Какую формулу брать, если известны только три стороны?

Формулу Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр. Нужны только длины сторон, никаких углов или высот.

Когда применять формулу через синус угла?

Когда известны две стороны и угол между ними. Формула $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$. Угол при этом может быть и тупым: $\sin\gamma$ положителен на всём промежутке $(0; \pi)$.

Что такое полупериметр?

Половина суммы всех сторон треугольника $p = \frac{a+b+c}{2}$. Не путать с периметром $P = a+b+c$. В формуле Герона обязательно полупериметр, и все скобки $(p-a)$, $(p-b)$, $(p-c)$ должны быть положительными — иначе треугольника не существует.

Как найти площадь прямоугольного треугольника?

Полупроизведение катетов $S = \frac{1}{2}ab$. Катеты играют роль основания и высоты друг для друга. Если дана гипотенуза и один катет, второй находится по теореме Пифагора.

Как высота связана с площадью?

Через формулу $h = \frac{2S}{a}$, где $a$ — сторона, на которую опущена высота. Это перевёрнутая базовая формула $S = \frac{1}{2}ah$. Полезно, когда площадь уже известна и нужно найти высоту.

Формула площади через координаты вершин?

Если треугольник задан точками $A(x_1; y_1)$, $B(x_2; y_2)$, $C(x_3; y_3)$, его площадь равна $S = \frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$. Модуль обязателен — знак внутри зависит от порядка обхода вершин.

Как найти площадь равностороннего треугольника через сторону?

$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Формула выводится из базовой $S = \frac{1}{2}ah$, где высота равностороннего треугольника равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Можно ли применять Герона, если одна сторона длиннее суммы двух других?

Нет — такого треугольника не существует (нарушено неравенство треугольника). В формуле Герона под корнем окажется отрицательное число, что и подтверждает невозможность. Всегда проверяй неравенство треугольника прежде, чем считать площадь.

В каких заданиях ЕГЭ нужна площадь треугольника?

В планиметрии: задание 1 части 1 и задание 18 части 2 по проекту ЕГЭ-2027 (в 2026 году — задание 17). В части 2 площадь обычно появляется внутри более сложных построений: с окружностями, четырёхугольниками, разбиением фигуры на треугольники.

Чем высота отличается от медианы?

Высота перпендикулярна стороне, к которой опущена. Медиана идёт в середину стороны. В равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведённые к основанию, совпадают; в равностороннем так обстоит дело с любой из сторон.

Площадь треугольника — все формулы с выводом и примерами ЕГЭ

Площадь треугольника считают по разным формулам, и выбор зависит от того, что дано. Основание на высоту — самая простая, формула Герона — для треугольника по трём сторонам, синусная — когда известны две стороны и угол между ними. Ниже все основные формулы и таблица, по которой выбирать нужную.

Треугольник с основанием a = 8 и высотой h = 5, опущенной из вершины C на основание AB перпендикулярно. — Базовая формула: площадь = половина произведения основания на высоту.

S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 20

Базовая формула: основание на высоту

Самая простая формула площади треугольника:

$S = \frac{1}{2} ah$

Здесь $a$ — сторона треугольника (её называют основанием), $h$ — высота, опущенная на эту сторону (перпендикуляр из противоположной вершины).

Формула работает для любого треугольника, если известны сторона и соответствующая ей высота. Из неё вытекает обратная связь: $h = \frac{2 S}{a}$ .

У одного треугольника три высоты — по одной из каждой вершины. Все три произведения «сторона × соответствующая высота» равны между собой: это следствие из того, что площадь одна и та же.

Через две стороны и угол

Если известны две стороны $a$ , $b$ и угол $γ$ между ними, площадь вычисляется через синус:

$S = \frac{1}{2} ab sin γ$

Формула получается так: если $a$ — основание, то высота, опущенная из вершины угла $γ$ на прямую, содержащую $a$ , равна $b sin γ$ (из определения синуса в прямоугольном треугольнике).

Формула удобна, когда в условии даны две стороны и угол между ними, в том числе тупой.

Формула Герона

Когда известны только три стороны $a$ , $b$ , $c$ , а углов нет, применяется формула Герона:

$S = p (p - a) (p - b) (p - c)$

где $p = \frac{a + b + c}{2}$ — полупериметр треугольника.

