40° + 53{,}5° = 93{,}5° < 180°$ — подходит;
• $\alpha + \beta_2 = 40° + 126{,}5° = 166{,}5° < 180°$ — тоже подходит.

Ответ: $\beta \approx 53{,}5°$ или $\beta \approx 126{,}5°$.

Типичная ошибка. Взять только острый угол $\beta_1$, забыв про второй случай. В такой формулировке задача имеет два решения, и оба должны быть в ответе.

Типичные ошибки

1. Путать противолежащий угол. В формуле $\frac{a}{\sin\alpha}$ угол $\alpha$ — именно тот, который напротив стороны $a$, а не рядом с ней.
2. Забывать про два случая. Если из $\sin\beta$ получается значение меньше 1, угол $\beta$ может быть и острым, и тупым. Обе возможности проверяй.
3. Брать не тот синус. Если угол тупой, $\sin > 0$ (во второй четверти). Но значение синуса тупого угла равно синусу смежного острого: $\sin 120° = \sin 60°$. Ориентируйся по контексту задачи.
4. Применять теорему синусов там, где удобнее косинусов. Если даны три стороны — теорема синусов не поможет напрямую, сначала теорема косинусов. Если даны две стороны и угол между ними — тоже косинусов.
5. Забывать, что расширенная теорема требует $R$. Без радиуса или без хотя бы одной пары «сторона–противолежащий угол» расширенную теорему не применить.

Связь с другими темами

• Теорема косинусов — парная теорема. Вместе они образуют полный набор для решения произвольных треугольников.
• Теорема Пифагора — частный случай: в прямоугольном треугольнике гипотенуза = $2R$, что совпадает с формулой $c = 2R\sin 90°$.
• Вписанный угол — доказательство теоремы синусов прямо использует теорему о вписанном угле.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 1 (планиметрия базовая) — простое применение: сторона и два угла, найти третью сторону.
• Задание 16 (планиметрия повышенного уровня) — теорема синусов используется в задачах на вписанные и описанные окружности, в связке с теоремой косинусов для полного описания треугольника, в конфигурационных задачах.