Площадь треугольника — все формулы с выводом и примерами ЕГЭ

Площадь треугольника можно посчитать пятью разными формулами — и на ЕГЭ тебе понадобятся как минимум три из них. Основание на высоту — самая простая, формула Герона — для треугольника по трём сторонам, синусная — когда известны две стороны и угол между ними. Разберём все пять и покажем, когда какую выбирать.

Базовая формула: основание на высоту

Самая простая формула площади треугольника:

$S = \frac{1}{2} a h$

Здесь $a$ — сторона треугольника (её называют основанием), $h$ — высота, опущенная на эту сторону (перпендикуляр из противоположной вершины).

Формула работает для любого треугольника, если известны сторона и соответствующая ей высота. Из неё вытекает обратная связь: $h = \frac{2S}{a}$.

У одного треугольника три высоты — по одной из каждой вершины. Все три произведения «сторона × соответствующая высота» равны между собой: это следствие из того, что площадь одна и та же.

Через две стороны и угол

Если известны две стороны $a$, $b$ и угол $\gamma$ между ними, площадь вычисляется через синус:

$S = \frac{1}{2} a b \sin\gamma$

Формула получается так: если $a$ — основание, то высота, опущенная из вершины угла $\gamma$ на прямую, содержащую $a$, равна $b\sin\gamma$ (из определения синуса в прямоугольном треугольнике).

Формула особенно удобна в задании 16, где часто даны две стороны и угол — вписанный или центральный.

Формула Герона

Когда известны только три стороны $a$, $b$, $c$, а углов нет, применяется формула Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

где $p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр треугольника.

Формула удобна тем, что не требует высоты или угла. Но корень получается «некрасивым», если стороны не дают целочисленного подкоренного выражения. На ЕГЭ формулу Герона применяют реже, чем синусную — но когда задача даёт три стороны и просит найти угол, удобнее сначала посчитать $S$ по Герону, а потом выразить $\sin\gamma = \frac{2S}{ab}$.

Через радиусы вписанной и описанной окружности

Через радиус вписанной окружности $r$:

$S = p r$

где $p$ — полупериметр. Формула выводится из разбиения треугольника на три треугольника с общей вершиной — центром вписанной окружности.

Через радиус описанной окружности $R$:

$S = \frac{abc}{4R}$

Формула получается из расширенной теоремы синусов: $\frac{a}{\sin\alpha} = 2R$, откуда $\sin\alpha = \frac{a}{2R}$, и подстановки в синусную формулу $S = \frac{1}{2}bc\sin\alpha$.

Обе формулы — рабочие инструменты в задании 16, особенно когда в условии фигурирует окружность.

Частные случаи: прямоугольный и равносторонний

Прямоугольный треугольник. Два катета $a$ и $b$ образуют прямой угол. Тогда они играют роли основания и высоты:

$S = \frac{1}{2} a b$

Равносторонний треугольник со стороной $a$. Его высота равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, значит:

$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Эти две формулы нужно помнить наизусть — они встречаются в задании 1 и как подзадача в задании 16.

Алгоритм выбора формулы

Посмотри, что дано в условии, и выбирай по таблице:

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). Найди площадь прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4.

Решение. Для прямоугольного треугольника площадь — полупроизведение катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$

Ответ: $S = 6$.

Типичная ошибка. Применить формулу Герона или Пифагора без нужды. Когда треугольник прямоугольный, базовая формула с катетами — самая быстрая.

Пример 2 (уровень Б). Найди площадь треугольника со сторонами 5, 6, 7.

Решение. Применим формулу Герона. Полупериметр:

$p = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9$

Подставим:

$S = \sqrt{9 \cdot (9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}$

Ответ: $S = 6\sqrt{6}$.

Типичная ошибка. Ошибиться в полупериметре — взять периметр $18$ вместо $9$. Полупериметр — это половина суммы, а не сама сумма.

Пример 3 (уровень В). Найди площадь треугольника с вершинами $A(0; 0)$, $B(4; 0)$, $C(2; 3)$.

Решение. Первый способ — через координаты:

$S = \frac{1}{2}|x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$

$= \frac{1}{2}|0 \cdot (0 - 3) + 4 \cdot (3 - 0) + 2 \cdot (0 - 0)| = \frac{1}{2}|0 + 12 + 0| = 6$

Второй способ — через основание и высоту. Сторона $AB$ лежит на оси OX, её длина $= 4$. Высота, опущенная из $C$, равна ординате точки $C$, то есть $3$. Тогда:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$

Оба способа дают один ответ.

Типичная ошибка. Забыть модуль в формуле через координаты. Без модуля знак зависит от порядка обхода вершин и может быть отрицательным — а площадь не бывает отрицательной.

Типичные ошибки

1. Путать высоту с медианой или биссектрисой. Высота обязательно перпендикулярна стороне. Медиана идёт в середину, биссектриса делит угол пополам — и они совпадают с высотой только в равностороннем треугольнике.
2. Забывать делить на 2. Формулы $\frac{1}{2}ah$, $\frac{1}{2}ab\sin\gamma$, $\frac{1}{2}ab$ для прямоугольного — во всех есть коэффициент $\frac{1}{2}$. Без него получаешь площадь параллелограмма, а не треугольника.
3. В синусной формуле брать не тот угол. В формуле $\frac{1}{2}ab\sin\gamma$ угол $\gamma$ — это угол между сторонами $a$ и $b$. Если взять любой другой угол треугольника — формула даст неверный ответ.
4. Неверно считать полупериметр. В формуле Герона $p = \frac{a+b+c}{2}$. Не путай полупериметр и периметр.
5. Использовать теорему Пифагора там, где треугольник не прямоугольный. Теорема Пифагора — для прямоугольных треугольников; для произвольных — теорема косинусов.

Связь с другими темами

Площадь треугольника связана с тремя ключевыми темами планиметрии ЕГЭ.

• Теорема Пифагора — в прямоугольном треугольнике катеты одновременно задают и стороны для площади, и сами связаны формулой Пифагора.
• Теорема синусов — формула $S = \frac{abc}{4R}$ выводится из расширенной теоремы синусов, связывающей стороны и радиус описанной окружности.
• Теорема косинусов — через неё можно выразить косинус угла по трём сторонам, найти синус и подставить в синусную формулу.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 1 (планиметрия базовая) — базовое применение формул площади для простых треугольников.
• Задание 3 (стереометрия базовая) — площадь основания пирамиды или призмы почти всегда считается через формулу площади треугольника.
• Задание 16 (планиметрия повышенного уровня) — здесь площадь треугольника появляется внутри более сложных построений: вписанные и описанные окружности, произвольные четырёхугольники, разбиение фигуры на треугольники.