Формула не требует высоты или угла. Корень получается «некрасивым», если стороны не дают целочисленного подкоренного выражения.

Если по трём сторонам нужно найти угол, не ищи его через площадь и синус. Синус не отличает острый угол от тупого: $sin 6 0^{\circ} = sin 12 0^{\circ}$ , и по значению $sin γ = \frac{2 S}{ab}$ угол определяется неоднозначно. Надёжнее теорема косинусов: $cos γ = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$ , она даёт угол однозначно (знак косинуса сразу показывает, острый он или тупой). Пример 4 ниже.

Через радиусы вписанной и описанной окружности

Через радиус вписанной окружности $r$ :

$S = p r$

где $p$ — полупериметр. Формула выводится из разбиения треугольника на три треугольника с общей вершиной — центром вписанной окружности.

Через радиус описанной окружности $R$ :

$S = \frac{ab c}{4 R}$

Формула получается из расширенной теоремы синусов: $\frac{a}{s i n α} = 2 R$ , откуда $sin α = \frac{a}{2 R}$ , и подстановки в синусную формулу $S = \frac{1}{2} b c sin α$ .

Обе формулы удобны, когда в условии фигурирует окружность: вписанная или описанная.

Частные случаи: прямоугольный и равносторонний

Прямоугольный треугольник. Два катета $a$ и $b$ образуют прямой угол. Тогда они играют роли основания и высоты:

$S = \frac{1}{2} ab$

Равносторонний треугольник со стороной $a$ . Его высота равна $\frac{a 3}{2}$ , значит:

$S = \frac{a ^{2} 3}{4}$

Эти две формулы стоит помнить наизусть: они нужны в планиметрических задачах обеих частей экзамена.

Алгоритм выбора формулы

Посмотри, что дано в условии, и выбирай по таблице:

Что дано	Формула
Сторона и высота	$S = \frac{1}{2} ah$
Две стороны и угол между ними	$S = \frac{1}{2} ab sin γ$
Три стороны	Формула Герона $S = p (p - a) (p - b) (p - c)$
Стороны и радиус вписанной	$S = p r$
Стороны и радиус описанной	$S = \frac{ab c}{4 R}$
Координаты вершин	$S = \frac{1}{2} ∥ x_{1} (y_{2} - y_{3}) + x_{2} (y_{3} - y_{1}) + x_{3} (y_{1} - y_{2}) ∥$
Катеты прямоугольного	$S = \frac{1}{2} ab$
Сторона равностороннего	$S = \frac{a ^{2} 3}{4}$

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). Найди площадь прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4.

Решение. Для прямоугольного треугольника площадь — полупроизведение катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$

Ответ: $S = 6$ .

Типичная ошибка. Применить формулу Герона или Пифагора без нужды. Когда треугольник прямоугольный, базовая формула с катетами — самая быстрая.

Пример 2 (уровень Б). Найди площадь треугольника со сторонами 5, 6, 7.

Решение. Применим формулу Герона. Полупериметр:

$p = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9$

Подставим:

$S = 9 \cdot (9 - 5) (9 - 6) (9 - 7) = 9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 216 = 66$

Ответ: $S = 66$ .

Типичная ошибка. Ошибиться в полупериметре — взять периметр $18$ вместо $9$ . Полупериметр — это половина суммы, а не сама сумма.

Пример 3 (уровень В). Найди площадь треугольника с вершинами $A (0; 0)$ , $B (4; 0)$ , $C (2; 3)$ .

Решение. Первый способ — через координаты:

$S = \frac{1}{2} ∣ x_{A} (y_{B} - y_{C}) + x_{B} (y_{C} - y_{A}) + x_{C} (y_{A} - y_{B}) ∣$

$= \frac{1}{2} ∣0 \cdot (0 - 3) + 4 \cdot (3 - 0) + 2 \cdot (0 - 0) ∣ = \frac{1}{2} ∣0 + 12 + 0∣ = 6$

Второй способ — через основание и высоту. Сторона $A B$ лежит на оси OX, её длина $= 4$ . Высота, опущенная из $C$ , равна ординате точки $C$ , то есть $3$ . Тогда:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6$

Оба способа дают один ответ.

Типичная ошибка. Забыть модуль в формуле через координаты. Без модуля знак зависит от порядка обхода вершин и может быть отрицательным — а площадь не бывает отрицательной.

Пример 4 (уровень Б). Стороны треугольника равны $3$ , $5$ и $7$ . Найди угол между сторонами $3$ и $5$ и площадь треугольника.

Решение. Угол $γ$ лежит напротив стороны $7$ . По теореме косинусов:

$cos γ = \frac{3 ^{2} + 5 ^{2} - 7 ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{9 + 25 - 49}{30} = - \frac{1}{2}$

Косинус отрицателен, угол тупой: $γ = 12 0^{\circ}$ . Площадь по синусной формуле:

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \cdot sin 12 0^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot \frac{3}{2} = \frac{15 3}{4}$

Проверка по Герону: $p = 7, 5$ , $S^{2} = 7, 5 \cdot 4, 5 \cdot 2, 5 \cdot 0, 5 = \frac{675}{16}$ , $S = \frac{15 3}{4}$ . Сошлось.

Ответ: $γ = 12 0^{\circ}$ , $S = \frac{15 3}{4}$ .

Типичная ошибка. Найти $sin γ = \frac{2 S}{ab} = \frac{3}{2}$ и записать $γ = 6 0^{\circ}$ . Синус $\frac{3}{2}$ у двух углов, $6 0^{\circ}$ и $12 0^{\circ}$ , а выбрать нужный по синусу нельзя.

Пример 5 (уровень Б). Найди радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами $13$ , $14$ , $15$ .

Решение. Полупериметр $p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21$ . По Герону:

$S = 21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 7056 = 84$

Из $S = p r$ получаем $r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4$ . Из $S = \frac{ab c}{4 R}$ получаем $R = \frac{ab c}{4 S} = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{2730}{336} = \frac{65}{8}$ .

Ответ: $r = 4$ , $R = \frac{65}{8}$ .

Типичная ошибка. Подставить в $S = p r$ периметр вместо полупериметра и получить $r = 2$ .

Типичные ошибки

Путать высоту с медианой или биссектрисой. Высота обязательно перпендикулярна стороне. Медиана идёт в середину, биссектриса делит угол пополам — и они совпадают с высотой только в равностороннем треугольнике.
Забывать делить на 2. Формулы $\frac{1}{2} ah$ , $\frac{1}{2} ab sin γ$ , $\frac{1}{2} ab$ для прямоугольного — во всех есть коэффициент $\frac{1}{2}$ . Без него получаешь площадь параллелограмма, а не треугольника.
В синусной формуле брать не тот угол. В формуле $\frac{1}{2} ab sin γ$ угол $γ$ — это угол между сторонами $a$ и $b$ . Если взять любой другой угол треугольника — формула даст неверный ответ.
Неверно считать полупериметр. В формуле Герона $p = \frac{a + b + c}{2}$ . Не путай полупериметр и периметр.
Использовать теорему Пифагора там, где треугольник не прямоугольный. Теорема Пифагора — для прямоугольных треугольников; для произвольных — теорема косинусов.
Искать угол по трём сторонам через синус. Синус одинаков у острого угла и у смежного с ним тупого, поэтому угол по нему определяется неоднозначно. Используй теорему косинусов.

Связь с другими темами

Площадь треугольника связана с теоремами планиметрии.

Теорема синусов — формула $S = \frac{ab c}{4 R}$ выводится из расширенной теоремы синусов, связывающей стороны и радиус описанной окружности.
Свойства окружности — вписанная и описанная окружности, на которых держатся формулы $S = p r$ и $S = \frac{ab c}{4 R}$ .
Теорема Пифагора и теорема косинусов: в прямоугольном треугольнике катеты задают и площадь, и гипотенузу; для произвольного треугольника косинус угла по трём сторонам даёт теорема косинусов.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Планиметрия по проекту ЕГЭ-2027: задание 1 (часть 1, краткий ответ) и задание 18 (часть 2, развёрнутое решение, 3 балла). В 2026 году планиметрия части 2 — задание 17. Площадь треугольника в части 2 появляется внутри более сложных построений: вписанные и описанные окружности, четырёхугольники, разбиение фигуры на треугольники. Документы ФИПИ на 2027 год опубликованы как проект.

Закрой пробелы в геометрии

Короткая диагностика покажет, какие формулы планиметрии ещё не закрепились

Попробовать бесплатно

Проверено: 2026-10-08.